山东省潍坊市诸城市2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题

山东省潍坊市诸城市2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题

‎2019—2020学年度上学期诸城期末考试高二数学试题 第I卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.命题“，”的否定是（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 按照全称命题的否定的写法书写即可.‎ ‎【详解】根据全称命题的否定的写法得到：命题“，”的否定是，.‎ 故答案为D.‎ ‎【点睛】本题考查了全称命题的否定的写法，满足:换量词，否结论，不变条件，这几点要求，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.‎ ‎2.设为实数，且，则下列不等式正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对于A选项，通过反比例函数的单调性可说明问题；B可举出特例；C原式等价于不正确；D等价于a0时是减函数，故,故A正确；当c=0时，，故B不正确；C. 等价于，不合题意；D.等价于a0时，；反之，d>0.故“”是“”的充要条件．‎ 故答案为C.‎ ‎【点睛】这个题目考查了等差数列的概念，以及充分必要条件的判断，属于基础题. 判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q 为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．‎ ‎5.双曲线：的渐近线方程为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在双曲线的标准方程中，利用渐近线方程的概念直接求解．‎ ‎【详解】双曲线的渐近线方程为：‎ 整理，得5y2＝4x2，‎ 解得y＝．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的标准方程的求法，是基础题，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质．‎ ‎6.等差数列中，，，则数列的公差为( )‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列的性质得到,即可得到结果.‎ ‎【详解】等差数列中，，,解得d=4.‎ 故答案为D.‎ ‎【点睛】这个题目考查了等差数列的公式的应用，题目较为简单.‎ ‎7.如图，长方体中，，，、、分别是、、的中点，则异面直线与所成角的正弦值是( )‎ A. B. C. 1 D. 0‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1E与GF所成的角的余弦值．‎ ‎【详解】‎ 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，‎ ‎∵AA1＝AB＝2，AD＝1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，‎ ‎∴A1（1，0，2），E（0，0，1），G（0，2，1），F（1，1，0），‎ ‎＝（﹣1，0，﹣1），＝（1，﹣1，﹣1），‎ ‎＝﹣1+0+1＝0，‎ ‎∴A1E⊥GF，‎ ‎∴异面直线A1E与GF所成的角的余弦值为0，正弦值为1.‎ 故答案为C．‎ ‎【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．‎ ‎8.如果数列的前项和，则( )‎ A. 8 B. ‎16 ‎C. 32 D. 64‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意得到，（n），两式做差得到，可得到数列的通项，进而得到结果.‎ ‎【详解】数列的前项和，（n）,两式做差得到（n），由此可得到数列是等比数列，令n=1代入得到=，解得=1，故得到数列通项为，令n=5得到 故答案为B.‎ ‎【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用.‎ ‎9.若正数满足，则的最小值为( )‎ A. 9 B. ‎8 ‎C. 5 D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将x+4y＝xy，转化为，再由x+y＝（x+y）（）展开后利用基本不等式可求出x+y最小值．‎ ‎【详解】∵x＞0，y＞0，x+4y＝xy，‎ ‎∴,‎ ‎∴x+y＝（x+y）（）＝5+≥5+2＝9，当且仅当x＝2y取等号，结合x+4y＝xy，‎ 解得x＝6，y＝3‎ ‎∴x+y的最小值为9，‎ 故答案为A．‎ ‎【点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解决二元的范围或者最值问题，常用的方法有：不等式的应用，二元化一元的应用，线性规划的应用，等.‎ ‎10.如果不等式的解集为，那么函数的大致图像是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知，是二次方程的两个根.‎ ‎【详解】∵不等式的解集为，‎ ‎∴，是二次方程两个根，‎ 即抛物线开口向下，与x轴的交点的横坐标为，‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查“三个二次”的关系，考查数形结合思想，属于基础题.‎ ‎11.