安徽省安庆市桐城市某中学2019-2020学年高三第三次模拟考试数学（文）试卷

安徽省安庆市桐城市某中学2019-2020学年高三第三次模拟考试数学（文）试卷

数学模拟试卷（文）‎ 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. 已知集合A={x|x‎2‎=-x}‎，B={x|-2x-1<1}‎，则A∩B=(    )‎ A. ‎{-1}‎ B. ‎{0}‎ C. ‎⌀‎ D. ‎‎{-1,0}‎ 2. 若a为实数，且复数z=(1-i)(1+ai)‎在复平面内对应的点位于虚轴上，则a=(    )‎ A. ‎-1‎ B. 0 C. 1 D. 2‎ 3. 已知正三棱柱的各棱长均为2，它的三视图中的俯视图如图所示，则该正三棱柱的左视图的面积为‎(    )‎ A. ‎3‎ B. 2 C. ‎2‎‎3‎ D. 4 ‎ 4. 已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=3x上，则cosα+sinαcosα-sinα‎=(    )‎ A. ‎-2‎ B. ‎-1‎ C. 1 D. 2‎ 5. 甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为‎0.4‎，甲不输的概率为‎0.9‎，则甲、乙下成平局的概率为‎(    )‎ A. ‎0.5‎ B. ‎0.3‎ C. ‎0.1‎ D. ‎‎0.6‎ 6. 函数f(x)=(1+tanx)cosx,x∈[-π‎4‎,0]‎，则f(x)‎的最大值为‎(    )‎ A. 1 B. ‎2‎ C. 2 D. ‎‎2+‎‎2‎ 7. 将函数y=‎‎3‎x的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的‎1‎‎9‎，得到函数y‎1‎，则函数y‎1‎的图象与函数y‎2‎‎=‎‎3‎‎2-x的图象‎(    )‎ A. 关于直线x=1‎对称 B. 关于直线x=2‎对称 C. 关于直线y=x对称 D. 没有对称关系 数学模拟试卷（文）‎ 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. 已知集合A={x|x‎2‎=-x}‎，B={x|-2x-1<1}‎，则A∩B=(    )‎ A. ‎{-1}‎ B. ‎{0}‎ C. ‎⌀‎ D. ‎‎{-1,0}‎ 2. 若a为实数，且复数z=(1-i)(1+ai)‎在复平面内对应的点位于虚轴上，则a=(    )‎ A. ‎-1‎ B. 0 C. 1 D. 2‎ 3. 已知正三棱柱的各棱长均为2，它的三视图中的俯视图如图所示，则该正三棱柱的左视图的面积为‎(    )‎ A. ‎3‎ B. 2 C. ‎2‎‎3‎ D. 4 ‎ 4. 已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=3x上，则cosα+sinαcosα-sinα‎=(    )‎ A. ‎-2‎ B. ‎-1‎ C. 1 D. 2‎ 5. 甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为‎0.4‎，甲不输的概率为‎0.9‎，则甲、乙下成平局的概率为‎(    )‎ A. ‎0.5‎ B. ‎0.3‎ C. ‎0.1‎ D. ‎‎0.6‎ 6. 函数f(x)=(1+tanx)cosx,x∈[-π‎4‎,0]‎，则f(x)‎的最大值为‎(    )‎ A. 1 B. ‎2‎ C. 2 D. ‎‎2+‎‎2‎ 7. 将函数y=‎‎3‎x的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的‎1‎‎9‎，得到函数y‎1‎，则函数y‎1‎的图象与函数y‎2‎‎=‎‎3‎‎2-x的图象‎(    )‎ A. 关于直线x=1‎对称 B. 关于直线x=2‎对称 C. 