安徽省合肥六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数学（文）试题

安徽省合肥六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数学（文）试题

安徽六校教育研究会 2020 届高三第一次素质测试 文科数学试题 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知复数为虚数单位） ，则z 的虚部为（ ）‎ A. 2 B. C. 4 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对复数进行乘法运算，并计算得到，从而得到虚部为2.‎ ‎【详解】因为，所以z 的虚部为2.‎ ‎【点睛】本题考查复数的四则运算及虚部的概念，计算过程要注意.‎ ‎2.设集合，则 ( )‎ A. B. 或 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对集合通过解绝对值不等式化简为或，再和集合取交集.‎ ‎【详解】因为或，，‎ 所以.‎ ‎【点睛】两个集合进行交运算时，注意大于取大、小于取小的原则.‎ ‎3.已知函数 是定义在上奇函数，当时，，则( )‎ A. 9 B. -9 C. 45 D. -45‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数为奇函数，有，再把代入已知条件得到的值.‎ ‎【详解】因为函数 是定义在上的奇函数，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查利用奇函数的定义求函数值，即，考查基本运算能力.‎ ‎4.若，则下列不等式不正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由不等式的基本性质及指数函数的单调性，易知D是不正确的.‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 考查指数函数，所以，‎ 所以D不正确.‎ ‎【点睛】本题考查不等式的基本性质及指数函数的单调性，求解时注意利用分析法判断不等式的正确性.‎ ‎5.已知函数，则 的大致图象是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用特殊值、、，排除错误选项.‎ ‎【详解】当时，，排除A，‎ 当时，，排除D，‎ 当时，，排除C，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】从函数解析式结合选项，发现零点、单调性、奇偶性、过特殊点等性质，是求解函数图象问题的常见方法.‎ ‎6.甲、乙两名同学在 6 次数学考试中，所得成绩用茎叶图表示如下，若甲、乙两人这 6 次考试的平均成绩分别用 表示，则下列结论正确的是（ ）‎ A. ，且甲成绩比乙成绩稳定 B. ，且乙成绩比甲成绩稳定 C. ，且甲成绩比乙成绩稳定 D. ，且乙成绩比甲成绩稳定 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 从茎叶图提取两个人的成绩，分别求出两个人的平均分，得到甲的平均数比乙的平均数要低，但甲数据比较集中，所以成绩比较稳定.‎ ‎【详解】，，‎ 所以，‎ 因为甲数据比较集中，所以成绩比较稳定.‎ ‎【点睛】茎叶图保留了原始数据，所以可通过计算平均数来比较大小，再通过数据的集中与离散程度判断稳定性.‎ ‎7.如图程序框图是为了求出满足的最小偶数，那么在和两个空白框中，可以分别填入（ ）‎ A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 程序框图为当型循环，所以进入判断框后，只有满足条件才会进行循环，所以填，要求输出为偶数，且的起始值为0，所以.‎ ‎【详解】因为程序框图为当型循环，所以当满足条件时，才会进行循环，显然不能填 ‎，故排除A,B，由于要求输出为偶数，且的起始值为0，所以.‎ ‎【点睛】本题考查程序框图中的当型循环，只要读懂题意，易得判断框和循环体各自应填的条件与表达式.‎ ‎8.函数（ 其中 ）的图象如图所示，则( )‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数图象得到，由函数的最小值为-1，得，由函数图象过点及得的值.‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 因为，所以，‎ 当时，，又，‎ 所以，所以，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查利用三角函数的图象获取信息求得的值，特别是在求值时，如果要选择图象过点，则要注意为函数的第二零点.‎ ‎9.如图，在平行四边形中， 分别为上的点，且，连接 交于点，若，则点在上的位置为（ ）‎ A. 中点 B. 上靠近点的三等分点 C. 上靠近点的四等分点 D. 上靠近点的五等分点 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用平面向量基本定理把表示成基底的线性组合，即，再根据三点共线得到关于的方程.‎ ‎【详解】设，‎ 因为，‎ 又三点共线，所以，解得：，所以，‎ 所以点在上靠近点的三等分点.‎ ‎【点睛】运用平面向量基本定理求解向量问题，其关键在于基底的选择，再把涉及的向量全部用基底表示，于是向量的运算就转化成基底的运算.‎ ‎10.