如图所示，在底面是直角梯形的四棱锥中，侧棱底面，，，，，则点到平面的距离为( )‎ A. B. ‎2 ‎C. D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AD到平面PBC的距离，即点D到平面的距离.‎ ‎【详解】‎ 以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，‎ P（0，0，2），B（2，0，0），C（2，2，0），A（0，0，0），‎ ‎＝（2，0，﹣2），＝（2，2，﹣2），＝（2，0，0），‎ 设平面PBC的法向量＝（x，y，z），‎ 则 ‎ 取x＝1，得＝（1，0，1），‎ ‎∵AD∥BC，AD⊈平面PBC，BC⊂平面PBC，‎ ‎∴AD∥平面PBC，∴点D到平面PBC的距离即为AD到平面PBC的距离，‎ ‎∴d＝‎ 故答案为A．‎ ‎【点睛】本题考查直线到平面的距离的求法，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用．点面距可以通过建立空间直角坐标系来求得点面距离，或者寻找面面垂直，再直接过点做交线的垂线即可;当点面距离不好求时，还可以等体积转化.‎ ‎12.在直角坐标系中，是椭圆：的左焦点，分别为左、右顶点，过点作轴的垂线交椭圆于，两点，连接交轴于点，连接交于点，若是线段的中点，则椭圆的离心率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合几何性质找到a,c的关系即可确定椭圆的离心率．‎ ‎【详解】如图，连接BQ，则由椭圆的对称性易得∠PBF=∠QBF，∠EAB=∠EBA，所以∠EAB=∠QBF，所以ME//BQ.‎ 因为△PME∽△PQB，所以，‎ 因为△PBF∽△EBO，所以，从而有，‎ 又因为M是线段PF的中点，所以.‎ 本题选择C选项.‎ ‎【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：‎ ‎①求出a，c，代入公式；‎ ‎②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．‎ 第II卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.关于的一元二次不等式的解集是____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 不等式,等价于 ‎【详解】结合二次函数的图像的性质，一元二次不等式,等价于 ‎ 故答案为 ‎【点睛】这个题目考查了二次不等式的解法，需要结合二次函数的性质，题目较为基础.‎ ‎14.已知向量，，若，则的值为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由向量共线的坐标表示得到：解出参数即可.‎ ‎【详解】向量，，若，因为x,y均不为0，故由向量共线的坐标表示得到： ‎ 解得x=6,y=.则.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】这个题目考查了向量的坐标表示，以及向量平行的坐标表示，题目基础.向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.‎ ‎15.在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则的值为_____．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分双曲线的焦点在x轴和y轴两种情况讨论m的值，对应表示出离心率，求解m值即可.‎ ‎【详解】在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为,‎ 当m>0时，m+1>0,此时 ‎ 当m<0且m+1<0,即m<-1,时，双曲线表示焦点在y轴上的双曲线，此时 ‎ 故答案为或.‎ ‎【点睛】求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围).‎ ‎16.若函数对于时，恒有，则实数的取值范围是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 原不等式等价于恒成立，当x=1时，不等式恒成立，a的取值是全体实数，当时，不等式等价于结合反比例图像求得最值.‎ ‎【详解】函数对于时，恒有，‎ 等价于恒成立，当x=1时，不等式恒成立，a的取值是全体实数；‎ 当时，不等式等价于，根据反比例函数的性质得到，故得到.两种情况对a的范围取交集即可.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】这个题目属于恒成立求参的问题，常见的解题策略有：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立；（3）若 恒成立，可转化为（需在同一处取得最值）.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.集合，，若：，：，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出不等式对应的条件，利用充分条件和必要条件的定义，建立条件关系或，即可得到结论.‎ ‎【详解】由得：，∴，‎ ‎∵是的充分不必要条件，，∴或，‎ ‎∴的取值范围是或.‎ ‎【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用不等式求出对应的等价条件是解决本题的关键．‎ ‎18.