关于直线y=x对称 D. 没有对称关系 1. 过点‎(1,1)‎作圆x‎2‎‎+y‎2‎=4‎的弦，则所得弦长的取值范围为‎(    )‎ A. ‎[1,2‎2‎]‎ B. ‎[1,4]‎ C. ‎[2,4]‎ D. ‎‎[2‎2‎,4]‎ 2. 函数f(x)=(ex-e‎-x)sinx的大致图象为‎(    )‎ A. B. C. D. ‎ 3. 已知F‎1‎、F‎2‎是双曲线C：x‎2‎‎-y‎2‎=λ(λ>0)‎的左右焦点，点M在双曲线C上，且MF‎1‎⊥x轴，则cos∠MF‎2‎F‎1‎=(    )‎ A. ‎1‎‎3‎ B. ‎2‎‎3‎ C. ‎2‎‎3‎ D. ‎‎2‎‎2‎‎3‎ 4. 在锐角‎△ABC中，BC=2‎，sinB+sinC=2sinA，则BC边上的中线长的最小值为‎(    )‎ A. 1 B. ‎2‎ C. ‎3‎ D. 2‎ 5. 已知A，B，C是球O的球面上的三点，AB=2‎，AC=2‎‎3‎，‎∠ABC=60°‎，且球O表面积为‎32π，则点B到平面OAC的距离为‎(    )‎ A. 2 B. ‎4‎‎5‎‎5‎ C. ‎5‎ D. ‎‎2‎‎5‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 6. 已知向量a‎//‎b，且a‎⊥(a-c)‎，若b‎=(3,1)‎，c‎=(1,2)‎，则非零向量a‎=‎______‎ 7. 某校高一年级从815名学生中选取30名学生参加庆祝建国70周年大合唱节目，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从815人中剔除5人，剩下的810人再按系统抽样的方法抽取30人，则每人入选的概率______．‎ 1. 设实数x、y满足条件x+y-4≤0‎x-y≥0‎y≥1‎，则z=(x-3‎)‎‎2‎+(y-2‎‎)‎‎2‎的最小值为______．‎ 2. ‎.‎已知函数f(x)=lnx+a，g(x)=ax+b+1‎，若‎∀x>0‎，f(x)≤g(x)‎，则ba的最小值为______．‎ 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）‎ 3. 已知‎{an}‎是等比数列，an‎>0‎，且a‎2‎‎=‎‎2‎‎3‎，a‎6‎‎-a‎5‎=2‎a‎4‎． ‎(1)‎求数列‎{an}‎的通项公式； ‎(2)‎设bn‎=‎anan+1‎，求数列‎{bn}‎的前n项和Sn．‎ 4. 随着节能减排意识深入人心以及共享单车的大范围推广，越来越多的市民在出行时喜欢选择骑行共享单车．为了研究广大市民在共享单车上的使用情况，某公司在我市随机抽取了100名用户进行调查，得到如表数据：‎ 每周使用次数 ‎1次 ‎2次 ‎3次 ‎4次 ‎5次 ‎6次及以上 男 ‎4‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎30‎ 女 ‎6‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎20‎ 合计 ‎10‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎11‎ ‎14‎ ‎50‎ ‎(1)‎如果认为每周使用超过3次的用户为“喜欢骑行共享单车”，请完成‎2×2‎列联表，并判断能否在犯错误概率不超过‎0.05‎的前提下，认为是否喜欢骑行共享单车与性别有关？‎ 不喜欢骑行共享单车 喜欢骑行共享单车 合计 男 女 合计 ‎(2)‎每周骑行共享单车6次及6次以上的用户称为“骑行达人”，按照分层抽样的方式从“骑行达人”中抽取5人做进一步调查，然后从5人中抽2人进行座谈，求这两人性别不同的概率． 附：下面的临界值表仅供参考．