辽宁省六校协作体2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

辽宁省六校协作体2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

‎2019—2020学年度上学期省六校协作体高二期中考试 数学试题 一、选择题（共10道题，每题4分，共40分。每题4个选项中，只有一个是符合题目要求的）‎ ‎1.已知＝(2，－3,1)，则下列向量中与平行的是（ ）.‎ A. (1,1,1) B. (－4,6，－2) C. (2，－3,-1) D. (－2，－3,1)‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量平行的定义知与平行，由此判断选项B正确.‎ ‎【详解】因为，则与平行，‎ 时，，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关向量共线的问题，涉及到的知识点有向量共线的定义，即与平行，，属于简单题目.‎ ‎2.已知两条直线，则的距离为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用两条平行直线间的距离公式，注意方程中的系数必须相同，利用距离公式求得结果.‎ ‎【详解】因为两直线平行，‎ 且，‎ 则它们之间的距离即为与之间的距离为：‎ ‎，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关两平行线之间的距离问题，涉及到的知识点有平行线间的距离公式，在求解的过程中，注意方程中的系数必须相同，属于简单题目.‎ ‎3.圆的圆心到直线的距离为，则（ ）.‎ A. 或-1 B. 0 C. D. -1或7‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出圆心坐标，代入点到直线距离公式，求得答案.‎ ‎【详解】将整理得，‎ 所以圆的圆心坐标为，‎ 所以圆心到直线的距离，‎ 整理得，解得或，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】该题考查的知识点是圆的一般方程，点到直线的距离公式，属于简单题目.‎ ‎4.在平面直角坐标系中，双曲线：的一条渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得双曲线的渐近线方程，以及圆的圆心和圆的半径，运用直线和圆相切的条件：，计算可得，结合离心率公式可得所求值.‎ ‎【详解】双曲线：的一条渐近线为：，‎ 即为，‎ 圆的圆心为，半径为，‎ 由直线和圆相切可得：，‎ 即，可得，‎ 则，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关双曲线的离心率的问题，涉及到的知识点有圆的标准方程，双曲线的渐近线，直线与圆相切的条件，点到直线的距离公式，属于简单题目.‎ ‎5.阿基米德（公元前287年—公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的焦点在x轴上，且椭圆C的离心率为，面积为12，则椭圆C的方程为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用已知条件列出方程组，求出，即可得到椭圆方程.‎ ‎【详解】由题意可得：，解得，‎ 因为椭圆的焦点在轴上，所以椭圆方程为：，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关椭圆方程的求解问题，涉及到的知识点有椭圆的几何性质，椭圆的面积，属于简单题目.‎ ‎6.动直线与圆交于点A,B,则弦最短为（ ）.‎ A. 3 B. 6 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 动直线过定点，圆的圆心，半径， ，所以弦最短为，从而求得结果.‎ ‎【详解】因为动直线，‎ 所以，‎ 所以动直线过定点，‎ 由可得，‎ 所以圆的圆心，半径，‎ ‎，‎ 因为直线与圆交于两点，‎ 所以弦最短为，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关直线与圆的有关知识，涉及到的知识点有直线过定点问题，点到直线的距离，圆中的特殊三角形，过定点的最短弦，属于中档题目.‎ ‎7.设抛物线的焦点为F，准线为，P为抛物线上一点，，A为垂足，如果直线AF的斜率为，那么（ ）.‎ A. B. C. D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出直线的方程，求出点和的坐标，利用抛物线的定义即可求的值.