设是公比为正数的等比数列，，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设是首项为1的等差数列，且，求并求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1) (2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据等比数列的通项公式得到，解出方程，代入通项公式即可；（2）由题干得到，之后按照等差和等比的求和公式分组求和即可.‎ ‎【详解】（1）设为等比数列的公比，则由，，‎ 得，即，解得或（舍去），因此，‎ 所以的通项公式为；‎ ‎（2）∵是首项为1，且，‎ 所以数列是公差为2的等差数列，‎ ‎∴，‎ ‎∴ ‎ ‎【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出 做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等．‎ ‎19.已知抛物线：的焦点为，过定点且斜率为的直线与抛物线交于不同的两点、.‎ ‎（1）求的取值范围；‎ ‎（2）若直线与直线垂直，求的面积.‎ ‎【答案】(1) 或；(2)2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当k=0时，最多只有一个交点，当时，联立直线和抛物线，使得判别式大于0即可；（2）联立直线l和抛物线，由弦长公式求得MN，再由点到直线的距离公式得到d，代入面积公式可得到结果.‎ ‎【详解】（1）①时，直线方程为，‎ 与抛物线：只有一个交点，不符合题意；‎ ‎②时，由，‎ 消去，得，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴且，‎ 综上：∴或；‎ ‎（2）依题意：焦点，，：‎ 设，，联立，‎ ‎，，‎ ‎，（也可直接解出点计算更简洁）‎ 设到直线的距离为，则，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故的面积为2.‎ ‎【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．‎ ‎20.如图，在直棱柱中，，，，，.‎ ‎（1）求的长，并证明：；‎ ‎（2）求平面与平面所成角的余弦值.‎ ‎【答案】(1)见证明；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)建立直角坐标系，分别求出直线和 的方向向量，求方向向量的夹角，即可得到异面直线的夹角；（2）根据第一问建立的坐标系，求出面的法向量和直线的方向向量，这两个向量的夹角或其补角即为所求角.‎ ‎【详解】（1）由题易知，，，两两垂直.如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.‎ 设，∴，，，，，，.‎ ‎∴，，‎ 因为，所以.‎ 解得或（舍去）‎ ‎∴，，‎ ‎∵，‎ ‎∴，即.‎ ‎（2）由（1）知，，，‎ 设是平面的一个法向量，则 即.‎ 令，则.‎ 平面的法向量为，‎ 设平面与平面所成角为，则 ‎，‎ 即平面与平面所成角的余弦值为.‎ ‎【点睛】这个题目考查的是异面直线的夹角的求法和二面角的求法；求异面直线夹角的常见方法有：将异面直线平移到同一平面内，转化为平面角的问题；或者证明线面垂直进而得到面面垂直，这种方法适用于异面直线垂直的时候.‎ ‎21.某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船进行捕捞，第一年需要各种费用12万元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加4万元，该船每年捕捞的总收入为50万元.‎ ‎（1）该船捕捞第几年开始盈利？‎ ‎（2）若该船捕捞年后，年平均盈利达到最大值，该渔业公司以24万元的价格将捕捞船卖出；求并求总的盈利值.‎ ‎【答案】（1）第3年后开始盈利(2) ，共盈利108万 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）年后开始盈利，盈利为万元，根据题意列式得到，令y>0解得n的范围得到结果；（2）平均盈利为根据均值不等式得到结果即可.‎ ‎【详解】（1）设捕捞年后开始盈利，盈利为万元，‎ 则 ，‎ 由，得，解得，‎ 则，故，即捕捞第3年后开始盈利；‎ ‎（2）平均盈利为，‎ 当且仅当，即时，年平均盈利最大，‎ 故经过7年捕捞后年平均盈利最大，共盈利为万元.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查的是实际应用问题，这类问题主要是理解题意，选择合适的数学模型，转化为数学知识进行解决.‎ ‎22.已知椭圆：过点，且离心率为.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设过点为的直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为（点与点不重合），证明：直线恒过定点，并求该定点的坐标.‎ ‎【答案】（1） (2)见证明 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 由题意知，解出即可；（2）设，，则，联立直线和椭圆，得到韦达定理，直线的方程为：，令y=0即可得到定点坐标.‎ ‎【详解】（1）由题意知，，解得，‎ 则椭圆的方程是.‎ ‎（2）设，，则，由已知得直线的斜率存在，设斜率为，‎ 则直线的方程为：，‎ 由，得，‎ 所以，，‎ 直线的方程为：，‎ 所以，‎ 令，则 ，‎ 所以直线与轴交于定点.‎ ‎【点睛】圆锥曲线中的定点、定值问题是考查的重点，一般难度较大，计算较复杂，考查较强的分析能力和计算能力.求定值问题常见的方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.解题时，要将问题合理的进行转化，转化成易于计算的方向.‎