已知椭圆的右焦点为，短轴的一个端点为，直线与椭圆相交于、两点.若，点到直线的距离不小于，则椭圆离心率的取值范围为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆对称性可证得四边形为平行四边形，根据椭圆定义可求得；利用点到直线距离构造不等式可求得，根据可求得的范围，进而得到离心率的范围.‎ ‎【详解】设椭圆的左焦点为，为短轴的上端点，连接，如下图所示：‎ 由椭圆的对称性可知，关于原点对称，则 又 四边形为平行四边形 ‎ ‎ 又，解得：‎ 点到直线距离：，解得：，即 ‎ ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，重点考查椭圆几何性质，涉及到椭圆的对称性、椭圆的定义、点到直线距离公式的应用等知识.‎ ‎11.某罐头加工厂库存芒果，今年又购进新芒果后，欲将芒果总量的三分之一用于加工为芒果罐头．被加工为罐头的新芒果最多为，最少为，则下列坐标图最能准确描述、分别与的关系是（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意分类讨论、分别与的关系，再对照图象选择.‎ ‎【详解】要使得被加工为罐头的新芒果最少，尽量使用库存芒果，即当时此时，当时，，对照图象舍去C,D;‎ 要使得被加工为罐头的新芒果最多，则尽量使用新芒果，即当时，当时，因为，所以选A.‎ ‎【点睛】本题考查函数解析式以及函数图象，考查基本分析判断与求解能力，属中档题.‎ ‎12.如图，是双曲线左、右焦点，过 的直线与双曲线 交于两点．若，则双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，利用双曲线的定义求出和的值，再利用勾股定理求，由得到双曲线的渐近线方程.‎ ‎【详解】设，‎ 由双曲线的定义得：，解得：，‎ 所以，‎ 因为，所以，‎ 所以双曲线的渐近线方程为.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到双曲线的定义，考查运算求解能力.‎ 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 ‎13.若函数的图象存在与直线垂直的切线，则实数的取值范围是____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由两直线垂直斜率相乘为-1，得切线的斜率为，由切线的存在性，则在有解，再利用参变分离求的取值范围.‎ ‎【详解】，‎ 因为的图象存在与直线垂直的切线，所以切线斜率为，‎ 所以在有解，即在有解，‎ 因为，所以.‎ ‎【点睛】本题考查两直线垂直斜率的关系、利用导数研究函数的切线及参数的取值范围，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解过程中注意参数的值能否取到等号.‎ ‎14.设 等 差 数 列的 公 差 不 为 0 ， , 若 是与的 等 比 中 项,则等于____．‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由 是与的 等 比 中 项，得，把等差数列通项公式与等比中项公式代入等式，求得的值.‎ ‎【详解】因为 是与的 等 比 中 项,，所以，‎ 所以，整理得，‎ 解得：或（舍去）.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列通项公式与等比数列中项的性质，考查基本量法的运用.‎ ‎15.将函数与直线的所有交点从左到右依次记为，若点坐标为，则____.‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数与直线的图象可知，它们都关于点中心对称，再由向量的加法运算得，最后求得向量的模.‎ ‎【详解】由函数与直线的图象可知，‎ 它们都关于点中心对称，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题以三角函数和直线的中心对称为背景，与平面向量进行交会，考查运用数形结合思想解决问题的能力.‎ ‎16.如图，在棱长为 1 的正方体中，点是的中点，动点在底面 内（不包括边界），若平面，则的最小值是____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由面面平行找到点在底面 内的轨迹为线段，再找出点的位置，使取得最小值，即垂直于点，最后利用勾股定理求出最小值.‎ ‎【详解】取中点，连结，作，连，‎ 因为面面面，所以动点在底面 内的轨迹为线段，‎ 当点与点重合时，取得最小值，‎ 因为，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查面面平行及最值问题，求解的关键在于确定点的位置，再通过解三角形的知识求最值.‎ 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17.设等比数列满足.‎ ‎（1）令，求 的最大值；‎ ‎（2）令，求数列的前 n 项和 .‎ ‎【答案】（1）1024；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据条件求出等比数列通项公式，解不等式可得前4项都大于1，，从而求得的最大值；（2）利用错位相减法进行求和.‎ ‎【详解】（1）设等比数列首项为，公比为，‎ 所以，解得：‎ 所以，当时，解得：，‎ 所以，，‎ 所以的最大值为.‎ ‎（2）由（1）知，则，‎ ‎，‎ 两边同时乘以得：‎ ‎，‎ 两式相减得：‎ 所以.