2018-2019学年河北省张家口市高一下学期期末数学试题（解析版）

2018-2019学年河北省张家口市高一下学期期末数学试题（解析版）

‎2018-2019学年河北省张家口市高一下学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．六棱柱的底面是边长为2的正六边形，侧面是矩形，侧棱长为4，则其全面积等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可知，求解正六棱柱的表面积，分别求解侧面积和上下底面面积即可。‎ ‎【详解】‎ 底面为正六边形，侧面是矩形，所以为正六棱柱，侧面面积为，上下底面面积为，所以全面积等于，故选B。‎ ‎【点睛】‎ 本题属于基础题，考查棱柱的表面积公式。‎ ‎2．已知，且，则 等于（ ）‎ A．-1 B． C． D．9‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用向量加法、减法的坐标表示得出，的坐标，根据向量垂直，内积为0，计算即可。‎ ‎【详解】‎ ‎，，由，则，所以，由此，解得。故选C ‎【点睛】‎ 本题考查了向量坐标的基本运算和向量垂直的坐标关系，属于基础题。‎ ‎3．已知三条不同的直线 ，且，，则与的位置关系是（ ）‎ A． B．与相交于一点 C．与异面 D．前三个答案都有可能 ‎【答案】D ‎【解析】根据直线与直线共面或异面判断位置关系即可。‎ ‎【详解】‎ 当直线共面时，直线可以平行或相交，直线异面时也可满足题目的条件，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与直线的位置关系，属于基础题。‎ ‎4．如图，已知正方体的棱长均为2，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）‎ A． B． C． D．0‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据正方体的线面关系，将平移至，找到异面直线所成角，求解即可。‎ ‎【详解】‎ 在正方体中，，所以异面直线与所成角为，由为正三角形，故。故选B。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了异面直线所成角，求解异面直线所成角的步骤：先平移找到角，再证明，最后求解。‎ ‎5．已知向量，，，若为实数，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用向量加法、减法的坐标表示得出的坐标，根据向量平行坐标交叉相乘且相等计算即可。‎ ‎【详解】‎ ‎，，由向量平行的坐标计算公式可知：，解得。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了向量坐标的基本运算和向量平行的坐标关系，属于基础题。‎ ‎6．如图，一圆锥形物体的母线长为4，其侧面积为，则这个圆锥的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先利用侧面积求解底面圆的周长，进而解出底面面积，再求体高，最后解得体积 ‎【详解】‎ 圆锥的展开图为扇形，半径，侧面积为为扇形的面积，所以扇形的面积，解得 ，所以弧长，所以底面周长为，由此可知底面半径，所以底面面积为，体高为，故圆锥的体积，故选C。‎ ‎【点睛】‎ 本题已知展开图的面积，母线长求体积，是圆锥问题的常见考查方式，解题的关键是抓住底面圆的周长为展开图的弧长。‎ ‎7．已知 为两条不同的直线， 为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）‎ A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．，，，则 ‎【答案】C ‎【解析】利用排除法即可。‎ ‎【详解】‎ 异面可平行于同一平面，故A、D错。平面可能相交，故B错。故选C。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与直线平行，直线与平面平行的性质定理，属于基础题。‎ ‎8．如图，四棱锥，， 是 的中点，直线交平面 于点 ，则下列结论正确的是（ ）‎ A． 四点不共面 B． 四点共面 C． 三点共线 D． 三点共线 ‎【答案】D ‎【解析】根据公理一、二、三逐一排除即可。‎ ‎【详解】‎ 直线与直线交于点，所以平面与平面交于点O，所以必相交于直线，直线在平面内，点故面，故四点共面，所以A错。‎ 点若与共面，则直线在平面内，与题目矛盾，故B错。‎ 为中点，所以，，故，故C错。‎ 故选D。‎ ‎【点睛】‎ 本题属于中档题，考查公理一、二、三的应用，学生不易掌握，属于易错题。‎ ‎9．