河南省漯河市临颍县南街高级中学2020届高三月考数学试卷

河南省漯河市临颍县南街高级中学2020届高三月考数学试卷

数学试卷 一、单选题（共20题；共40分）‎ ‎1.己知集合A={0, 1，2, 3，4}，B=｜x ｜ ＞1｝，则A∩B＝(    ) ‎ A. {1，2，3，4}                             B. {2，3，4}                             C. {3，4}                             D. {4}‎ ‎2.如图， 是以正方形的边 为直径的半圆，向正方形内随机投入一点，则该点落在阴影区域内的概率为（    ） ‎ ‎ ‎ A.                                         B.                                         C.                                         D. ‎ ‎3.设集合M={﹣2，2}，N={x| ＜2}，则下列结论正确的是（   ） ‎ A. N⊆M                              B. M⊆N                              C. N∩M={2}                              D. N∪M=R ‎4.下列说法正确的是（　　） ‎ A. 命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜‎0”‎的否定是：“∀x∈R，x2+x+1＞‎0”‎         B. 命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=‎2”‎的否命题是：“若x2﹣3x+2=0，则x≠1或x≠‎2”‎ C. 直线l1：2ax+y+1=0，l2：x+2ay+2=0，l1∥l2的充要条件是          D. 命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题是真命题 ‎5.已知函数 ，若 ，那么实数 的值是（    ） ‎ A. 4                                           B. 1                                           C. 2                                           D. 3‎ ‎6.若复数z 满足z（1+i）=﹣2i（i为虚数单位），是z 的共轭复数，则•z=（   ） ‎ A.                                            B.                                            C. 2                                           D. 1‎ ‎7.将函数y=cos2x的图象向左平移 个单位，得到函数y=f（x）•cosx的图象，则f（x）的表达式可以是（   ） ‎ A. f（x）=﹣2sinx     B. f（x）=2sinx     C. f（x）= sin2x     D. f（x）= （sin2x+cos2x）‎ ‎8.已知a= （﹣cosx）dx，则（ax+ ）9展开式中，x3项的系数为（   ） ‎ A.                                      B.                                      C. ﹣84                                     D. ﹣ ‎ ‎9.二维空间中，圆的一维测度（周长） ，二维测度（面积） ，三维空间中，球的二维测度（表面积） ，三维测度（体积） ，应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度 ,则其四维测度W=（   ） ‎ A.                                     B.                                     C.                                     D. ‎ ‎10.已知双曲线 =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：x+2y+5=0，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（   ） ‎ A.  =1                B.  ﹣ =1                C.  ﹣ =1                D.  ﹣ =1‎ ‎11.已知函数 ，若 是 的导函数，则函数 的图象大致是（   ） ‎ A.                    B.                    C.                    D. ‎ ‎12.