2018-2019学年江苏省海安高级中学高一上学期期中考试数学试题（创新实验班）

2018-2019学年江苏省海安高级中学高一上学期期中考试数学试题（创新实验班）

‎2018-2019学年江苏省海安高级中学高一上学期期中考试数学试题 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．‎ ‎1． 已知集合，则 ▲ ．‎ ‎2．若幂函数的图象经过点,则 ▲ .‎ ‎3．已知扇形的面积为平方厘米，弧长为厘米，则扇形的半径为 ▲ 厘米．‎ ‎4．函数的单调递减区间为 ▲ ．‎ ‎5．已知等比数列中， ， ，则 ▲ ．‎ ‎6. 函数的定义域为 ▲ ．‎ ‎7．已知，则 ▲ . ‎ ‎8. 已知奇函数在上单调递减,且,则不等式的解集为 ▲ ．‎ ‎9．在△ABC中，D是BC的中点，AD＝8，BC＝20，则的值 ▲ ．‎ ‎10．已知数列， 满足， ， ，则 ▲ ．‎ ‎11．若关于x的方程有两个不同的实数解，则实数a的取值范围是 ▲ .‎ ‎12．如图，在中，边BC的四等分点依次为D，E，F. 若 ，，‎ 则AE的长为 ▲ ．‎ A B C D E F ‎13. 设的内角的对边分别是,D为的中点,若且,则面积的最大值是 ▲ .‎ ‎14．已知函数,若对任意的实数,都存在唯一的实数,使,则实数的最小值是___．‎ 二、解答题： 本大题共5小题，共计90分．请在答题纸指定的区域内作答，解答时应写出文字说明，求证过程或演算步骤．‎ ‎15．（本题满分14分）‎ 已知集合, ‎ ‎(1)当时，用列举法表示出集合C；‎ ‎(2)若，求实数m的取值范围.‎ ‎16. （本题满分14分）‎ 已知函数.‎ ‎(1)求函数的最小正周期；‎ ‎(2)在中，角的对边分别为.若锐角满足， 且，求的面积.‎ ‎17．（本题满分14分）‎ 已知数列的前项和为，且．‎ ‎（1）证明：数列是等比数列．‎ ‎（2）若数列满足，且，求数列的通项公式．‎ ‎18．（本题满分16分）‎ 某市将建一个制药厂，但该厂投产后预计每天要排放大约80吨工业废气，这将造成极大的环境污染.为了保护环境，市政府决定支持该厂贷款引进废气处理设备来减少废气的排放，该设备可以将废气转化为某种化工产品和符合排放要求的气体，经测算，制药厂每天利用设备处理废气的综合成本（元）与废气处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为,且每处理1吨工业废气可得价值为80元的某种化工产品并将之利润全部用来补贴废气处理.‎ ‎（1）若该制药厂每天废气处理量计划定为吨，且工厂不用投入废气处理资金就能完成计划的处理量，求的取值范围；‎ ‎（2）若该制药厂每天废气处理量计划定为(‎ ‎)吨，且市政府决定为处理每吨废气至少补贴制药厂元以确保该厂完成计划的处理量总是不用投入废气处理资金，求的值.‎ ‎19.（本题满分16分） ‎ 设a为实数，函数.‎ ‎（1）求证：不是R上的奇函数；‎ ‎（2）若是R上的单调函数，求实数a的值；‎ ‎（3）若函数在区间上恰有3个不同的零点，求实数a的取值范围.‎ ‎20．(本小题满分16分) ‎ 已知数列中， ，前项和满足（）．‎ ‎（1） 求数列的通项公式；‎ ‎（2）记，求数列的前项和；‎ ‎（3）是否存在整数对（其中， ）满足？若存在，求出所有的满足题意的整数对；若不存在，请说明理由．‎ ‎【填空题答案】‎ ‎1．[1，2] 2．9 3．2 4．‎ ‎5. 4 6. 7．0或 8．‎ ‎9. -36 10. 11. a>1 12. ‎ ‎13. 14. ‎ ‎【解答题答案】‎ ‎15【解】(1)当时，则，………………2分 所以………………5分 ‎(2)若，则………………7分 ‎①当时，,解得；………………9分 ‎②当时，由,解得………………12分 综上所述，实数m的取值范围是.………………14分 ‎16【解】（1），………………3分 所以周期为. ………………5分 ‎（2） ‎ 因为A为锐角，所以.‎ 所以， ，得 ………………8分 ‎ 由正弦定理， ………………10分 所以…12分 所以 ………………14分 ‎17【解】（1）由可知当时，解得．………2分 当时， ， ，两式相减得 ‎，即，‎ ‎∴是首项为，公比为的等比数列． ………6分 ‎（2）由（1）可知，根据题意.………8分 所以当时，………12分 当时上式也满足条件，‎ 故数列的通项公式为．………14分 ‎18【解】（1）由题意可知，当时，令，解得；‎ ‎ ……………3分 当时，令，即，‎ 此时，无解. ……………6分 综上所述，当该制药厂每天废气处理量计划为吨时，工厂可以不用投入废气处理资金就能完成计划的处理量. ……………8分 ‎（2）市政府为处理每吨废气补贴元就能确保该厂每天的废气处理不需要投入资金，当时，不等式恒成立，‎ 即对任意恒成立，‎ 令 则.……………14分 故市政府只要为处理每吨废气补贴元就能确保该厂每天的废气处理不需要投入资金.‎ ‎……………16分 ‎19【解】（1）假设是R上的奇函数，‎ 则对任意的，都有 （*）‎ 取，得，解得， ……………2分 此时，从而，‎ 这与（*）矛盾，所以假设不成立，所以不是R上的奇函数；…………… 4分 ‎（2）‎ ‎①当时，对称轴，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，不符；……………6分 ‎②当时，对称轴，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，不符；……………8分 ‎③当时，对称轴，所以在上单调递减，在上单调递减，所以是R上的单调减函数．‎ 综上，．……………10分 ‎（3）①当时，由（2）知，是R上的单调减函数，至多1个零点，不符；‎ ‎②当时，由（2）知，，所以在上单调递减，‎ 所以在上至多1个零点，不符；……………12分 ‎③当时，由（2）知，，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．‎ 因为在区间上恰有3个零点，‎ 所以，‎ 解得，综上，实数a的取值范围是．……………16分 ‎20【解】⑴ 当时， 与相减，‎ 得，即（）， …………2分 在中，令可得， ，即； …………3分 故（），‎ 故数列是首项为，公比也为的等比数列，其通项公式为；…………5分 ‎⑵由⑴ 知， ‎ ‎， …………8分 ‎ 则．………10分 ‎(3),即，‎ 则 ………12分 若存在整数对(m,n),则必须是整数，其中只能是40的因数，………14分 可得n=1时，m= - 2； n=2时，m=34；n=3时，m=34；‎ 所有满足题意的整数对为（-2，1），（34，2），(34，3). ………16分