【数学】2020一轮复习北师大版（理）46 圆的方程作业
课时规范练46 圆的方程
基础巩固组
1.(2018河北涞水月考,5)圆x2+y2-(4m+2)x-2my+4m2+4m+1=0的圆心在直线x+y-4=0上,则圆的面积为( )
A.9π B.π
C.2π D.由m的值而定
2.已知点A(-4,-5),B(6,-1),则以线段AB为直径的圆的方程为( )
A.(x+1)2+(y-3)2=29
B.(x-1)2+(y+3)2=29
C.(x+1)2+(y-3)2=116
D.(x-1)2+(y+3)2=116
3.(2018四川阆中中学期中,4)若点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则a的取值范围是( )
A.-1
1 D.a=±1
4.(2018贵州凯里期末,6)设圆x2+y2-4x+4y+7=0上的动点P到直线x+y-42=0的距离为d,则d的取值范围是( )
A.[0,3] B.[2,4]
C.[3,5] D.[4,6]
5.(2018甘肃兰州诊断,7)半径为2的圆C的圆心在第四象限,且与直线x=0和x+y=22均相切,则该圆的标准方程为( )
A.(x-1)2+(y+2)2=4
B.(x-2)2+(y+2)2=2
C.(x-2)2+(y+2)2=4
D.(x-22)2+(y+22)2=4
6.已知直线l:x+my+4=0,若曲线x2+y2+2x-6y+1=0上存在两点P,Q关于直线l对称,则m的值为( )
A.2 B.-2 C.1 D.-1
7.在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 .
8.若直线l:2ax-by+2=0(a>0,b>0)与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4,则|OA|+|OB|(O为坐标原点)的最小值为 .
9.已知等腰三角形ABC,其中顶点A的坐标为(0,0),底边的一个端点B的坐标为(1,1),则另一个端点C的轨迹方程为 .
10.已知圆M与y轴相切,圆心在直线y=12x上,并且在x轴上截得的弦长为23,则圆M的标准方程为 .
综合提升组
11.设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是( )
A.[-1,1] B.-12,12
C.[-2,2] D.-22,22
12.已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则AO·AP的最大值为 .
13.已知M为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点,且点Q(-2,3).
(1)求|MQ|的最大值和最小值;
(2)若M(m,n),求n-3m+2的最大值和最小值.
14.已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.
(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等,求此切线的方程;
(2)从圆C外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求使|PM|取得最小值时点P的坐标.
创新应用组
15.(2018安徽定远重点中学月考,16)如图所示,边长为1的正方形PABC沿x轴滚动,点B恰好经过原点.设顶点P(x,y)的轨迹方程是y=f(x),则对函数y=f(x)有下列判断:
①若-2≤x≤2,则函数y=f(x)是偶函数;
②对任意的x∈R,都有f(x+2)=f(x-2);
③函数y=f(x)在区间[2,3]上单调递减;
④函数y=f(x)在区间[4,6]上是减函数.
其中判断正确的序号是 .(写出所有正确结论的序号)
16.已知平面区域x≥0,y≥0,x+2y+4≤0恰好被面积最小的圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2及其内部所覆盖,则圆C的方程为 .
参考答案
课时规范练46 圆的方程
1.B ∵圆的方程是x2+y2-(4m+2)x-2my+4m2+4m+1=0,
∴圆心坐标是(2m+1,m),
∵圆心在直线x+y-4=0上,∴2m+1+m-4=0,解得m=1,
∴圆的方程是x2+y2-6x-2y+9=0,即(x-3)2+(y-1)2=1,
∴半径r=1,圆的面积S=πr2=π,
故选B.
2.B 由题意知以线段AB为直径的圆的圆心为点-4+62,-5-12,即(1,-3),
其半径为(6+4)2+(-1+5)22=29,
故以线段AB为直径的圆的方程是(x-1)2+(y+3)2=29.
故选B.
3.A ∵点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,
∴(1-a)2+(1+a)2<4,解得-10),则圆心到直线x+y=22的距离d=|2-a-22|2=2,所以a=2,所以圆C的标准方程为(x-2)2+(y+2)2=4.
6.D 曲线x2+y2+2x-6y+1=0是圆(x+1)2+(y-3)2=9,若圆(x+1)2+(y-3)2=9上存在两点P,Q关于直线l对称,则直线l:x+my+4=0过圆心(-1,3),所以-1+3m+4=0,解得m=-1,故选D.
7.(x-1)2+y2=2 由mx-y-2m-1=0,可得m(x-2)=y+1,由m∈R知该直线过定点(2,-1),从而点(1,0)与直线mx-y-2m-1=0的距离的最大值为(2-1)2+(-1-0)2=2.故所求圆的标准方程为(x-1)2+y2=2.