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的表面积之比为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】分别计算圆柱，圆锥，球的表面积，再算比例值即可 ‎【详解】‎ 设球的半径为，圆柱的表面积。‎ 圆锥的表面积，，，故。‎ 球表面积，所以，故选A ‎【点睛】‎ 本题考查了圆柱，圆锥，球的表面积的公式，属于基础题。‎ ‎10．如图所示，平面四边形 中，，，，将其沿对角线 折成四面体，使面面 ，则下列说法中正确的是（ ）‎ ‎①平面平面ABD；‎ ‎②；‎ ‎③平面平面ACD.‎ A．①② B．②③ C．①③ D．①②③‎ ‎【答案】D ‎【解析】由面面垂直可得面，由此可得①对；由线面面，由此可②③对.‎ ‎【详解】‎ 由题意可知，，面面，面面，故面，所以面面；面面，，所以面，故；‎ 在面内，故面面。故选D。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线线垂直，线面垂直，面面垂直的判断定理和性质定理，综合性很强，在使用面面垂直的性质定理时，首先找交线，再找线线垂直，最后证明线面垂直。‎ ‎11．如图，三棱锥中，平面，，且为边长等于2的正三角形，则 与平面所成角的正弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先过A点作出高线，利用等体积法先求高线，再计算线面角。‎ ‎【详解】‎ 过点作垂直于平面的直线，垂足为O，利用等体积法求解。，由此解得， 与平面所成角为，所以,故选B ‎【点睛】‎ 本题考查了等体积法和线面角的基本求法，综合性强，在三棱锥中求高线，利用等体积法是一种常见处理手段，计算线面角，先找线面角，要找线面角必找垂线，而求解垂线的基本方法为等体积法或者点到平面的距离公式。‎ ‎12．已知三棱锥的所有棱长都是，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据结论，在正四面体中，外接球的半径R等于倍的棱长a直接计算即可 ‎【详解】‎ 根据结论在正四面体中，外接球的半径R等于倍的棱长a，可得，根据球的表面积公式，故选A ‎【点睛】‎ 本题考查正四面体的外接球，学生应掌握基本结论。‎ 二、填空题 ‎13．已知和点P满足，则与的面积之比为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据向量加法的平行四边形法则得出P为AC中线的中点，由此可得面积的比值。‎ ‎【详解】‎ ‎，故设，根据向量加法的平行四边形法则， O为线段AC的中点，，则P为线段BO的中点，，，所以。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量加法的平行四边形法则，以及相反向量的几何意义，属于基础题。‎ ‎14．如图所示，是水平放置的平面图形的直观图（斜二测画法），若，，则的面积是________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】先根据三角形的面积公式求解的面积，利用直观图与原图形面积之比为求解即可。‎ ‎【详解】‎ 由图可知：三角形的面积为,所以的直观图的面积为，由直观图与原图形面积之比为可知，的面积是2‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直观图和原图形面积的关系，学生应熟练掌握结论。‎ ‎15．已知一个圆锥的母线长为2，底面圆的周长为，则过圆锥顶点的截面面积的最大值为_____.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】先求底面圆的半径，判断出母线夹角的范围，利用截面三角形面积公式求最值即可。‎ ‎【详解】‎ 底面圆的周长为，所以半径为，两母线夹角最大为，圆锥的母线长为2，过圆锥顶点的截面面积，所以，当截面中的两圆锥母线夹角为时，截面面积最大为2‎ ‎【点睛】‎ 本题是易错题，先求出面积的函数表达式进而判断最大值，学生容易误认为垂直截面为面积的最大值。‎ ‎16．如图，为正方体，下面结论中正确的是_______.（把你认为正确的结论都填上）‎ ‎①平面；‎ ‎②平面；‎ ‎③与底面所成角的正切值是；‎ ‎④过点与异面直线AD与成角的直线有2条.‎ ‎【答案】①②④‎ ‎【解析】【详解】‎ ‎，因为面，所以，由此平面，故①对。由三垂线定理可知，，，所以面，故②对。‎ 由①②可知，为与面的所成角，所以，所以③错。‎ 在正方体中，所以过与异面直线所成角为与直线所成角。将图形抽象出来如下图所示。由于，所以如下图，有上下两条直线分别直线，所成角为，故与异面直线和成，所以④对。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线线垂直，线面垂直，判断定理和性质定理，以及异面直线所成角，‎ 综合性很强，题目偏难。在使用线线垂直，线面垂直的性质定理时，三垂线定理学生要熟练掌握。求解异面直线所成角的步骤：先平移找到角，再证明，最后求解。