天津市静海区静海区第一中学2020届高三上学期12月月考数学试题

天津市静海区静海区第一中学2020届高三上学期12月月考数学试题

静海一中2019-2020第一学期高三数学（12月）‎ 学生学业能力调研试卷 一、选择题:（每小题5分，共45分）‎ ‎1.已知全集为，集合，，则元素个数为 A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出集合，利用交集的定义求出，即可得到元素个数 ‎【详解】由，可得：，‎ 所以，即元素个数为2，‎ 故答案选B ‎【点睛】本题考查分式不等式的解法以及集合交集的定义，属于基础题．‎ ‎2.设，则，，的大小关系是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据来分段，然后根据指数函数性质，比较出的大小关系.‎ ‎【详解】由于，而，故，所以选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查指数函数的单调性，考查对数函数的性质，考查比较大小的方法，属于基础题.‎ ‎3.已知：，，则是成立的（ ）‎ A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分条件也不是必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，先解出命题中的取值范围，由不等式对 恒成立，得出，解出实数的取值范围，再由两取值范围的包含关系得出命题和的充分必要性关系．‎ ‎【详解】构造函数，对，恒成立，‎ 则，解得，‎ ‎，因此，是的充分但不必要条件，故选A.‎ ‎【点睛】本题考查充分必要条件的判断，一般利用集合的包含关系来判断两条件的充分必要性：‎ ‎（1），则“”是“”的充分不必要条件；‎ ‎（2），则“”是“”的必要不充分条件；‎ ‎（3），则“”是“”的充要条件；‎ ‎（4），则“”是“”的既不充分也不必要条件．‎ ‎4.设直线，圆，若在圆上存在两点，，在直线上存在一点，使得，则的取值范围是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 如图：‎ 过圆心作交于，‎ 过作圆的切线交圆于、，‎ 是圆心两点与上一点形成最大的角，‎ 只要满足条件，即，‎ ‎，，，‎ 即，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故选C ‎5.将函数图像向左平移个单位后图像关于点中心对称，则的值可能为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将函数化简整理，再向左平移，根据平移后图像关于点中心对称，列出等式，即可得出结果.‎ ‎【详解】由题意可得：‎ ‎，‎ 将函数图像向左平移个单位后，得到，‎ 又平移后图像关于点中心对称，‎ 所以，‎ 因此，‎ 又因为，所以，即，‎ 当时，.‎ 故选B ‎【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换，以及已知对称中心求参数的问题，熟记正弦函数的性质即可，属于常考题型.‎ ‎6.过抛物线焦点的直线与双曲线的一条渐近线平行，并交抛物线于两点，若且，则的值为（ ）‎ A. 8 B. C. D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设A（x0，y0），根据抛物线的定义可得x0，y0，代入直线AB的方程，求出m的值即可.‎ ‎【详解】抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为（，0），准线方程为x，‎ 双曲线x21的一条渐近线方程为y＝x，‎ 不妨设直线AB为y＝（x），设A（x0，y0），则|AF|＝x0，‎ ‎∴x0＝，又∵且|AF|＞|BF|，∴y0>0，∴y0＝2，‎ 代入y＝（x），‎ 解得m＝8，‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查了直线和抛物线的关系，以及抛物线的定义和双曲线的性质，属于中档题．‎ ‎7.已知是数列的前项和，且，则（ ）．‎ A. 72 B. ‎88 ‎C. 92 D. 98‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：为等差数列，公差为3，所以由得，选C.‎ 考点：等差数列定义 ‎8.某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、英语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科.