‎ K‎2‎‎≥‎k‎0‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k‎2‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 参考公式：K‎2‎‎=‎n(ad-bc‎)‎‎2‎‎(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)‎，其中n=a+b+c+d．‎ 1. 如图所示的几何体中，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，四边形AOFE为平行四边形，OF⊥‎平面ABCD，H为线段BF上一点． ‎(1)‎证明：EF⊥OH； ‎(2)‎若AB=BD=8‎，OF=6‎，设三棱锥B-AHC的体积为V‎1‎，四棱锥D-EFCA的体积为V‎2‎，且V‎2‎‎=3‎V‎1‎，求四棱锥H-ABCD的侧面积．‎ 2. 在平面直角坐标系xOy中，点F(1,0)‎为椭圆E：x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎的右焦点，过F的直线与椭圆E交于A、B两点，线段AB的中点为P(‎2‎‎3‎,‎1‎‎3‎).‎ ‎(1)‎求椭圆E的方程； ‎(2)‎若直线OM、ON斜率的乘积为‎-‎b‎2‎a‎2‎，两直线OM，ON分别与椭圆E交于C、M、D、N四点，求四边形CDMN的面积．‎ 3. 已知函数f(x)=(2-2x+ax‎2‎)ex+(1-a)‎x‎2‎ ‎(1)‎求y=f(x)‎在‎(0,2)‎处的切线方程； ‎(2)‎若a=‎‎2‎‎3‎，证明f(x)≥2‎ 4. 以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程为x=1+‎5‎‎5‎ty=‎2‎‎5‎‎5‎t‎(t为参数‎)‎，曲线C的参数方程为x=2‎s‎2‎y=2s‎(s为参数‎)‎． ‎(1)‎求直线l的斜率和曲线C的普通方程； ‎(2)‎设直线l 和曲线C相交于A、B两点，求以线段AB为直径的圆的极坐标方程．‎ ‎ ‎ 1. 已知函数f(x)=|2x-7|+1‎． ‎(1)‎求不等式f(x)>|x-1|‎的解集； ‎(2)‎若不等式f(x)>ax对一切x∈R都成立，求实数a的取值范围．‎ 数学试卷（文）‎ 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ BACAA ABDDD CB 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ ‎13【答案】‎(‎3‎‎2‎,‎1‎‎2‎)‎ 14【答案】‎6‎‎163‎ 15【答案】‎1‎‎2‎ 16【答案】‎‎1-e 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）‎ ‎17【答案】解：‎(1)‎根据题意，设等比数列‎{an}‎的公比为q， 若a‎6‎‎-a‎5‎=2a‎4‎.‎则有q‎2‎‎-q=2‎，解可得q=2‎或‎-1‎， 又由an‎>0‎，则q=2‎， 又由a‎2‎‎=‎‎2‎‎3‎，则an‎=‎2‎‎3‎×‎2‎n-2‎=‎‎2‎n-1‎‎3‎， ‎(2)‎根据题意，an‎=‎‎2‎n-1‎‎3‎，an+1‎‎=‎‎2‎n‎3‎， bn‎=anan+1‎=‎2‎n-1‎‎3‎×‎2‎n‎3‎=‎‎2‎‎2n-1‎‎9‎， 故数列‎{bn}‎是首项为b‎1‎‎=a‎1‎a‎2‎=‎‎2‎‎9‎，公比为4的等比数列 则其前n项和Sn‎=‎2‎‎9‎‎(‎4‎n-1)‎‎4-1‎=‎2‎‎27‎(‎4‎n-1)‎．