设函数 ， 其中[x]表示不超过的最大整数，如[-1,2]=-2,[1,2]=1,[1]=1，若f(x)=kx+k有三个不同的根，则实数k的取值范围是（ ）‎ A.                                  B.                                  C.                                  D. ‎ ‎13.在（3﹣ ）n（n≥2且n∈N）展开式中x的系数为an ， 则 + + +…+ =（   ） ‎ A.                                   B.                                   C.                                   D. ‎ ‎14.设f(x)是定义在R上的偶函数,且当时,.若对任意的,不等式恒成立,则实数a的最大值是(  )‎ A.                                         B.                                         C.                                         D. 2‎ ‎15.已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，直线 与椭圆相切，记 到直线的距离分别为 ，则 的值为（   ） ‎ A. 1                                           B. 2                                           C. 3                                           D. 4‎ ‎16.已知向量 ， 的夹角为 ， 且 ，则 的最小值为（   ） ‎ A.                                     B.                                     C. 5                                    D. ‎ ‎17.数列 满足 ，且对任意的 都有 ，则 等于（   ） ‎ A.                                   B.                                   C.                                   D. ‎ ‎18.记函数 ，若曲线 上存在点 使得 ，则 的取值范围是（   ） ‎ A.                           B.  C.                                                   D. ‎ ‎19.已知 成等比数列，且 ．若 ，则（   ） ‎ A.                B.                C.                D. ‎ ‎20.在数列{}中，已知且当n ≥2时，，则a3 + a5等于（    ）‎ A.                                         B.                                         C.                                         D. ‎ 二、填空题（共10题；共20分）‎ ‎21.如果函数f（x）=sin2x+acos2x的图象关于直线x= 对称，那么实数a=________． ‎ ‎22.若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是________ ‎ ‎23.曲线y=x2和曲线y= 围成一个叶形图（如图所示阴影部分），其面积是________． ‎ ‎24.若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从1，2，3，4，5，6这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有________ 个．‎ ‎25.若命题“对任意 ，tanx＜m恒成立”是假命题，则实数m的取值范围是________． ‎ ‎26.已知函数 ，若关于的方程 有8个不同根，则实数 的取值范围是________． ‎ ‎27.已知数列 满足 ，当 时， ，且点 是直线 上的点，则数列 的通项公式为________；令 ，则当k在区间 内时，使y的值为正整数的所有k值之和为________. ‎ ‎28.已知二面角 的大小为 ，点 ，点 在  内的正投影为点 ，过点 作 ，垂足为点 ，点 ， 点 ，且四边形 满足 .若四面体 的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积为________． ‎ ‎29.在三棱锥 中， ， ， ，则三棱锥 的外接球的体积为________. ‎ ‎30.已知△ABC的三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且 ．