‎ ‎【点睛】等比数列前项积达到最大，主要是根据各项与1的大小进行比较；错位相减法进行求和时，要注意最后得到的常数的准确性，即本题中的96必需确保没有算错，其它项可以合并，也可以不合并.‎ ‎18.在 中，分 别 为 角的 对 边 ，且.‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用展开代入已知条件，化简得，再根据，求得；‎ ‎（2）用角这一变量来表示，转化成研究的最大值.‎ ‎【详解】（1）因为，所以，‎ 所以，‎ 因为，所以.‎ ‎（2）由（1）得，‎ 由正弦定理，所以，‎ 所以，‎ 所以 ‎，其中，‎ 由，存在使得，所以的最大值为1，‎ 所以的最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查三角恒等换、正弦定理及三角函数的最值等知识，考查逻辑推理和运算求解能力，解题过程中要特别注意，求最值的方法，即引入变量，构造关于变量的函数，接着研究函数的值域，从而得到目标式子的最值.‎ ‎19.某商场近 5 个月销售额和利润额如表所示：‎ ‎（1）画出散点图，观察散点图，说明两个变量有怎样的相关关系；‎ ‎（2） 求出利润额关于销售额的回归直线方程；‎ ‎（3） 当销售额为4千万元时，利用（2）的结论估计该商场的利润额（百万元）.‎ ‎,,‎ ‎【答案】（1）散点图见解析；（2）；（3）1.9百万元.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）画出坐标系，并描出5个离散的点；‎ ‎（2）由最小二乘法公式求出系，再由回归直线过散点图的中心求；‎ ‎（3）把代入回归直线，得到预报值.‎ 详解】（1）散点图如图所示：‎ 两个变量正相关，且具有线性相关关系.‎ ‎（2）易求，‎ 由公式有 且，‎ 则线性回归方程为.‎ ‎（3）当时，由（1）可求得，即利润额约为百万元.‎ ‎【点睛】本题考查统计中的散点图、回归直线方程及其应用，考查数据处理能力，注意回归方程的写法与平时写的直线方程的区别.‎ ‎20.如图所示，三棱柱中，侧面为菱形，在侧面上的投影恰为的中点 ．‎ ‎（1） 证明：；‎ ‎（2） 若，且三棱柱的体积为，求三棱柱的高.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）证明垂直所在的平面，进而可得证；‎ ‎（2）根据三棱柱的体积为，求得，由，得到三棱柱的高.‎ ‎【详解】（1）连接，因为侧面为菱形，‎ 所以，且与相交于点，‎ 因为平面，平面，‎ 所以，又，所以平面，‎ 因为平面，所以.‎ ‎（2）由且垂直平分可知是等腰直角三角形，则，‎ 又 得.‎ ‎，且等边中，，故中，‎ 又，易求得等腰中边上的高为，‎ 则，‎ 由有.‎ ‎【点睛】本题考查线面垂直判定定理、三棱柱高的概念，注意利用割补思想进行体积的求解运算，考查空间想象能力和运算求解能力.‎ ‎21..‎ ‎（1）讨论函数的极值点情况；‎ ‎（2）若，存在， 使得 成立，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）6.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出函数定义域为，对参数进行分类讨论，求导后解不等式，从而得到单调区间，进而得到函数的极值点；‎ ‎（2）当时，，由于，可得，再取，得到 ‎，故的最大值为.‎ ‎【详解】（1）定义域，，‎ 故当时，，所以函数上单调递增，无极值点；‎ 当时，令，得所以函数在上单调递增，‎ 令，得，所以函数在上单调递减，有极小值点，‎ 无极大值点；‎ 综上所述，当时，无极值点；当时，有极小值点，无极大值点.‎ ‎（2）当时，由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增，故 又因为，‎ 故，‎ 故时，，‎ 由于，‎ 则，‎ 取，则，‎ 故的最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查函数与导数中的极值、不等式证明、最值等问题，对逻辑思维能力、运算求解能力等的要求较高，属于难题.‎ ‎22.在平面直角坐标系中， 圆为 的内切圆.其中.‎ ‎（1）求圆的方程及 点坐标；‎ ‎（2）在直线 上是否存在异于的定点使得对圆上任意一点，都有为常数 )？若存在，求出点 的坐标及的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）圆的圆心为，利用点到直线距离公式，求得半径，得到圆的方程，再由线段、线段均与圆相切，得到点；‎ ‎（2）假设存在为常数 )，设，几何关系坐标化，转化成恒成立问题，进而得到或，分别代入并进行检验，得到定点.‎ ‎【详解】（1）由知直线的方程为，‎ 由于圆与线段相切，所以半径即圆的方程为.‎ 由题意与线段相切，所以线段的方程为，即.‎ 又与线段也相切，所以线段的方程为，即.‎ 故 ‎（2）设，则，，‎ 若在直线上存在异于的定点，使得对圆上任意一点，‎ 都有为常数 )，等价于，‎ 对圆上任意点恒成立.‎ 即 整理得：‎ 因为点在直线上，所以，由于在圆上，所以.‎ 故对任意恒成立，‎ 所以显然，所以故，‎ 因为，解得：或；‎ 当时，此时重合，舍去.‎ 当时，‎ 综上，存在满足条件的定点，此时.‎ ‎【点睛】本题考查圆的方程、点到直线距离公式、直线与圆的位置关系等知识，考查逻辑推理能力和运算求解能力，特别是坐标法思想的灵活运用，即把几何问题转化为代数问题中的恒成立问题，从而得到方程组是解决本题的难点.‎ ‎ ‎