学生甲要想报考某高校的法学专业，就必须要从物理、政治、历史三科中至少选考一科，则学生甲的选考方法种数为（ ）‎ A. 6 B. ‎12 ‎C. 18 D. 19‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求出事件的对立事件，然后用减法求解.‎ ‎【详解】从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中任选三科的方法有种方法，‎ 从物理、政治、历史三科中至少选考一科的对立事件是一科都不选，即从剩下的三科选三科，共1种方法，所以学生甲的选考方法种数有20-1=19种方法.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查组合问题，意在考查转化与计算，属于基础题型.‎ ‎9.已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】该题属于已知函数零点个数求参数范围的问题，解决该题的思路是转化为方程解的个数来完成，需要明确函数图象的走向，找出函数的极值，从而结合图象完成任务.‎ 详解：，即，结合函数解析式，可以求得方程的根为或，从而得到和一共有三个根，即共有三个根，当时，，，从而可以确定函数在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数，且，此时两个值的差距小于2，所以该题等价于或或或或，解得或或，所以所求a的范围是，故选B.‎ 点睛：解决该题的关键是明确函数图象的走向，利用数形结合，对参数进行分类讨论，最后求得结果，利用导数研究函数的单调性显得尤为重要.‎ 二、填空题：（每小题5分，共30分）‎ ‎10.是虚数单位，则的值为_____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先化简复数，然后求复数的模.‎ ‎【详解】 ‎ ‎.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查复数的化简和计算，意在考查基本的计算能力，属于基础题型.‎ ‎11.已知正三棱柱的所有顶点都在球的球面上，且该正三棱柱的底面边长为2，高为，则球的表面积为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先判断正三棱柱外接球的球心，即上下底面正三角形中心连线的中点，然后构造直角三角形求半径，代入公式求解.‎ ‎【详解】如图：设和分别是上下底面等边三角形的中心，‎ 由题意可知连线的中点就是三棱柱外接球的球心，连接，‎ 是等边三角形，且，， ‎ ‎，‎ 球表面积.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查求几何体外接球的表面积的问题，意在考查空间想象能力和转化与化归和计算能力，属于基础题型.‎ ‎12.已知为正实数，则当__________时取得最小值.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ 题中所给的代数式即：‎ ‎，‎ 当且仅当即时等号成立.‎ 故答案为1.‎ ‎13.已知函数，则关于不等式的解集为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，判断函数的奇偶性和单调性，将不等式，转化为，利用函数性质解不等式.‎ ‎【详解】设 ‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ 函数是奇函数，‎ 且在单调递增，‎ ‎，‎ 在上是单调递增函数，且是奇函数 ‎ ，‎ 即，‎ ‎，‎ 解得：，‎ ‎ 解集为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查构造函数，利用函数的性质解抽象不等式，意在考查转化与化归和计算能力，属于中档题型.‎ ‎14.如图，在平行四边形中，，，，若，分别是边，上的点，且满足，其中，则的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 建立平面直角坐标系，作，求得点的坐标，由点的坐标可得，，利用平面向量数量积的坐标运算和二次函数求值域的方法可得的取值范围.‎ ‎【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，‎ 作，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 同理可得：‎ ‎ ，‎ ‎ .‎ ‎.‎ 故的取值范围是.‎ ‎【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．‎ ‎15.