湖北省襄阳市优质高中2020届高三联考数学（理）试题 Word版含解析

湖北省襄阳市优质高中2020届高三联考数学（理）试题 Word版含解析

www.ks5u.com 襄阳市优质高中2020届高三联考试题数学（理科）‎ 一、选择题：‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算再求即可.‎ ‎【详解】,故.故.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了集合的基本运算,属于基础题.‎ ‎2.设，则z的虚部是（ ）‎ A. B. 1 C. -1 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简再根据虚部的定义求解即可.‎ ‎【详解】,其虚部为1.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了复数的基本运算与虚部的定义,属于基础题.‎ ‎3.已知，则的大小关系为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ - 22 -‎ ‎【分析】‎ 根据对数与指数的单调性分析与的大小关系即可.‎ ‎【详解】由题,故,又,‎ ‎,故,故.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查了根据指对数函数的单调性分析函数值大小关系的问题,需要根据数值特征判断数值与特殊值之间的大小关系再判断,属于基础题.‎ ‎4.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙．从外观上看，是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称；六根等长的正四棱柱分成三组，经90°榫卯起来．如图所示，正四棱柱的高为8，底面正方形的边长为1，将这个鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器半径的最小值为（容器壁的厚度忽略不计）（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据鲁班锁的对称性,可取三组长方体中的一组进行计算,则球心为该长方体的中心,再根据长方体外接球的直径为长方体体对角线求解即可.‎ ‎【详解】结合鲁班锁的对称性,球心为三组长方体的中心,且每个长方体由两个正四棱柱组成,所以每个长方体的长为2,宽为1,高为8.设球的半径为,则.‎ 故 故选：C - 22 -‎ ‎【点睛】本题主要考查了外接球的计算,需要根据对称性确定一组长方体的外接球即为整体的外接球,属于基础题.‎ ‎5.设，函数的图象可能是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导分析函数的单调性与极值点即可.‎ ‎【详解】因为,,‎ 令有.又故.‎ 故在和上单调递增,在上单调递减.‎ 且在处取极小值0.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了根据函数的解析式判断函数图像的方法,需要根据函数解析式求导分析单调性与极值再判断,属于中档题.‎ ‎6.2019年4月，习近平总书记专程前往重庆石柱考察了“精准脱贫”工作.为了进一步解决“两不愁，三保障”突出问题，当地安排包括甲、乙在内的5名专家对石柱县的3个不同的乡镇进行调研，要求每个乡镇至少安排一名专家，则甲、乙两名专家安排在同一乡镇的概率为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ - 22 -‎ ‎【分析】‎ 先计算总共可能的分配情况,再分析甲、乙两名专家安排在同一乡镇的情况数再求概率即可.‎ ‎【详解】5名专家对石柱县的3个不同的乡镇进行调研,分两大类：‎ ‎①其中一个乡镇有3个专家,另外两个分别有1个,共种情况.‎ ‎②其中一个乡镇有1个专家,另外两个分别有2个,共种情况.‎ 故共种情况.‎ 其中甲、乙两名专家安排在同一乡镇可能的情况同上分析,有 种可能.‎ 故甲、乙两名专家安排在同一乡镇的概率为.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查了利用排列组合方法求解概率的问题,需要根据题意分情况求总的情况数与满足条件的情况数,再进行概率的求解.属于中档题.‎ ‎7.已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量垂直的公式与数量积公式求解即可.‎ ‎【详解】设与的夹角为,因为,所以,即.‎ 又,所以.故.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了垂直的数量积表示以及数量积的公式等.属于基础题.‎ ‎8.