2019-2020学年河南省洛阳市高一上学期期中数学试题（解析版）

2019-2020学年河南省洛阳市高一上学期期中数学试题（解析版）

‎2019-2020学年河南省洛阳市高一上学期期中数学试题 一、单选题 ‎1．若U={2，3，4，5}，M={3，4}，N={2，3}，则（∁UM）∩（∁UN））是（ ）‎ A．3, B． C．4, D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据集合补集的定义，结合交集进行运算即可．‎ ‎【详解】‎ 解：∵U={2，3，4，5}，M={3，4}，N={2，3}，‎ ‎∴（∁UM）={2，5}，（∁UN）={4，5}，‎ 则（∁UM）∩（∁UN））={5}，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查集合的基本运算，集合补集，交集的定义是解决本题的关键．属于简单题.‎ ‎2．函数的定义域为（ ）‎ A． B．且 C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得，，解不等式即可求解函数的定义域．‎ ‎【详解】‎ 解：由题意可得，，‎ 解可得，，‎ 故函数的定义域为．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数定义域的求解，属于基础题．‎ ‎3．设，则f（f（-1））的值为（ ）‎ A．5 B．6 C．9 D．10‎ ‎【答案】B ‎【解析】推导出，从而，由此能求出结果．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求分段函数的值，考查运算求解能力，属于简单题．‎ ‎4．定义运算：，则函数f（x）=1⊕2x的值域是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据新运算法则求解的解析式和的范围，由分段函数的性质求解值域．‎ ‎【详解】‎ 解：．‎ ‎∵当时，；‎ 当时，，‎ ‎∴的值域为．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了求分段函数的值域，考查了分类讨论思想，解答此题的关键是理解题意，属简单题．‎ ‎5．已知a＞0且a≠1，下列四组函数中表示相等函数的是（ ）‎ A．与 B．与 C．与 D．与 ‎【答案】B ‎【解析】判断函数的定义域与对应法则是否相同，即可判断两个函数是否相同函数．‎ ‎【详解】‎ 解：A中定义域为，而定义域为，定义域不同，不是同一函数；‎ B中，与对应法则与定义域相同，故是同一函数；‎ C中定义域，定义域为，定义域不同，不是同一函数；‎ D中定义域为,定义域为，定义域不同，不是同一函数；‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的基本性质，判断两个函数是否相同，需要判断定义域与对应法则是否相同，属于简单题.‎ ‎6．函数的零点所在的区间为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】在定义域内属于单调递增函数，根据二分法只需判断区间端点的正负号即可求解；‎ ‎【详解】‎ 解：∵在定义域内属于单调递增函数，‎ 且，，，，，‎ 可得的零点所在区间为.‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 考查二分法确定函数的零点区间，属于简单题.‎ ‎7．函数f（x）＝的奇偶性为（　　）‎ A．是奇函数 B．是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 ‎【答案】A ‎【解析】先求出定义域为[﹣2，0）∪（0，2]，再根据定义域化简解析式，观察可知为奇函数．‎ ‎【详解】‎ f（x）的定义域为[﹣2，0）∪（0，2]，‎ 所以f（x）=-=-f(-x)‎ ‎∴f（x）为奇函数．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的奇偶性，属中档题．‎ ‎8．已知，，，则的大小关系是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】分别根据指对函数的性质和运算性质得到各自的范围，进而得到结果.‎ ‎【详解】‎ 显然，，又因为，，故 故答案为：D.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查的是应用不等式的性质和指对函数的单调性比较大小，两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.‎ ‎9．函数的图象大致是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据特殊值，代入检验，排除不合要求的选项即可 ‎【详解】‎ 当x=0时，f(x)=0，排除D选项 当 时， 排除C选项 根据定义域 可排除A选项 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了根据解析式判断函数的图像，从特殊值、单调性、奇偶性等方面考虑，属于基础题。