定义域为的函数满足，当时，，若时，对任意的都有成立，则实数的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求出当时，函数的最小值，再根据条件可得，从而确定时，函数的最小值，转化为，再根据参变分离可得 时恒成立，即，转化为求函数的最大值.‎ ‎【详解】当时，，‎ 时，，‎ 函数的最小值是，‎ 当时，，函数是单调递增函数，‎ 函数的最小值是，‎ 当时，的最小值是.‎ 由题意可得，‎ 当时，，‎ 时，函数的最小值是，‎ 当时，对任意的都有成立，‎ 即成立，‎ 整理为： 时恒成立，‎ 令，‎ 恒成立，当时，‎ 函数在上是单调递增函数，，‎ 即，‎ 的取值范围是.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查分段函数的应用和函数性质的综合问题，意在考查转化与变形和计算能力，属于中档题型，本题的关键是利用条件转化为，求时的最小值.‎ 三、解答题：（本大题共4小题，共55分）‎ ‎16.中，内角，，对应的边分别为，，，满足.‎ ‎（Ⅰ）已知，，求与的值；‎ ‎（Ⅱ）若，且，求.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）先由化简整理得到，求出，再由求出，根据求出 ‎，再由正弦定理，即可求出结果；‎ ‎（Ⅱ）先由结合题中条件，求出，再由展开，即可求出结果.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由得 ‎，‎ 故，因为，且，‎ 所以，所以.‎ 因为，，所以 因此 ‎，‎ 由正弦定理知：，即.‎ ‎（Ⅱ）因为，所以，又，‎ 所以，‎ 所以 ‎【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理、两角和与差的正弦公式等即可，属于常考题型.‎ ‎17.已知是数列的前项和，且，，数列中，，且.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求的前项和；‎ ‎（3）证明：对一切，‎ ‎【答案】（1）或；（2）；（3）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，构造，变形为，再求数列的通项公式；‎ ‎（2）由已知变形为，利用累加法求数列的通项公式，然后再求数列的通项公式，利用错位相减法求和；‎ ‎（3）表示求数列的前项和，然后将通项放缩为时，，然后利用裂项相消法求和.‎ ‎【详解】（1）时，可得，‎ 时，，，两式相减，‎ 得 ，，‎ ‎，‎ 数列的奇数项和偶数项分别成以4为公差的等差数列，‎ 当，时，，‎ 当，时， ，‎ ‎，.‎ ‎（2） ,‎ ‎ ，即 ，‎ 整理为：，‎ ‎，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎…………………………,‎ ‎ ，时，‎ 这个式子相加可得 ，‎ ‎，当时，成立，‎ ‎，，‎ ‎ ，‎ ‎，‎ ‎ ，‎ 两式相减可得：‎ ‎ ，‎ ‎ ‎ ‎（3）表示求数列的前项和，设前项和为，‎ 当时，成立，‎ 当时，‎ ‎ ‎ ‎.‎ 综上可知，‎ 对一切，.‎ ‎【点睛】本题考查了数列通项公式的求法和数列求和，已知考查转化与化归和计算能力，属于中高档习题，本题的难点是第三问放缩求数列的和，一般数列求和的方法包含1.公式法求和；2.错位相减法求和；3.裂项相消法求和；4.分组转化法求和；5.倒序相加法求和.‎ ‎18.如图，已知等腰梯形中，是的中点，，将沿着翻折成，使平面平面．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）在线段上是否存在点P，使得平面，若存在，求出值；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）二面角的余弦值为；（Ⅲ）存在点P，使得平面，且．‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（ I ） 根据直线与平面垂直的判定定理，需证明垂直平面内的两条相交直线．由题意易得四边形是菱形，所以，从而，即，进而证得平面．（Ⅱ） 由（ I ）可知，、、两两互相垂直，故可以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求得二面角的余弦值．（Ⅲ）根据直线与平面平行的判定定理，只要能找到一点P使得PM平行平面内的一条直线即可．由于，故可取线段中点P，中点Q，连结．则，且．由此即可得四边形是平行四边形，从而问题得证．‎ 试题解析：（ I ） 由题意可知四边形是平行四边形，所以，故．‎ 又因为，M为AE的中点所以，‎ 即 又因为，‎ 所以四边形是平行四边形．‎ 所以 故．‎ 因平面平面， 平面平面，平面 所以平面．‎ 因为平面， 所以．