‎ ‎18【答案】解：‎‎(1)‎ 不喜欢骑行共享单车 喜欢骑行共享单车 合计 男 ‎10‎ ‎45‎ ‎55‎ 女 ‎15‎ ‎30‎ ‎45‎ 合计 ‎25‎ ‎75‎ ‎100‎ K‎2‎‎=n(ad-bc‎)‎‎2‎‎(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)‎=‎100(45×15-30×10‎‎)‎‎2‎‎25×75×55×45‎≈3.03<3.841‎‎， 故在犯错误概率不超过‎0.05‎的前提下，不能认为喜欢骑行共享单车与性别有关； ‎(2)‎根据分层抽样抽取5名“骑行达人”中，男性3人，女性2人， 总共有10种情况，2人性别不同的有6种， 故概率为‎6‎‎10‎‎=0.6‎ ‎19【答案】解：‎(1)‎证明：‎∵‎菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O， ‎∴AC⊥BD， ‎∵OF⊥‎平面ABCD， ‎∴AC⊥FO， ‎∵BD∩FO=O， ‎∴AC⊥‎平面BDF， ‎∵‎四边形AOFE为平行四边形， ‎∴EF//AC， ‎∴EF⊥‎平面BDF， ‎∵OF⊂‎平面BDF， ‎∴EF⊥OH； ‎(2)‎设点H到平面ABCD的距离为h，则V‎1‎‎=VH-ABC=‎1‎‎3‎S‎△ABCh=‎16‎‎3‎‎3‎h，V‎2‎‎=‎1‎‎3‎S四边形EFCA⋅DO=8‎3‎OF， ‎∵V‎2‎=3‎V‎1‎， ‎∴hOF=‎‎1‎‎2‎，故H为线段BF的中点， 取OB中点G，连接GH，则GH//OF， ‎∵OF⊥‎平面ABCD， ‎∴GH⊥‎平面ABCD， ‎∴GH⊥BC， 作GM⊥BC，交BC于M，连接HM， ‎∵GM∩GH=G， ‎∴BC⊥‎平面HGM， ‎∴BC⊥HM， 而Rt△GMB中，GM=2sin60°=‎‎3‎， ‎∴Rt△HGM中，HM=HG‎2‎+GM‎2‎=2‎‎3‎， ‎∴S‎△HBC=8‎‎3‎， 同理可得S‎△HAB‎=8‎‎3‎，而‎△HAD的面积等于‎△HDC的面积，即S‎△HAD‎=S‎△HDC=24‎， ‎∴‎四棱锥H-ABCD的侧面积为‎2S‎△HAD+2S‎△HAB=16‎3‎+48‎．‎ ‎20【答案】解：‎(1)‎由题意可知，c=1‎，设A(x‎1‎,y‎1‎)‎，B(x‎2‎,y‎2‎)‎， ‎∴x‎1‎+x‎2‎=‎‎4‎‎3‎，y‎1‎‎+y‎2‎=‎‎2‎‎3‎， 又‎∵‎点A，B在椭圆上， ‎∴‎x‎1‎‎2‎a‎2‎‎+y‎1‎‎2‎b‎2‎=1‎x‎2‎‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎‎2‎b‎2‎=1‎，两式相减得：‎(x‎1‎+x‎2‎)(x‎1‎-x‎2‎)‎a‎2‎‎+‎(y‎1‎+y‎2‎)(y‎1‎-y‎2‎)‎b‎2‎=0‎， ‎∴y‎1‎‎-‎y‎2‎x‎1‎‎-‎x‎2‎=-‎‎2‎b‎2‎a‎2‎，即直线AB的斜率为：‎-‎‎2‎b‎2‎a‎2‎， 又‎∵‎直线AB过右焦点F(1,0)‎，过点P(‎2‎‎3‎,‎1‎‎3‎)‎， ‎∴‎直线AB的斜率为：‎0-‎‎1‎‎3‎‎1-‎‎2‎‎3‎‎=-1‎， ‎∴-‎2‎b‎2‎a‎2‎=-1‎，‎∴a‎2‎=2‎b‎2‎， 又‎∵a‎2‎=b‎2‎+‎c‎2‎，c=1‎， ‎∴a‎2‎=2‎，b‎2‎‎=1‎， ‎∴‎椭圆E的方程为：x‎2‎‎2‎‎+y‎2‎=1‎； ‎(2)‎设点M(x‎1‎,y‎1‎)‎，N(x‎2‎,y‎2‎)‎， 由题意可知，y‎1‎x‎1‎‎⋅y‎2‎x‎2‎=-‎‎1‎‎2‎，即x‎1‎x‎2‎‎+2y‎1‎y‎2‎=0‎， ‎①‎当直线MN的斜率不存在时，显然x‎1‎‎=‎x‎2‎，y‎1‎‎=-‎y‎2‎， ‎∴x‎1‎‎2‎-2y‎1‎‎2‎=0‎，又x‎1‎‎2‎‎2‎‎+y‎1‎‎2‎=1‎， ‎∴x‎1‎‎2‎=1‎，y‎1‎‎2‎‎=‎‎1‎‎2‎， ‎∴‎四边形CDMN的面积S=4|x‎1‎||y‎1‎|=2‎‎2‎， ‎②‎当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为：y=kx+m， 