‎ ‎【详解】如图所示：‎ 因为抛物线方程为，‎ 所以焦点，准线的方程为，‎ 因为直线AF的斜率为，‎ 所以直线AF的方程为，‎ 当时，，‎ 所以点的坐标为，‎ 因为，A为垂足，‎ 所以点纵坐标为，‎ 代入抛物线方程，得点坐标为，‎ 所以，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关抛物线的问题，涉及到的知识点有抛物线的定义，直线的点斜式方程，点在抛物线上的条件，点到直线的距离公式，属于简单题目.‎ ‎8.从椭圆上一点P向轴作垂线，垂足恰为上焦点又点A是椭圆与轴负半轴的交点，点B是椭圆与x轴负半轴的交点，且 ABOP ，，则椭圆方程为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 欲求椭圆的方程，只需求出的值即可，因为过点向轴作垂线，垂足恰为上焦点，所以，由，可得与相等，所以，就此可得到一个含的等式，因为，所以，又得到一个含的等式，再根据椭圆中，，就可解出，得到椭圆的标准方程.‎ ‎【详解】因为，所以，所以， ‎ 又因为轴，所以，即，所以，‎ 又 解得，‎ 所以椭圆的方程为：，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关椭圆方程的求解问题，涉及到的知识点有利用题中的条件确定的值，从而得到结果，在解题的过程中，注意对题中条件的等价转化，注意的大小，属于简单题目.‎ ‎9.如图，在边长为2的正方体中，为平面内的一动点，于，若，则点的轨迹为（ ）‎ A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 如图所示，建立空间直角坐标系，设，，可得，，故，即，即点的轨迹为抛物线，故选C.‎ 点睛：本题考查了正方体的性质、圆锥曲线的定义、两点之间的距离公式，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题；如图在正方体中建立空间直角坐标系，将几何知识转化为代数关系，使问题更加直观.‎ ‎10.已知A，B，P是双曲线上不同的三点，直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，且是关于x的方程的两个实数根，若，则双曲线C的离心率是（ ）‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设P，A点坐标，确定B点坐标，利用韦达定理有，利用斜率公式及P,A在双曲线上建立方程组，即可得出结果.‎ ‎【详解】设点的坐标为，点的坐标为，因为，所以点的坐标为，‎ 因为，所以，即，又，在双曲线:上，所以，，两式相减得 ‎，即，又因为，所以，所以，所以，，选B．‎ ‎【点睛】本题考查求双曲线的离心率，列方程消元得到a,b,c的关系式是关键，考查运算求解能力，属于中档题.‎ 二．多选题（共3小题，每题4分，共12分。每题4个选项中，有两个正确选项，全部选对得4分，选对但不全得2分，有选错得0分）‎ ‎11.已知双曲线的渐近线方程为4x+3y=0,它的焦点是椭圆的长轴端点，则此双曲线方程为_____,离心率为______.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】BC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出椭圆的长轴端点，可得双曲线的焦点，根据题意设出双曲线的方程为，可得，求得，得到双曲线的方程，进而求得其离心率.‎ ‎【详解】由可得其长轴端点，‎ 由双曲线的渐近线为：，‎ 所以可设双曲线的方程为：，‎ 根据题意可得：，即，‎ 所以双曲线的标准方程为：，其离心率为，‎ 故选：BC.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关双曲线的有关问题，涉及到的知识点有椭圆的基本性质，共渐近线双曲线系方程，双曲线的离心率，属于简单题目.‎ ‎12.设椭圆的方程为，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A,B两点，M为线段AB的中点。下列结论正确的是（ ）.‎ A. 直线AB与OM垂直；‎ B. 若点M 坐标为（1,1），则直线方程为2x+y-3=0；‎ C. 若直线方程为y=x+1，则点M坐标为 D. 若直线方程为y=x+2，则.‎ ‎【答案】BD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别对各选项进行分析，结合椭圆中点弦的性质，可以判断A、B、C的正确性，利用弦长公式确定D项是正确的，从而得到答案.