‎ ‎10．定义在上的奇函数在上递增，，则满足的的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知结合奇函数的对称性可得，或，解对数不等式即可求解．‎ ‎【详解】‎ 解：定义在上的奇函数在递增，，‎ ‎∴在上递增，且，‎ 又∵，‎ ‎∴或，‎ 解可得，或，‎ 故的取值范围为．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用奇函数的对称性求解不等式，解对数不等式，解题的关键是灵活利用对称性，属于简单题．‎ ‎11．若偶函数（是自然对数的底数）的最大值为n，则f（nm）=（ ）‎ A． B． C．e D．1‎ ‎【答案】A ‎【解析】当时，函数（是自然对数的底数）的最大值为，再由是偶函数，求出，由此能求出.‎ ‎【详解】‎ 解：∵函数（是自然对数的底数）的最大值为，‎ ‎∴当时，函数的最大值为，‎ ‎∵是偶函数，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎，解得，‎ ‎∴．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据函数的最值求参数，根据函数的奇偶性求参数，考查运算求解能力，是简单题．‎ ‎12．已知定义在上的单调函数，满足，则不等式 的解集为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意可设，从而可得出，根据可解出，从而得出，从而根据原不等式得出，且，解出的范围即可．‎ ‎【详解】‎ 解：∵是定义在上的单调函数，‎ ‎∴由得，，‎ ‎∴，且，解得，‎ ‎∴，‎ ‎∴由得，‎ ‎，且，‎ 解得或，‎ ‎∴原不等式的解集为．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了根据函数的单调性求解析式，一元二次不等式的解法，考查了推理和计算能力，属于简单题．‎ 二、填空题 ‎13．若幂函数的图象经过点，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设幂函数y=xα（α∈R），其函数图象经过点（2，），‎ ‎∴2α=；解得α=﹣2，∴y=f（x）=x﹣2；∴f（3）=，‎ 故答案为：．‎ ‎14．某商品进货单价为30元，按40元一个销售，能卖40 个；若销售单价每涨1元，销售量减少一个，要获得最大利润时，此商品的售价应该为每个____________元．‎ ‎【答案】625‎ ‎【解析】设涨价 x 元，利润 y=(40+x)(40-x)-30(40-x)= -x2+30x+400，‎ y最大=625(元)．‎ 故答案为625‎ ‎15．函数f（x）=ln（x+4）+ln（1-x）的单调增区间是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先求定义域，根据复合函数性质判断单调性的方法得出结论．‎ ‎【详解】‎ 解：函数，‎ 定义域，‎ ‎，‎ 令，当时单调递增，当时单调递减，‎ 则为增函数，‎ 由复合函数的单调性“同增异减”得：‎ 函数单调递增区间为，单调递减区间为，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，对数函数的定义域，复合函数的单调性规律，属于简单题．‎ ‎16．已知集合，，若 ‎，则实数的取值范围为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，将集合和集合转化为，，由得到方程在上无解，利用函数与方程得到和在上没有交点，求出的值域，从而得到的范围.‎ ‎【详解】‎ 解：设 则，‎ 因为，‎ 所以题目转化为方程在上无解，‎ 即在无解，‎ 令，‎ 即函数和在上没有交点，‎ 而函数在上单调递增，‎ 所以 所以可得或.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了描述法的定义，交集的定义及运算，根据函数的单调性求值域，函数与方程，运用了换元的方法，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17．已知集合A={x|3≤3x≤27}，B={x|log2x＞1}．‎ ‎（1）求A∩B，A∪B；‎ ‎（2）已知集合C={x|1＜x＜a}，若C∪A=A，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）A∩B={x|2＜x≤3}，A∪B={x|x≥1}（2）a≤3‎ ‎【解析】（1）求出集合的等价条件，结合交集，并集的定义进行求解即可；（2）结合集合关系转化为C⊆A，利用集合关系进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）A={x|3≤3x≤27}={x|1≤x≤3}，B={x|log2x＞1}={x|x＞2}．‎ 则A∩B={x|2＜x≤3}，A∪B={x|x≥1}．‎ ‎（2）若C∪A=A，则C⊆A，‎ 当C=∅时，则a≤1，满足条件．‎ 则C≠∅，则a＞1，则要满足C⊆A，‎ 则1＜a≤3，‎ 综上a≤3，‎ 即实数a的取值范围是a≤3．