‎ 因为，、平面，‎ 所以平面． ‎ ‎（Ⅱ） 以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，，，．‎ 平面的法向量为．‎ 设平面的法向量为， 因为，，‎ ‎， 令得，．‎ 所以， 因为二面角为锐角，‎ 所以二面角的余弦值为．‎ ‎（Ⅲ） 存在点P，使得平面． ‎ 法一: 取线段中点P，中点Q，连结．‎ 则，且．‎ 又因为四边形是平行四边形，所以．‎ 因为为的中点，则．‎ 所以四边形是平行四边形，则．‎ 又因为平面，所以平面．‎ 所以在线段上存在点，使得平面，． ‎ 法二：设在线段上存在点，使得平面，‎ 设，（），，因为．‎ 所以．‎ 因为平面， 所以，‎ 所以， 解得， 又因为平面，‎ 所以在线段上存在点，使得平面，． ‎ 考点：1、空间直线与平面的位置关系；2、二面角．‎ ‎19.已知直线经过椭圆: 的左顶点和上顶点，椭圆的右顶点为，点是椭圆上位于轴上方的动点，直线与直线分别交于两点．‎ ‎（1）求椭圆方程；‎ ‎（2）求线段的长度的最小值；‎ ‎（3）当线段的长度最小时，在椭圆上有两点，使得,的面积都为，求直线在y轴上的截距．‎ ‎【答案】(1) ；(2) ；(3) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）因为直线过椭圆的左顶点与上顶点，故可解出直线与坐标轴的交点，即知椭圆的长半轴长与短半轴长，依定义写出椭圆的方程即可． ‎ ‎（2）引入直线AS的斜率k，用点斜式写出直线AS的方程，与l的方程联立求出点M的坐标，以及点S的坐标，又点B的坐标已知，故可解 出直线SB的方程，亦用参数k表示的方程，使其与直线l联立，求出点N的坐标，故线段MN的长度可以表示成直线AS的斜率k的函数，根据其形式选择单调性法或者基本不等式法求最值，本题适合用基本不等式求最值． （3）在上一问的基础上求出的参数k，则直线SB的方程已知，可求出线段SB的长度，若使面积为，只须点T到直线BS的距离为 即可，由此问题转化为研究与直线SB平行且距离为的直线与椭圆的交点个数问题，求出平行直线l'，即有得到y轴上的截距．‎ ‎【详解】解（1）由已知得椭圆的左顶点 (-2，0)，上顶点（0，1），‎ 得,故椭圆方程： ‎ ‎（2）直线AS的斜率k显然存在，且大于0，故设直线AS：，‎ 得 由得 ‎ 设，则，可得 从而，即 B（2，0），直线BS：‎ 可得，，‎ ‎ ，当且仅当时，线段长度最小值为．‎ ‎（3），直线BS的方程为，‎ 椭圆上有两点使三角形面积为，则点到BS的距离等于， ‎ 设直线：，由，得或 ‎①当，联立得，检验，符合题意．‎ ‎②，联立得，检验，舍去．‎ 综上所述，直线在y轴上的截距是 ‎【点睛】本题是解析几何中直线与圆锥曲线位置关系中很复杂题目，要求答题者拥有较高的探究转化能力以及对直线与圆锥曲线位置关系中特征有较好的理解，且运算能力较强才能胜任此类题的解题工作，这是一个能力型的题，好题．‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎20.已知函数（，是自然对数的底数）.‎ ‎（1）若函数在点处的切线方程为，试确定函数的单调区间；‎ ‎（2）①当，时，若对于任意，都有恒成立，求实数的最小值；②当时，设函数，是否存在实数，使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）①；②存在，使得命题成立 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用切线方程可知，，从而构造出方程组求得，得到解析式，根据导函数的符号确定的单调区间；（2）①将问题转化为对任意恒成立；设，利用导数求解，可得；②设存在，使得，将问题转化为，利用导数分别在，和研究的最大值和最小值，从而根据最值的关系可求得的取值范围.‎ ‎【详解】（1）由题意 在点处的切线方程为：‎ ‎，，即： 解得：，‎ ‎，‎ 当时，，当时，‎ 在上单调递减，在上单调递增 ‎（2）①由，，，即：‎ 对任意，都有恒成立等价于对任意恒成立 记，‎ 设 对恒成立 在单调递增 而，‎ 在上有唯一零点 当时，，当时，‎ 在单调递减，在上单调递增 的最大值是和中的较大的一个 ‎，即 ，‎ 的最小值为 ‎②假设存在，使得，则问题等价于 ‎ ‎ ‎⑴当时，，则在上单调递减 ‎，即，得： ‎ ‎（2）当时，，则在上单调递增 ‎，即，得： ‎ ‎（3）当时，当时，；当时，，‎ 在上单调递减，在上单调递增 ‎，即……（*）‎ 由（1）知在上单调递减，故，而 不等式（*）无解 综上所述，存在，使得命题成立 ‎【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到导数的几何意义的应用、研究函数的单调性、恒成立问题的求解.本题的解题关键是能够将问题转化为函数最值之间的关系，从而将恒成立问题进行等价转化，转变为函数最值的求解问题，‎