联立方程y=kx+mx‎2‎‎2‎‎+y‎2‎=1‎，消去y得：‎(1+2k‎2‎)x‎2‎+4kmx+2m‎2‎-2=0‎， ‎∴x‎1‎+x‎2‎=‎‎-4km‎1+2‎k‎2‎，x‎1‎x‎2‎‎=‎‎2m‎2‎-2‎‎1+2‎k‎2‎， ‎∴y‎1‎y‎2‎=(kx‎1‎+m)(kx‎2‎+m)=k‎2‎x‎1‎x‎2‎+km(x‎1‎+x‎2‎)+m‎2‎=‎‎-2k‎2‎+‎m‎2‎‎1+2‎k‎2‎， ‎∵x‎1‎x‎2‎+2y‎1‎y‎2‎=0‎， ‎∴‎2m‎2‎-2‎‎1+2‎k‎2‎+‎-4k‎2‎+2‎m‎2‎‎1+2‎k‎2‎=0‎， 整理得：‎1+2k‎2‎=2‎m‎2‎， 由弦长公式得：‎|MN|=‎1+‎k‎2‎⋅‎(x‎1‎+x‎2‎‎)‎‎2‎-4‎x‎1‎x‎2‎=‎1+‎k‎2‎⋅‎8(1+2k‎2‎-m‎2‎)‎‎(1+2‎k‎2‎‎)‎‎2‎=‎1+‎k‎2‎⋅‎‎2‎‎|m|‎m‎2‎， 原点‎(0,0)‎到直线MN的距离d=‎‎|m|‎‎1+‎k‎2‎， ‎∴S‎△MON=‎1‎‎2‎×|MN|×d=‎1‎‎2‎×‎1+‎k‎2‎⋅‎2‎‎|m|‎m‎2‎×‎|m|‎‎1+‎k‎2‎=‎‎2‎‎2‎， 由椭圆的对称性可知：四边形CDMN的面积为‎4S‎△MON=2‎‎2‎， 综上所述，四边形CDMN的面积为‎2‎‎2‎．‎ ‎21【答案】解：‎(1)‎函数的定义域为R，f'(x)=(2ax-2x+ax‎2‎)ex+2(1-a)x， ‎∴f'(0)=0‎， 故y=f(x)‎在‎(0,2)‎处的切线方程为y=2‎． ‎(2)‎证明：原问题可转化为求f(x‎)‎min≥2‎， 当a=‎‎2‎‎3‎时，f'(x)=(2⋅‎2‎‎3‎x-2x+‎2‎‎3‎x‎2‎)ex+‎2‎‎3‎=‎2‎‎3‎x[(x-1)ex+1]‎， 令h(x)=(x-1)ex+1‎，则h'(x)=x⋅‎ex， ‎∴‎当x<0‎时，h'(x)<0‎，h(x)‎单调递减；当x>0‎时，h'(x)>0‎，h(x)‎单调递增； ‎∴h(x‎)‎min=h(0)=0‎，即h(x)≥0‎恒成立， ‎∴f'(x)‎的正负性由y=‎2‎‎3‎x决定， 因此当x<0‎时，f'(x)<0‎，f(x)‎单调递减；当x>0‎时，f'(x)>0‎，f(x)‎单调递增； ‎∴f(x‎)‎min=f(0)=2‎， 故命题得证．‎ ‎22【答案】解：‎(1)‎已知直线l的参数方程为x=1+‎5‎‎5‎ty=‎2‎‎5‎‎5‎t‎(t为参数‎)‎，转换为直角坐标方程为y=2(x-1)‎，所以直线的斜率为k=2‎． 曲线C的参数方程为x=2‎s‎2‎y=2s‎(s为参数‎)‎，转换为直角坐标方程为y‎2‎‎=2x． ‎(2)‎把直线l的直角坐标方程代入y‎2‎‎=2x，得到：‎4(x-1‎)‎‎2‎=2x， 整理得‎2x‎2‎-5x+2=0‎，解得x‎1‎‎=‎‎1‎‎2‎或x‎2‎‎=2‎， 故：A(‎1‎‎2‎,-1)‎，B(2,2)‎． 所以圆心坐标为‎(‎5‎‎4‎,‎1‎‎2‎)‎，半径为r=‎|AB|‎‎2‎=‎1‎‎2‎×‎(2-‎1‎‎2‎‎)‎‎2‎+(2+1‎‎)‎‎2‎=‎‎11‎‎2‎． 所以圆的方程为‎(x-‎5‎‎4‎‎)‎‎2‎+(y-‎1‎‎2‎‎)‎‎2‎=‎‎11‎‎4‎，转换为极坐标方程为：ρ‎2‎‎-‎5‎‎2‎ρcosθ-ρsinθ-‎15‎‎16‎=0‎．‎ ‎23【答案】解：‎(1)f(x)>|x-1|‎即为‎|x-1|-|2x-7|<1‎， 可得x≥‎‎7‎‎2‎x-1-(2x-7)<1‎或‎15‎或‎15}‎； ‎(2)‎不等式f(x)>ax对一切x∈R都成立， 即为‎1+|2x-7|>ax恒成立， 当x≥‎‎7‎‎2‎时，‎2x-6>ax，即‎2-a>‎‎6‎x， 由‎6‎x‎≤‎‎12‎‎7‎ ‎，可得‎2-a>‎‎12‎‎7‎，即a<‎‎2‎‎7‎； 当x<0‎时，‎8-2x>ax，即有a+2>‎‎8‎x， 则a+2≥0‎，即a≥-2‎； 当x=0‎时，‎1+|2x-7|>ax显然成立； 当‎0ax，即有a+2<‎‎8‎x恒成立， 由‎8‎x‎>‎‎16‎‎7‎，可得a+2≤‎‎16‎‎7‎，即a≤‎‎2‎‎7‎． 综上可得a的范围是‎[-2,‎2‎‎7‎).‎