【数学】2020届一轮复习人教A版复数的解题策略（文）学案

【数学】2020届一轮复习人教A版复数的解题策略（文）学案

专题31 复数的解题策略 一．【学习目标】‎ ‎1．理解复数的有关概念，掌握复数相等的充要条件，并会应用．‎ ‎2．了解复数的代数形式的表示方法，能进行复数的代数形式的四则运算．‎ ‎3．了解复数代数形式的几何意义及复数的加、减法的几何意义，会简单应用．‎ 二．知识点与方法总结 ‎1．复数的有关概念 ‎(1)复数的概念 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部，若b≠0，则a＋bi为虚数，若a=0，则a＋bi为纯虚数，i为虚数单位．‎ ‎(2)复数相等：复数a＋bi＝c＋di⇔a =c ,b=d (a，b，c，d∈R)．‎ ‎(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a =c ,b=-d (a，b，c，d∈R)．‎ ‎(4)复数的模 向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|．‎ ‎2．复数的四则运算 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ‎(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；‎ ‎(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；‎ ‎(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；‎ ‎(4)除法：＝＝ ‎＝＝＋i(c＋di≠0)．‎ ‎3．两条性质 ‎(1)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(其中n∈N*)；‎ ‎(2)(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i.‎ ‎4.方法规律总结 ‎（1）.设z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化为实数问题是求解复数常用的方法.‎ ‎（2）.实数的共轭复数是它本身，两个纯虚数的积是实数.‎ ‎（3）.复数问题几何化，利用复数、复数的模、复数运算的几何意义，转化条件和结论，有效利用数和形的结合，取得事半功倍的效果.‎ 三．典例分析 ‎（一）复数的概念 例1．若复数（为虚数单位）在复平面内对应的点在虚轴上，则实数（ ）‎ A． B．2 C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 复数在复平面内对应的点在虚轴上，则，‎ 故选 练习1．若复数z＝（3﹣6i）（1+9i），则（　　）‎ A．复数z的实部为21‎ B．复数z的虚部为33‎ C．复数z的共轭复数为57﹣21i D．在复平面内，复数z所对应的点位于第二象限 ‎【答案】C 练习2．若复数（为虚数单位），则复数在坐标平面内对应点的坐标为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】z，则复数z在复平面内对应点的坐标是：（1，-1）．‎ 故选：B．‎ ‎（二）复数的几何意义 例2．已知复数在复平面内对应的点分别为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵复数 在复平面内对应的点分别为（1，1），（0， 1），‎ ‎∴＝1+i，＝i．∴．故选：D．‎ 练习1．复数在复平面上对应的点位于　　‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】因为 ‎ 所以复数z在复平面所对应的点是（1,3）‎ 练习2．设复数满足，其中为虚数单位，则复数对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】由（1+i）2•z＝2+i，得2iz＝2+i，‎ ‎∴，‎ ‎∴复数z对应的点的坐标为（，﹣1），位于第四象限．‎ 故选：D．‎ 练习3．已知，且，则实数的值为（ ）‎ A．0 B．1 C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵，∴‎ ‎∴＝3,得，则，‎ ‎∴a=，故选：C．‎ ‎（三）复数的运算法则 例3．计算（i为虚数单位），结果为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】=(11+2i)=-20-15i 故选：A.‎ 练习1．复数(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】复数.‎ 在复平面内对应的点为(-1,2) 位于第二象限.