8.3+22 由题意可得圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=4,其圆心为(-1,2),半径为2,而直线l被圆截得的弦长为4,所以直线过圆心,所以a+b=1,又A-1a,0,B0,2b,
所以|OA|+|OB|=1a+2b=1a+2b(a+b)≥(1+2)2=3+22,
当且仅当b=2a时等号成立.
9.x2+y2=2(除去点(1,1)和点(-1,-1)) 设C(x,y),根据在等腰三角形中|AB|=|AC|,可得(x-0)2+(y-0)2=(1-0)2+(1-0)2,即x2+y2=2.
考虑到A,B,C三点要构成三角形,因此点C不能为(1,1)和(-1,-1).
所以点C的轨迹方程为x2+y2=2(除去点(1,1)和点(-1,-1)).
10.(x-2)2+(y-1)2=4或(x+2)2+(y+1)2=4 设圆M的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,
由题意可得12a-b=0,|a|=r,b2+3=r2,解得a=2,b=1,r=2或a=-2,b=-1,r=2,
所以圆M的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4或(x+2)2+(y+1)2=4.
11.A 如图所示,设点A(0,1)关于直线OM的对称点为P,则点P在圆O上,
且MP与圆O相切,而点M在直线y=1上运动,圆上存在点N使∠OMN=45°,
则∠OMN≤∠OMP=∠OMA,
∴∠OMA≥45°,∴∠AOM≤45°.
当∠AOM=45°时,x0=±1.
∴结合图像知,当∠AOM≤45°时,-1≤x0≤1,
∴x0的取值范围为[-1,1].
12.6 方法1:设P(cos α,sin α),α∈R,则AO=(2,0),AP=(cos α+2,sin α),AO·AP=2cos α+4.
当α=2kπ,k∈Z时,2cos α+4取得最大值,最大值为6.
故AO·AP的最大值为6.
方法2:设P(x,y),x2+y2=1,-1≤x≤1,AO=(2,0),AP=(x+2,y),AO·AP=2x+4,故AO·AP的最大值为6.
13.解 (1)由圆C:x2+y2-4x-14y+45=0,可得(x-2)2+(y-7)2=8,
所以圆心C的坐标为(2,7),半径r=22.
又|QC|=(2+2)2+(7-3)2=42>22,
所以点Q在圆C外,
所以|MQ|max=42+22=62,
|MQ|min=42-22=22.
(2)由题意可知n-3m+2表示直线MQ的斜率,
设直线MQ的方程为y-3=k(x+2),
即kx-y+2k+3=0,则n-3m+2=k.
因为直线MQ与圆C有交点,
所以|2k-7+2k+3|1+k2≤22,
所以2-3≤k≤2+3,
所以n-3m+2的最大值为2+3,最小值为2-3.
14.解 (1)将圆C的方程配方,得(x+1)2+(y-2)2=2.
①当切线在两坐标轴上的截距为零时,设切线方程为y=kx,由|k+2|1+k2=2,得k=2±6,
∴切线方程为y=(2±6)x.
②当切线在两坐标轴上的截距不为零时,设切线方程为x+y-a=0(a≠0),由|-1+2-a|2=2,得|a-1|=2,即a=-1或a=3.
∴切线方程为x+y+1=0或x+y-3=0.
综上,圆的切线方程为y=(2+6)x或y=(2-6)x或x+y+1=0或x+y-3=0.
(2)由|PO|=|PM|,得x12+y12=(x1+1)2+(y1-2)2-2,
整理得2x1-4y1+3=0,即点P在直线l:2x-4y+3=0上.
当|PM|取最小值时,|PO|取最小值,此时直线PO⊥l,
∴直线PO的方程为2x+y=0.
解方程组2x+y=0,2x-4y+3=0,得点P的坐标为-310,35.
15.①②④ 当-2≤x≤-1,点P的轨迹是以A为圆心,半径为1的14圆,
当-1≤x≤1时,点P的轨迹是以B为圆心,半径为2的14圆,
当1≤x≤2时,点P的轨迹是以C为圆心,半径为1的14圆,
当3≤x≤4时,点P的轨迹是以A为圆心,半径为1的14圆,
∴函数y=f(x)的周期是4.
画出函数y=f(x)的部分图像如图所示.
①根据图像的对称性可知函数y=f(x)是偶函数,∴①正确.
②由图像可知函数的周期是4.∴②正确.
③函数y=f(x)在区间[2,3]上单调递增,∴③错误.
④函数y=f(x)在区间[4,6]上是减函数,∴④正确.
故答案为①②④.
16.(x-2)2+(y-1)2=5 由题意知,此平面区域表示的是以O(0,0),P(4,0),Q(0,2)所构成的三角形及其内部,所以覆盖它且面积最小的圆是其外接圆.
因为△OPQ为直角三角形,
所以圆心为斜边PQ的中点(2,1),半径r=|PQ|2=5,
所以圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.