‎ ‎【详解】对于A项，因为在椭圆中，根据椭圆的中点弦的性质，‎ 所以A项不正确；‎ 对于B项，根据，所以，‎ 所以直线方程为，即，‎ 所以B项正确；‎ 对于C项，若直线方程为，点，则，‎ 所以C项不正确；‎ 对于D项，若直线方程为，与椭圆方程联立，‎ 得到，整理得：，‎ 解得，‎ 所以，‎ 所以D正确；‎ 故选：BD.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关椭圆的中点弦的斜率所满足的条件，以及直线被椭圆截得的弦长公式，属于简单题目.‎ ‎13.以下四个命题中真命题的序号是（ ）.‎ ‎①平面内到两定点距离之比等于常数的点的轨迹是圆；‎ ‎②平面内与定点A（-3，0）和B（3，0）的距离之差等于4的点的轨迹为；‎ ‎③点P是抛物线上的动点，点P在x轴上的射影是M,点A的坐标是，则的最小值是；‎ ‎④已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是 A. ① B. ② C. ③ D. ④‎ ‎【答案】AD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合阿波罗尼斯圆、双曲线的定义、抛物线的定义等，对命题逐一分析，进行判断，得到结果.‎ ‎【详解】对于①，平面内到两定点的距离之比为定值（不等于1）的点的轨迹是圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆，所以①正确；‎ 对于②，根据题意，结合双曲线的定义，可知题中没有加绝对值，所以是双曲线的一支，所以②错误；‎ 对于③，根据题意，结合抛物线的定义，可求得其最小值应为，所以③错误；‎ 对于④，根据抛物线的定义，可知抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离是相等的，将其转化我到焦点的距离，结合圆的相关性质可知④是正确的；‎ 故选：AD.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关判断命题正误的问题，涉及到的知识点有阿波罗尼斯圆、双曲线的定义、抛物线的定义，属于简单题目.‎ 三．填空题（本题共4道小题，每题2空，每空2分，共16分）‎ ‎14.已知向量，，则向量与的夹角为________；若与互相垂直，则的值是________.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先利用题中所给的两个向量的坐标求得，之后利用向量夹角公式求得其余弦值，结合角的范围确定出角的大小；利用向量垂直的条件是向量数量积等于零，利用向量数量积运算公式求得结果.‎ ‎【详解】因为，则，‎ 所以，‎ 又因为向量夹角的取值范围是，所以；‎ 因为和垂直，‎ 则有，即，‎ 所以有，解得；‎ 故答案是：；.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关空间向量的问题，涉及到的知识点有空间向量的线性运算，空间向量夹角公式，向量垂直的条件，向量数量积运算性质以及坐标运算公式，属于简单题目.‎ ‎15.图1是抛物线型拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽米，建立如下图2所示的直角坐标系，则抛物线的解析式为________;水面下降1米后，水面宽是 _______米. ‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出抛物线的解析式，由图中点在抛物线上，由待定系数法求出抛物线的解析式；把代入即可得结果.‎ ‎【详解】设这条抛物线的解析式为，‎ 由已知抛物线经过点，‎ 可得，解得，‎ 所以抛物线的解析式为：；‎ 当时，即，解得，‎ 所以当水面下降1米后，水面的宽度为米；‎ 故答案是：；.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关抛物线的应用的问题，涉及到的知识点有抛物线方程的求解方法，以及将实际问题模型化，点在曲线上的条件，属于简单题目.‎ ‎16.已知点，，若圆上存在点P使，则m的最大值为__________;此时点P的坐标为___________.‎ ‎【答案】 (1). 36 (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，由圆上存在点使，得到，从而，由此能求出的最大值，进而求得对应点的坐标.