‎ 故选B.‎ 练习2．已知复数是纯虚数，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】依题意，由于为纯虚数，故，解得，故选A. ‎ 练习3．定义，若展开式中一次项的系数为，则等于（为虚数单位）（ ）‎ A． B． C．1 D．-1‎ ‎【答案】B ‎（四）复数的模及几何意义 例4．若复数，，其中是虚数单位，则的最大值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由复数的几何意义可得，复数对应的点为，复数对应的点为，所以，其中，‎ 故选C 练习1．已知复数，则　　‎ A． B． C．1 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】，‎ ‎，则，‎ 故选：B．学-科网 练习2．已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为A(－2，1)，B(a，3)．‎ ‎(1)若|z1－z2|＝，求a的值；‎ ‎(2)复数z＝z1·z2对应的点在第一、三象限的角平分线上，求a的值．‎ ‎【答案】（1）a＝－3或a＝－1。（2）a＝1。‎ ‎【解析】(1)由复数的几何意义可知，z1＝－2＋i，z2＝a＋3i，‎ ‎∵|z1－z2|＝|－a－2－2i|＝＝，‎ ‎∴a＝－3或a＝－1. ‎ ‎(2)z＝z1·z2＝(－2＋i)·(a＋3i)＝(－2a－3)＋(a－6)i，‎ 依题意可知点(－2a－3，a－6)在直线y＝x上，‎ ‎∴a－6＝－2a－3，‎ 解得a＝1.‎ 练习3．已知复数z满足|z|=,z2的虚部为-2,且z在复平面内对应的点在第二象限.‎ ‎(1)求复数z;‎ ‎(2)若复数ω满足|ω-1|≤,求ω在复平面内对应的点的集合构成的图形的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2） ‎ ‎【解析】(1)设z=x+yi(x,y∈R),则z2=x2-y2+2xyi,‎ 由|z|=,z2的虚部为-2,且z在复平面内对应的点在第二象限,‎ 得解得 ‎∴z=-1+i.‎ ‎(2)由(1)知,z=-1+i,‎ ‎∴====-+i,‎ ‎∴==,‎ ‎∴复数ω满足|ω-1|≤.‎ 由复数的几何意义,得 ω在复平面内对应的点的集合构成的图形是以(1,0)为圆心,为半径的圆面,‎ ‎∴其面积为π·=.‎ ‎（五）共轭复数 例5．若复数，则的共轭复数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 则的共轭复数是-1+i,故选：C 练习1．设复数（是虚数单位），则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎ ‎【解析】，故选B.‎ 练习2．下面是关于复数的四个命题：‎ ‎；；的虚部为2；的共轭复数为.‎ 其中真命题为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A 练习3．已知下列4个命题： ‎ ‎（2）若复数是方程的一个根，求实数，的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）4，10‎ 练习2．已知1＋i是实系数方程x2＋ax＋b＝0的一个根．‎ ‎(1)求a，b的值；‎ ‎(2)试判断1－i是否是方程的根．‎ ‎【答案】（1）a，b的值分别为－2，2；（2）1－i是方程的一个根．‎ ‎【解析】(1)∵1＋i是方程x2＋ax＋b＝0的根，‎ ‎∴(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝0，即(a＋b)＋(a＋2)i＝0，‎ ‎∴∴‎ ‎∴a，b的值分别为－2，2. ‎ ‎(2)由(1)知，实系数方程为x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程，‎ 左边＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝－2i－2＋2i＋2＝0，显然方程成立，‎ ‎∴1－i也是方程的一个根．‎ 练习3．对于n个复数z1，z2，…，zn，如果存在n个不全为零的实数k1，k2，…，kn，使得k1z1＋k2z2＋…＋knzn＝0，就称z1，z2，…，zn线性相关．若要说明复数z1＝1＋2i，z2＝1－i，z3＝－2线性相关，则可取{k1，k2，k3}＝________．(只要写出满足条件的一组值即可)‎ ‎【答案】 (或{2，4，3}等)‎ ‎【解析】由k1z1＋k2z2＋k3z3＝0，得k1(1＋2i)＋k2(1－i)＋k3×(－2)＝0，‎ 即(k1＋k2－2k3)＋(2k1－k2)i＝0，‎ ‎∴ ‎ ‎∴k1∶k2∶k3＝1∶2∶，‎ 故答案为或{2，4，3}等．‎