上海市七宝中学2020届高三上学期10月月考数学试题
2019-2020年七宝中学高三上10月月考
一.填空题
1.已知复数满足（是虚数单位），则 ．
【答案】5
【解析】
【分析】
把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．
【详解】由（1+i）z=1﹣7i，
得，
则|z|=．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．
2.设，，若，则实数的范围是________
【答案】
【解析】
【分析】
由已知集合M，N，以及M交N，可得到实数a的取值范围．
【详解】解：∵集合M＝{x|x≤a}，N＝{﹣2，0，1}，
又M∩N＝{﹣2，0}，
∴实数a的取值范围是：0≤a＜1．
故答案为：[0，1）．
【点睛】本题考查了交集及其运算，利用好数轴是解题的关键，是基础题．
3.已知定义域在[-1，1]上的函数y=f（x）的值域为[-2，0]，则函数y=f（cos）的值域是______．
【答案】[-2，0]
【解析】
【分析】
可以看出-1，从而对应的函数值，这便得出了该函数的值域．
【详解】解：∵cos∈[-1，1]；
∴；
即y∈[-2，0]；
∴该函数的值域为[-2，0]．
故答案为：[-2，0]．
【点睛】考查函数定义域、值域的概念，本题可换元求值域：令cos=t，-1≤t≤1，从而得出f（t）∈[-2，0]．
4.若，则的值是________
【答案】
【解析】
【分析】
利用诱导公式即可得到结果.
【详解】∵，
∴
故答案为：
【点睛】本题考查诱导公式的应用，考查学生恒等变形的能力，属于常考题型.
5.设（）展开式中的系数为，常数项为，若，则________
【答案】2
【解析】
【分析】
首先写出二项展开式的通项，化简后按照要求确定字母的指数，得到特征项．
【详解】解：二项式（a＞0）的展开式，通项为，
令63，得到k＝2，所以x3系数为A15a2；
令6k＝0，k＝4，所以常数项为B15a4，
又B＝4A，所以15a4＝4×15a2，a＞0，解得a＝2；
故答案为：2
【点睛】本题考查了二项展开式的特征项的求法，关键是正确写出通项，考查学生的计算能力．
6.向量在向量 方向上的投影为________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据向量在向量方向上投影公式计算即可.
【详解】依题意得，因此向量在向量方向上的投影为.
【点睛】本题主要考查了向量在向量方向上的投影及其计算，属于中档题.
7.已知函数若则实数的取值范围是
_____________.
【答案】
【解析】
解：因为根据函数图像可知，分段函数在整个定义域上单调递增，因此原不等式等价于2-a2>a，解得a的范围是-2
0,
所以.
所以函数的值域为.
【点睛】(1)本题主要考查常量代换和基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 本题的解题关键是对“1”的常量代换，再利用基本不等式求函数的最小值. 利用基本不等式求最值时，要注意“一正二定三相等”，三个条件缺一不可.
20.已知，函数.
（1）当时，解不等式；
（2）若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的取值范围；
（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.
【答案】（1）．（2）．（3）．
【解析】
试题分析：（1）当时，解对数不等式即可；（2）根据对数的运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论的取值范围进行求解即可；（3）根据条件得到，恒成立，利用换元法进行转化，结合对勾函数的单调性进行求解即可.
试题解析：（1）由，得，解得．
（2），，
当时，，经检验，满足题意．
当时，，经检验，满足题意．
当且时，，，．
是原方程的解当且仅当，即；
是原方程的解当且仅当，即
于是满足题意的．综上，的取值范围为．
考点：函数恒成立问题；利用导数求闭区间上函数的最值.
（3）函数在区间上单调递减，由题意得，
即，
即，即
设，则，，
当时，，
当时，
∵在上递减，
∴，
∴，
∴实数的取值范围是.
【一题多解】（3）还可采用：当时，，，
所以在上单调递减．
则函数在区间上的最大值与最小值分别为，．
即，对任意成立．
因为，所以函数在区间上单调递增，
时，有最小值，由，得．
故的取值范围为．
21.若函数对任意的，均有，则称函数具有性质.
（1）判断下面两个函数是否具有性质，并证明：①（）；②；
（2）若函数具有性质，且（，），
①求证：对任意，有；
②是否对任意，均有？若有，给出证明，若没有，给出反例.
【答案】（1）①具有，②不具有，（2）①见解析②不成立
【解析】
【分析】
（1）①根据已知中函数的解析式，结合指数的运算性质，计算出f（x﹣1）+f（x+1）﹣2f（x）的表达式，进而根据基本不等式，判断其符号即可得到结论；②由y＝x3，举出当x＝﹣1时，不满足f（x﹣1）+f（x+1）≥2f（x），即可得到结论；
（2）①由于本题是任意性的证明，从下面证明比较困难，故可以采用反证法进行证明，即假设f（i）为f（1），f（2），…，f（n﹣1）中第一个大于0的值，由此推理得到矛盾，进而假设不成立，原命题为真；
②由（2）①中的结论，我们可以举出反例，如证明对任意x∈[0，n]均有f（x）≤0不成立．
【详解】（1）①函数f（x）＝ax（a＞1）具有性质P．
，
因为a＞1，，
即f（x﹣1）+f（x+1）＞2f（x），
此函数为具有性质P．
②函数f（x）＝x3不具有性质P．
例如，当x＝﹣1时，f（x﹣1）+f（x+1）＝f（﹣2）+f（0）＝﹣8，2f（x）＝﹣2，
所以，f（﹣2）+f（0）＜f（﹣1），
此函数不具有性质P．
（2）①假设f（i）为f（1），f（2），…，f（n﹣1）中第一个大于0的值，
则f（i）﹣f（i﹣1）＞0，
因为函数f（x）具有性质P，
所以，对于任意n∈N*，均有f（n+1）﹣f（n）≥f（n）﹣f（n﹣1），
所以f（n）﹣f（n﹣1）≥f（n﹣1）﹣f（n﹣2）≥…≥f（i）﹣f（i﹣1）＞0，
所以f（n）＝[f（n）﹣f（n﹣1）]+…+[f（i+1）﹣f（i）]+f（i）＞0，
与f（n）＝0矛盾，
所以，对任意的i∈{1，2，3，…，n﹣1}有f（i）≤0．
②不成立．
例如
证明：当x为有理数时，x﹣1，x+1均为有理数，f（x﹣1）+f（x+1）﹣2f（x）＝（x﹣1）2+（x+1）2﹣2x2﹣n（x﹣1+x+1﹣2x）＝2，
当x为无理数时，x﹣1，x+1均为无理数，f（x﹣1）+f（x+1）﹣2f（x）＝（x﹣1）2+（x+1）2﹣2x2＝2
所以，函数f（x）对任意的x∈R，均有f（x﹣1）+f（x+1）≥2f（x），
即函数f（x）具有性质P．
而当x∈[0，n]（n＞2）且当x为无理数时，f（x）＞0．
所以，在①的条件下，“对任意x∈[0，n]均有f（x）≤0”不成立．
【点睛】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，指数函数和幂函数的性质，反证法，其中在证明全称命题为假命题时，举出反例是最有效，快捷，准确的方法，本题（2）的②也可以举一下例子：，，，等．）