‎ 详解】由可得，‎ 所以圆的圆心，半径，‎ ‎，设，‎ 则，，‎ 因为圆上存在点使，‎ 所以 ‎，‎ 所以，解得或，‎ 所以的最大值为；‎ 此时满足，即，‎ 所以点的坐标为，即；‎ 故答案是：；.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关向量与圆的综合题，涉及到的知识点有由圆的一般方程向标准方程的转化，圆的参数方程的应用，用向量垂直的坐标表示，有关存在性问题的解题方向，属于中档题目.‎ ‎17.已知是椭圆的左、右焦点，过左焦点的直线与椭圆交于两点且，，则椭圆的离心率为____；若，则椭圆方程为__________.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用题中所给的条件，结合椭圆的定义可知点即为椭圆短轴的一个端点，可以设为上顶点，并且可以求得各个边长，之后利用三角形中两个邻补角的余弦值互为相反数，利用余弦定理建立所满足的关系式，从而求得离心率，进而得到相应的椭圆的方程.‎ ‎【详解】设，则有，‎ 所以，所以即为椭圆短轴的一个端点，设为上顶点，‎ 在中，，‎ 在中，，‎ 所以有，‎ 整理得：，所以；‎ 当时，，‎ 则椭圆的方程为：；‎ 故答案是：；.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关椭圆的问题，涉及到的知识点有椭圆的定义，椭圆离心率的求解，椭圆方程的求解，属于简单题目.‎ 四．解答题（共6小题，共82分）‎ ‎18.（1）求经过点(1,2)且在x轴上截距等于y轴上截距的直线方程；‎ ‎（2）求过直线与的交点，且与直线垂直的直线方程.‎ ‎【答案】（1）或；‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当直线不过原点时，设直线的方程为（或），把点代入求得，即可求得直线的方程，当直线过原点时，直线的方程为，综合可得答案；‎ ‎（2）先求出交点坐标，再根据两直线垂直求出所求直线的斜率，根据点斜式方程即可求出结果.‎ ‎【详解】（1）当直线过原点时，直线方程为；‎ 当直线不过原点时，设直线方程为或 直线经过即 直线方程为 ‎ 综上所述：直线方程为或 ‎ ‎（2）由得，交点为(2,2).‎ 设所求直线 代入点(2,2)得，C=-2 ‎ 故所求直线方程为.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关直线的问题，涉及到的知识点有直线方程的求解，直线相交时交点坐标的求法，两直线垂直时斜率所满足的关系，最关键的是截距相等时对应的情况包括过原点和不过原点两种情况，不要漏解，这是易错点.‎ ‎19.已知△ABC的三个顶点坐标为，，‎ ‎(1)求△ABC的外接圆的方程；‎ ‎(2) 若圆与圆相交,求两圆的公共弦长.‎ ‎【答案】（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，设出圆的一般方程，将三个点的坐标分别代入，得到关于的三元方程组，求解即可得结果；‎ ‎（2）将两圆方程相减，得到两圆公共弦所在直线的方程，利用点到直线的距离求得弦心距，利用勾股定理求得弦长，得到结果.‎ ‎【详解】（1）设圆的方程为把△ABC各个顶点代入得，‎ ‎，解得， ‎ 故所求△ABC的外接圆的方程为 ‎ ‎（2）设两圆的交点为M(x1,y1),N(x2,y2),则M,N的坐标满足方程组 两式相减得两圆的公共弦所在直线的方程为 ‎ 圆心到直线的距离 ‎ 则弦长 .‎ ‎【点睛】该题考查的是有关圆的问题，涉及到的知识点有待定系数法求圆的方程，两圆的位置关系，两个圆相交时公共弦所在直线的方程的求解，直线被圆截得的弦长问题，属于简单题目.‎ ‎20.如图所示的五面体中，平面平面, ,,∥，,，．‎ ‎（Ⅰ）求证：∥平面；‎ ‎（Ⅱ）求四棱锥的体积.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由可证明出平面，再利用直线与平面平行性质定理得出，再利用直线与平面平行的判定定理可证明平面；‎ ‎（Ⅱ）取中点，连接，由平面与平面垂直的性质定理得出平面，‎ 由平面，得知点到平面的距离等于，并计算出四边形 的面积，然后利用锥体的体积公式可计算，可得出答案。‎ ‎【详解】（Ⅰ）因为∥，平面，平面， 所以∥平面．‎ 又因为平面，平面平面，‎ 所以∥．因为平面，平面，‎ 所以∥平面 ‎（Ⅱ）取中点，连接．在△中，， 所以.‎ 因为平面平面，平面平面，‎ 平面所以平面．‎ 又因为，，所以.因为∥，，，，所以.‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查直线与平面平行，以及锥体体积的计算，在计算锥体体积时，若高不方便计算时，可以利用直线与平面平行，将所求的点利用平行线进行转移，利用等高来进行处理，考查计算能力与逻辑推理能力，属于中等题。‎ ‎21.已知抛物线C的顶点在原点，对称轴是y轴，直线与抛物线交于不同的两点、，线段中点的纵坐标为2，且.‎ ‎（1）求抛物线的标准方程；‎ ‎（2）设抛物线的焦点为，若直线经过焦点，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题中所给的条件，判断出抛物线的焦点所在轴以及开口方向，从而设出抛物线的标准方程为，根据定义列出等量关系式，求得，得到抛物线的方程；‎ ‎（2）根据题意，设出直线的方程为，与抛物线的方程联立消元得到，利用题意，列出等量关系式，求得k=±，得到结果.‎ ‎【详解】（1）由题意可设抛物线C的标准方程为：，‎ 设，则 ‎ ‎∵，∴，所以抛物线C的方程为： ‎ ‎（2）由已知得k一定存在且;故可设直线的方程为：， ‎ 则联立直线与抛物线方程，整理可得： ‎ 由韦达定理得，∴=4解得：k=±， ‎ 故所求直线方程为.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关抛物线的问题，涉及到的知识点有抛物线的定义，抛物线的标准方程的求解，直线与抛物线的位置关系，焦点弦长公式等，属于简单题目.‎ ‎22.已知椭圆的离心率为，其中一个焦点F在直线上.‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若直线和直线与椭圆分别相交于点、、、，求的值;‎ ‎（3）若直线与椭圆交于P，Q两点，试求面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）；‎ ‎（2）8；‎ ‎（3）1；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意得到椭圆的一个焦点即为直线与轴的交点，从而求得，结合离心率，求得的值，进而求得，得到椭圆的方程；‎ ‎（2）根据椭圆的定义和椭圆的对称性，得到结果；‎ ‎（3）将直线方程和椭圆的方程联立，利用弦长公式和点到直线的距离，利用面积公式写出三角形的面积，利用基本不等式求得最值，注意满足判别式大于零的条件.‎ ‎【详解】（1）椭圆一个焦点即为直线与轴的交点，所以，‎ 又离心率为则,，所以椭圆方程为；‎ ‎（2）设椭圆的另一个焦点为, 由已知得:‎ ‎ ‎ ‎（3）联立直线与椭圆方程得,， ‎ 令，得设方程的两根为，‎ 则，， ‎ 由弦长公式得，，点到直线的距离，‎ 当且仅当， 即或时取等号，而或满足，‎ 所以三角形面积的最大值为1.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关椭圆的问题，涉及到的知识点有椭圆的标准方程的求解，椭圆的定义，椭圆的性质，椭圆中三角形的面积最值的求解问题，属于中档题目.‎ ‎23.已知点为双曲线: 的左、右焦点，过作垂直于 轴的直线，在轴上方交双曲线C于点，且 ‎（1）求双曲线C的方程；‎ ‎（2）若直线与双曲线C恒有两个不同交点P和Q且 （其中O为原点），求k的取值范围;‎ ‎（3）过双曲线C上任意一点R作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为M,N，求的值.‎ ‎【答案】（1）；‎ ‎（2）或；‎ ‎（3）；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）结合双曲线的定义以及题中的直角三角形，可以得到等量关系，从而求得，进而得到，求得双曲线的方程；‎ ‎（2）设点，，将直线方程和双曲线方程联立，消元化简整理，利用判别式大于零，结合题中的条件，求得的取值范围；‎ ‎（3）先写出双曲线的渐近线方程，设双曲线上的点，设两渐近线的夹角为，利用题意求得，又因为点在双曲线上，点的坐标满足双曲线的方程，从而求得的值.‎ ‎【详解】（1）结合双曲线的定义以及直角三角形的特征 由已知得， ‎ 故双曲线的方程为： ‎ ‎（2）设点，，‎ 联立方程，得，‎ 因为，且解得，，且，‎ ‎ 因为，所以故，‎ 解不等式得或 ‎ 综上得，或；‎ ‎（3）由条件可知：两条渐近线分别为，‎ 设双曲线上的点，‎ 设两渐近线的夹角为，‎ 因为 ，‎ 所以，且，‎ ‎ ，‎ 又因为 ，‎ 所以.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关双曲线的问题，涉及到的知识点有双曲线的方程的求解，直线与双曲线的综合问题，向量的数量积，有关方程有解的条件，属于中档题目.‎ ‎ ‎