则使得sin2B+sin‎2C=msinBsinC成立的实数m的取值范围是________． ‎ 三、解答题（共5题；共40分）‎ ‎31.已知4个数成等差数列，它们的和为20，中间两项之积为24，求这个4个数． ‎ ‎32.平面直角坐标系xoy中，椭圆C1： + =1（a＞b＞0）的离心率为 ，过椭圆右焦点F作两条相互垂直的弦，当其中一条弦所在直线斜率为0时，两弦长之和为6．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）A，B是抛物线C2：x2=4y上两点，且A，B处的切线相互垂直，直线AB与椭圆C1相交于C，D两点，求弦|CD|的最大值．‎ ‎33.如图，某湿地公园为矩形ABCD，内有一半圆形湖，湖的直径AB为‎1km，BC长为‎2km。某人从人口A处出发，渡船沿直线AF（F在线段BC上且不与B，C重合）到达边界点E，后沿着折线E-F-C骑行到达C。若渡船的速度是骑行的3倍，∠BAE=θ。 ‎ ‎ ‎ ‎（1）用θ表示AE和折线E-F-C的长，并求θ的取值范围； ‎ ‎（2）当sinθ为多少时，从A处出发到达C处的时间最短？ ‎ ‎34.已知f（n）= 。 ‎ ‎（1）求f（n）关于n的表达式； ‎ ‎（2）求证：当1≤n≤2020时，f（n）< 。 ‎ ‎35.已知函数 . ‎ ‎（1）若 ，解关于的不等式 ； ‎ ‎（2）若当 时， 恒成立，求实数 的取值范围. ‎ 答案解析部分 一、单选题 ‎1.【答案】 B ‎ ‎2.【答案】 D ‎ ‎3.【答案】B ‎ ‎4.【答案】 D ‎ ‎5.【答案】 C ‎ ‎6.【答案】 C ‎ ‎7.【答案】 A ‎ ‎8.【答案】C ‎ ‎9.【答案】 A ‎ ‎10.【答案】 A ‎ ‎11.【答案】 A ‎ ‎12.【答案】 D ‎ ‎13.【答案】D ‎ ‎14.【答案】 C ‎ ‎15.【答案】B ‎ ‎16.【答案】 B ‎ ‎17.【答案】 C ‎ ‎18.【答案】B ‎ ‎19.【答案】 B ‎ ‎20.【答案】 B ‎ 二、填空题 ‎21.【答案】1 ‎ ‎22.【答案】‎ ‎23.【答案】 ‎ ‎24.【答案】 40‎ ‎25.【答案】m≤1 ‎ ‎26.【答案】 ‎ ‎27.【答案】 ；2036 ‎ ‎28.【答案】 ‎ ‎29.【答案】 ‎ ‎30.【答案】 [2，4] ‎ 三、解答题 ‎31.【答案】解：设此四个数分别为：a﹣3d，a﹣d，a+d，a+3d． 由题意可得：a﹣3d+a﹣d+a+d+a+3d=20，（a﹣d）（a+d）=24． 解得a=5，d=±1． ∴这四数为2，4，6，8或8，6，4，2 ‎ ‎32.【答案】 （1）解：∵椭圆C1： + =1（a＞b＞0）的离心率为 ，过椭圆右焦点F作两条相互垂直的弦，‎ 当其中一条弦所在直线斜率为0时，两弦长之和为6，‎ ‎∴ ，解得a=2，b=c= ，‎ ‎∴椭圆方程为 ．‎ ‎ （2）解：设直线AB为：y=kx+m，A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），C（x3 ， y3），D（x4 ， y4），‎ 由 ，得x2﹣4kx﹣4m=0，‎ 则x1+x2=4k，x1x2=﹣4m，‎ 由x2=4y，得 ，‎ 故切线PA，PB的斜率分别为 ，kPB= ，‎ 再由PA⊥PB，得kPA•kPB=﹣1，‎ ‎∴ ，‎ 解得m=1，这说明直线AB过抛物线C1的焦点F，‎ 由 ，得（1+2k2）x2+4kx﹣2=0，‎ ‎∴|CD|= • = ≤3．‎ 当且仅当k= 时取等号，‎ ‎∴弦|CD|的最大值为3‎ ‎33.【答案】 （1）解：如图，连接BE，则BE⊥AE，∠EBF=θ。 ‎ ‎ ‎ 在Rt△BAE中，AE=ABcosθ=cosθ，BE=ABsinθ=sinθ，在Rt△BFE中，BF= ，EF=BEtanθ= ，则折线E-F-C的长为EF+FC=EF+BC-BF=2+ ，当F和C重合时，sinθ= 。‎ 综上，AE=cosθ，折线E-F-C的长为2+ ，θ∈（0，θ0），其中锐角θ0满足sinθ0= ‎ ‎ （2）解：设骑行的速度为vm/s，则渡船的速度为3vm/s，所用时间为t= + = （cosθ+ +6），θ∈（0，θ0），记f（θ）=cosθ+ = ，θ∈（0，θ0）， ‎ 则f'（θ）= ‎ ‎= ‎ 又00，f（θ）单调递增所以sinθ= 时，f（θ）有最小值，即时间最短。‎ ‎34.【答案】 （1）解：因为 ‎ ‎= ‎ ‎= ‎ ‎= ，‎ 所以 ‎ ‎= ‎ ‎= ‎ ‎= ，‎ 所以f（n）= ‎ ‎ （2）解：f（n）= < ‎ 令g（n）= ‎ 当n≥2，g（n）-g（n-1）= ≤0‎ 所以g（n）单调递减， 单调递增，‎ 所以当1≤n≤2020时、f（n）< ≤ = < ‎ ‎35.【答案】 （1）解：当 时， ， ‎ 由此可知， 的解集为 ‎ ‎ （2）解：当 时， ‎ ‎ 的最小值为 和 中的最小值，其中 ， .所以 恒成立.‎ 当 时， ，且 ， 不恒成立，不符合题意.‎ 当 时， ，‎ 若 ，则 ，故 不恒成立，不符合题意；‎ 若 ，则 ，故 不恒成立，不符合题意.‎ 综上， .‎