2015年高考真题——数学（江苏卷） 原卷版

2015年高考真题——数学（江苏卷） 原卷版

一、填空题：本大题共 14 个小题,每小题 5 分,共 70 分. 1.已知集合 ， ，则集合 中元素的个数为_______. 2.已知一组数据 4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________. 3.设复数 z 满足 （i 是虚数单位），则 z 的模为_______. 4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果 S 为________. 5.袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中 1 只白球，1 只红球，2 只黄球，从中一次随机摸 出 2 只球，则这 2 只球颜色不同的概率为________. 6.已知向量 a= ，b= , 若 ma+nb= ( ), 的值为______. 7.不等式 的解集为________. 8.已知 ， ，则 的值为_______. 9.现有橡皮泥制作的底面半径为 5，高为 4 的圆锥和底面半径为 2、高为 8 的圆柱各一个。若 将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新 的底面半径为 10.在平面直角坐标系 中，以点 为圆心且与直线 相切的 所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 11.数列 满足 ，且 （ ），则数列 的前 10 项和为 12.在平面直角坐标系 中， 为双曲线 右支上的一个动点。若点 到直线  3,2,1A  5,4,2B BA  2 3 4z i  S←1 I←1 While I  10 S←S＋2 I←I＋3 End While Print S （第 4 题图） )1,2( )2,1(  )8,9(  Rnm , nm  2 2 4x x  tan 2     1tan 7   tan  xOy )0,1( )(012 Rmmymx  }{ na 11 a 11  naa nn *Nn }1{ na xOy P 122  yx P 的距离大于 c 恒成立，则是实数 c 的最大值为 13.已知函数 ， ，则方程 实根的个数 为 14.设向量 ，则 的值为 二、解答题 （本大题共 6 小题，共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.） 15.（本小题满分 14 分） 在 中，已知 . （1）求 的长； （2）求 的值. 16.（本题满分 14 分） 如图，在直三棱柱 中，已知 ， ，设 的中点为 ， .求证：（1） ； （2） . 17.（本小题满分 14 分） 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条 连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为 ，山区边界曲线为 C， 计划修建的公路为 l，如图所示，M，N 为 C 的两个端点，测得点 M 到 的距离分别为 5 千米和 40 千米，点 N 到 的距离分别为 20 千米和 2.5 千米，以 所在的直线分别为 x， 01 yx |ln|)( xxf       1,2|4| 10,0)( 2 xx xxg 1|)()(|  xgxf )12,,2,1,0)(6cos6sin,6(cos  kkkkak  11 1 0 ( )k k k a a      ABC 60,3,2  AACAB BC C2sin 111 CBAABC  BCAC  1CCBC  1AB D EBCCB 11  CCAADE 11// 平面 11 ABBC  1 2l l， 1 2l l， 1 2l l， 1 2l l， y 轴，建立平面直角坐标系 xOy，假设曲线 C 符合函数 （其中 a，b 为常数）模型. （1）求 a，b 的值； （2）设公路 l 与曲线 C 相切于 P 点，P 的横坐标为 t. ①请写出公路 l 长度的函数解析式 ，并写出其定义域； ②当 t 为何值时，公路 l 的长度最短？求出最短长度. 18.（本小题满分 16 分） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 的离心率为 ，且 右焦点 F 到左 准线 l 的距离为 3. （1）求椭圆的标准方程； （2）过 F 的直线与椭圆交于 A，B 两点，线段 AB 的垂直平分线分别交直线 l 和 AB 于点 P， C，若 PC=2AB，求直线 AB 的方程. 19.（本小题满分 16 分） 已知函数 . 2 ay x b   f t   2 2 2 2 1 0x y a ba b    2 2 ),()( 23 Rbabaxxxf  （1）试讨论 的单调性； （2）若 （实数 c 是 a 与无关的常数），当函数 有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是 ，求 c 的值. 20.（本小题满分 16 分） 设 是各项为正数且公差为 d 的等差数列 （1）证明： 依次成等比数列； （2）是否存在 ，使得 依次成等比数列，并说明理由； （3）是否存在 及正整数 ，使得 依次成等比数列，并说明理 由. 附加题 21.A（选修 4—1：几何证明选讲） 如图，在 中， ， 的外接圆圆 O 的弦 交 于点 D 求证： ∽ 21.B（选修 4—2：矩阵与变换） 已知 ，向量 是矩阵 的属性特征值 的一个特征向量，矩阵 以及它的另一个特征值. )(xf acb  )(xf ),2 3()2 3,1()3,(   1 2 3 4, , ,a a a a ( 0)d  31 2 42 ,2 ,2 ,2aa a a 1,a d 2 3 4 1 2 3 4, , ,a a a a 1,a d ,n k knknknn aaaa 3 4 2 321 ,,,  ABC ACAB  ABC AE BC ABD AEB A B C E D O （第 21——A 题） Ryx ,      1 1      0 1 y xA 2 A 21.C（选修 4—4：坐标系与参数方程） 已知圆 C 的极坐标方程为 ，求圆 C 的半径. 21.D（选修 4—5：不等式选讲） 解不等式 22.（本小题满分 10 分） 如图，在四棱锥 中，已知 平面 ，且四边形 为直角梯 形， , （1）求平面 与平面 所成二面角的余弦值； （2）点 Q 是线段 BP 上的动点，当直线 CQ 与 DP 所成角最小时，求线段 BQ 的长 23.（本小题满分 10 分） 已知集合 ， ， ，令 表示集合 所含元素的个数. （1）写出 的值； （2）当 时，写出 的表达式，并用数学归纳法证明. 2 2 2 sin( ) 4 04       | 2 3| 3x x   P ABCD PA  ABCD ABCD 2ABC BAD     2, 1PA AD AB BC    PAB PCD P A B C D Q  3,2,1X   )(,,3,2,1 *NnnYn    ,),( abbabaSn 整除或整除 nYbXa  , ( )f n nS (6)f 6n  ( )f n