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查集合的基本运算以及集合关系的应用，求出集合的等价条件，结合集合关系进行转化是解决本题的关键，属于简单题.‎ ‎18．计算下列各式：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）．‎ ‎【答案】（1）5（2）-5‎ ‎【解析】（1）结合指数的运算性质即可求解；（2）结合指数与对数的运算性质即可求解．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）‎ ‎，‎ ‎；‎ ‎（2），‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了指数与对数的运算性质的简单应用，属于简单题．‎ ‎19．若函数，‎ ‎（Ⅰ）在给定的平面直角坐标系中画出函数f（x）图象；‎ ‎（Ⅱ）利用图象写出函数f（x）的值域、单调区间．‎ ‎【答案】（Ⅰ）‎ ‎（II）值域为（﹣∞，﹣1]∪（1，+∞），单调递减区间为[﹣1，0]，‎ 单调递增区间为（﹣∞，﹣1）和（0，+∞）.‎ ‎【解析】（I）利用指数函数和二次函数图象的画法，分段画出f（x）的图象即可；‎ ‎（II）由图象看，函数的值域即函数图象的纵向分布，函数的单调区间即函数随自变量增大的变化趋势，由图象读出这些信息即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）函数图象如图所示；‎ ‎（II）由图象可得函数的值域为（﹣∞，﹣1]∪（1，+∞），‎ 单调递减区间为[﹣1，0]，‎ 单调递增区间为（﹣∞，﹣1）和（0，+∞）.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了分段函数函数图象的画法，函数的值域及函数单调性的直观意义，辨清函数概念和性质是解决本题的关键.‎ ‎20．已知函数是定义在上的奇函数，且．‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）判断并证明在上的单调性．‎ ‎【答案】（1）；（2）在上单调递减，证明见解析.‎ ‎【解析】（1）根据是上的奇函数即可得出，再根据即可求出，从而得出；‎ ‎（2），从而可以看出在上单调递减，根据减函数的定义证明：设任意的，然后作差，通分，提取公因式，得出，根据说明即可得出 在上单调递减．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）∵是上的奇函数，‎ ‎∴，且，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴；‎ ‎（2）在上单调递减，证明如下：‎ 设，则，‎ ‎∵，‎ ‎∴，，且，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴在上单调递减．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了奇函数的性质，求函数解析式，定义法证明函数的单调性，属于简单题．‎ ‎21．已知函数的定义域为．‎ ‎（1）若，求的取值范围；‎ ‎（2）求的值域．‎ ‎【答案】（1）（2）值域为 ‎【解析】（1）由，结合对数函数的单调性可求的范围；（2）先对函数进行化简，然后结合二次函数的单调性即可求解函数的值域．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）∵，‎ ‎∴，‎ ‎（2）∵‎ ‎，‎ ‎∴‎ 在上单调递减，在上单调递增，‎ 当即时，函数取得最小值，‎ 当即时，函数取得最大值 故函数的值域为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的定义域及值域的求解，解题的关键是二次函数的性质的应用，运用了换元的方法，属于中档题.‎ ‎22．已知函数．‎ ‎（1）判断并证明的奇偶性；‎ ‎（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）为定义域为的奇函数，证明见解析（2）‎ ‎【解析】（1）先得到的定义域为，再研究与的关系，从而判断出奇偶性；（2）由已知及，可判断，从而原不等式可转化为在恒成立，设，令，得到，结合的单调性得到最小值，从而得到的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）为定义域为的奇函数，证明如下：‎ 定义域为，‎ ‎∵，‎ ‎∴=，‎ ‎∴为定义域为的奇函数，‎ ‎（2）由时，恒成立，可得，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴在恒成立，‎ 令，则，‎ ‎∴，在恒成立 设，则 而在上单调递增，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 故的范围为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，及利用函数的单调性求解函数的最值，体现了转化思想的应用，属于中档题．‎