‎ 三、解答题 ‎17．已知正六棱锥，且， ，求正六棱锥的全面积 ‎【答案】‎ ‎【解析】根据正六棱锥的体积先求体高，再求侧棱，最后求解侧面面积，得解即可。‎ ‎【详解】‎ 解：取 的中点 ，连接 ‎ ‎，，‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了，圆锥的表面积，属于基础题，已知体积求表面积是常见考查方式，求解的关键是体高和侧面高线之间的关系。‎ ‎18．如图，圆锥的底面半径为2，母线长 ‎（1）求该圆锥的体积；‎ ‎（2）若用细绳从底面圆上点绕圆锥一周后回到处，则此时细绳的最短长度为多少?‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）根据母线和底面半径求解体高，再解体积即可。‎ ‎（2）先将问题细绳从底面圆上点绕圆锥一周后回到处的最短路径，转化为展开图中的距离，即为扇形的弦长，利用余弦定理求解即可。‎ ‎【详解】‎ 解：（1）‎ ‎（2）将圆锥沿 侧面展开如图，‎ 则为所求弧 在中 ‎【点睛】‎ 本题求解最短路径问题，转化为展开图的线量关系问题，利用几何的位置关系讨论最短的路径，解题的关键是抓住两点间的距离最短这个结论。‎ ‎19．在正项等比数列中，且，，成等差数列 ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足，求数列的前 项和.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）根据，，成等差数列建立方程式求解公比，得出通项公式。‎ ‎（2）根据错位相减求解数列的前 项和。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎（2）‎ ‎①-②得 ‎【点睛】‎ 本题属于基础题，利用方程求解数列的基本量，进而得出通项公式。等比数列乘等差数列型利用错位相减法求解。‎ ‎20．如图，在四棱锥中，，，Q是AD的中点，，，，‎ ‎（1）求证：平面平面 ；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正切值 ‎【答案】（1）见证明；（2）‎ ‎【解析】（1）先证明四边形为平行四边形，根据已知条件证明，进而证明面，最后得出面面垂直。‎ ‎（2）根据面面垂直，证明面，得出为直线与平面所成角，最后求解。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ 连接 ，，， 是 的中点 四边形是平行四边形 又 ‎，‎ ‎，‎ 面，面 面，面 ‎ 面面 ‎（2）由（1）知平面平面 又平面平面 ‎，平面 平面 则为直线与平面所成的角 在中，‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线线垂直证明线面垂直再得面面垂直，在使用面面垂直的性质定理时，首先找交线，再找线线垂直，最后得出线面垂直。，计算线面角，先利用线面垂直证明线面角，再计算。‎ ‎21．如图，在直三棱柱中，为正三角形，， 是的中点， 是的中点 ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求点到平面的距离.‎ ‎【答案】（1）见证明；（2）‎ ‎【解析】（1）利用为中点，利用中位线得出线线平面，进而得出线面平行。‎ ‎（2）先根据条件求解三棱锥的体积利用等体积法，求解到平面的距离，最后得出到平面 ‎【详解】‎ ‎（1）证明在中 是的中点，是的中点 平面 平面 平面 ‎（2）是的中点 到平面的距离为点到平面距离h的一半 取的中点 ，，‎ ‎，‎ 点到平面的距离为 ‎【点睛】‎ 在三棱锥中求点到平面的距离，利用等体积法是一种常见处理手段。‎ ‎22．如图，在四棱锥中，平面，在直角梯形中，，，， 为线段 的中点 ‎（1）求证：平面平面 ‎ ‎（2）在线段 上是否存在点 ，使得平面 ?若存在，求出点 的位置；若不存在，请说明理由 ‎（3）若 是中点，，，，，求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）见证明；（2）见解析；（3）‎ ‎【解析】（1）先证明四边形为矩形，得出，进而得出平面，最后得证面面垂直。‎ ‎（2）先取中点，证明，进而得出线面平行。‎ ‎（3）衔接，先平面，进而得出证明平面最后求解体积即可。‎ ‎【详解】‎ ‎，，E是BC中点 ‎，‎ 四边形ABED是平行四边形 四边形 为矩形 平面，‎ ‎，‎ 平面 平面 平面平面 ‎（2）取中点F连接 ‎ 在中，‎ 平面，平面 平面 当 为中点时，使得平面；‎ ‎（3）连接 ， 是 的中点 ‎，，，，‎ ‎，，‎ 平面 ‎，，‎ 平面 ，平面 ‎【点睛】‎ 本题考查线线垂直证明线面垂直再得面面垂直的证明过程，学生要熟练掌握；线面平行的证明的关键是线线平行，构造中位线是常见的处理方法。对于探索型问题，先猜想后证明。‎