执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的n的值为（ ）‎ - 22 -‎ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据框图逐个循环分析即可.‎ ‎【详解】输入,初始值.‎ 第1次循环：,判断为“是”‎ 第2次循环：,判断为“是”‎ 第3次循环：,判断为“是”‎ 第4次循环：,判断为“是”‎ 第5次循环：,判断为“否”.‎ 输出.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了根据程序框图的输入值计算输出结果,属于基础题.‎ - 22 -‎ ‎9.已知数列为等差数列，其前n项和为，若且，有以下结论：‎ ‎①；②；③为递增数列；④.‎ 则正确的结论的个数为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对①②,根据等差数列的求和性质求解即可.对③④,举出反例判断即可.‎ ‎【详解】对①,由题, 令有,故①正确.‎ 对②,.故②正确.‎ 对③, 当时满足,故为递增数列不一定正确.故③错误.‎ 对④, 由①②,可设当时满足,但.故④错误.‎ 故①②正确.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了等差数列的求和性质运用,需要根据题意利用赋值法或性质推导,属于中档题.‎ ‎10.过抛物线的焦点F的直线交该抛物线于两点，若，O为坐标原点，则（ ）‎ A. B. C. 4 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出图像,分别作关于准线的垂线,再根据平面几何的性质与抛物线的定义求解即可.‎ - 22 -‎ ‎【详解】如图,作分别作关于准线的垂线,垂足分别为,直线交准线于.过作的垂线交于,准线与轴交于.则根据抛物线的定义有.‎ 设,,故,,故.‎ 故,故是边的中位线,故.‎ 故.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查了利用平面几何中的比例关系与抛物线的定义求解线段比例的问题,需要根据题意作出对应的辅助线,利用边角关系求解,属于中档题.‎ ‎11.已知函数在R上都存在导函数，对于任意的实数x都有.当时，，若，则实数a的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意构造函数,再分析的单调性与奇偶性再求解即可.‎ ‎【详解】根据题意构造函数,因为对于任意的实数x都有,‎ - 22 -‎ 故,即,故为偶函数.又当时,即,故当时,单调递增.‎ 综上所述, 为偶函数, 当时,单调递增；当时, 单调递减.‎ 又,即,即.‎ 故,即,解得.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了构造函数求解抽象函数不等式的问题,需要根据题意判断构造的函数解析式,再根据所给的性质分析函数的单调性与奇偶性.属于中档题.‎ ‎12.在四面体中，，则当四面体的体积最大时，其外接球表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意易得,当与垂直时四面体的体积能取得最大值,再取中点,设再列式求导分析当体积取最大值时的长度,进而求得外接球的半径即可.‎ ‎【详解】‎ 由题,当与形状确定时,以为底面,易得当与垂直时四面体的高取得最大值,此时体积取最大值. ‎ 取中点,因为,故,.‎ - 22 -‎ 设则.故体积为.‎ 令,则,易得当时取最大值.‎ 此时.‎ 此时根据对称性可知,球心必定在中.作于,作于.‎ 易得分别为与的外心.故, .‎ 故,.又为正方形,故.‎ 故.故外接球表面积为 .‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查了利用导数求解立体几何中的最值问题以及外接球的表面积的求法等.需要根据题意设合适的边长求出对应的函数解析式,再求导分析最值.同时外接球的问题需要找准球心位置,构造直角三角形求边角关系.属于难题.‎ 二、填空题：‎ ‎13.已知数列满足，则的值______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对两边除以构造等差数列,求通项公式再求解即可.‎ ‎【详解】对两边除以可得,故是以为首项,公差为2的等差数列.故,故.故.‎ 故答案为：‎ - 22 -‎ ‎【点睛】本题主要考查了构造等差数列求解数列通项公式的方法,属于基础题.‎ ‎14.“三个臭皮匠，赛过诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大，假设李某智商较髙，他独自一人解决项目M的概率为；同时，有n个水平相同的人也在相互独立地研究项目M，他们各自独立地解决项目M的概率都是0.5，这个人的团队解决项目M的概率为，若，则n的最小值是______________.‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意根据不能解决项目的概率列式求解即可.‎ ‎【详解】依题意,设个人组成的团队不能解决项目的概率为.‎ 故当时,,因为,故.即的最小值是5. ‎ 故答案为：5‎ ‎【点睛】本题主要考查了概率与指数不等式的综合运用,需要根据题意根据事件的反面进行求解.属于基础题.‎ ‎15.已知函数，若的零点都在内，其中a，b均为整数，当取最小值时，则的值为_____________.‎ ‎【答案】4039‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导分析的单调性,再根据零点存在定理与函数的平移分析即可.‎ ‎【详解】因为恒成立.故为增函数.所以有且仅有一个零点.又,,故零点在区间之间.又为函数往右平移2020个单位,所以 - 22 -‎ 的零点落在上.‎ 由题意可知, 取最小值时,所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的零点存在性定理与函数平移的问题,属于基础题.‎ ‎16.已知双曲线的左、右焦点分別为，点A是双曲线左支上的一点，直线与直线平行，的周长为8a，则双曲线的离心率为_________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线的定义分析的关系,再根据直线与直线平行可得的表达式,进而求得,再在焦点三角形中利用余弦定理化简求解即可.‎ ‎【详解】由题,设,则,又的周长为,‎ 可得.又直线与直线平行,‎ 故,故.‎ 由余弦定理可得,,‎ 整理得,同除以可得,故.‎ 因为故 - 22 -‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了根据双曲线定义与余弦定理的应用求解双曲线焦点三角形的问题,需要分析边的表达式,再根据余弦定理列出关于的齐次式再求解离心率.属于中档题.‎ 三、解答题：‎ ‎17.已知是中内角的对边，.‎ ‎（1）求c；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用的余弦定理求解即可.‎ ‎(2)根据余弦定理求解即可得,再利用余弦的差角公式求解即可.‎ ‎【详解】（1）∵,‎ 所以,‎ 整理得：,‎ 即,解得：,或（舍）,则.‎ ‎（2）由（1）知：,‎ 所以,则,‎ - 22 -‎ 则所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查了余弦定理以及三角恒等变换在解三角形中的应用.属于中档题.‎ ‎18.如图所示，四棱锥中，底面为菱形，底面，，，E为棱的中点，F为棱上的动点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若锐二面角的正弦值为，求点F的位置.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）点F为线段的中点 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)证明,即可.‎ ‎(2) 以点A为坐标原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,设,进而利用空间向量求解锐二面角的正弦值关于的表达式,进而求得即可判断.‎ ‎【详解】（1）如下图所示,由于四边形是菱形,则,‎ 又∵,∴是等边三角形,∵E为的中点,∴,‎ ‎∵,∴.‎ ‎∵底面,平面,∴,‎ ‎∵,平面,‎ ‎∴平面；‎ - 22 -‎ ‎（2）由（1）知,,且底面,以点A为坐标原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,‎ 由则点,,‎ 设,‎ 则,‎ 设平面的一个法向量为,‎ 由,即,取,则,,则平面的一个法向量为,‎ 同理可得平面的一个法向量为,‎ ‎∵二面角的正弦值为 ‎∴,解得.‎ 因此,当点F为线段的中点时,二面角的正弦值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定与根据二面角的大小求解特殊点位置的方法,需要根据题意设所求点满足的含参向量表达式,再根据题意得出关于参数的等式求解即可.属于中档题.‎ ‎19.已知椭圆M：的左、石顶点分别为A、B，设P是曲线M上的任意一点.‎ - 22 -‎ ‎（1）当点P异于A、B时，直线的斜率分别为，则是否为定值？请说明理由；‎ ‎（2）已知点C在椭圆M的长轴上（异于A、B两点）.且的最大值为3，求点C的坐标.‎ ‎【答案】（1）是定值，理由见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)设,再表达出,最后利用满足方程代换证明即可.‎ ‎(2) 设,再求得的解析式,利用二次函数的最值判断,分与两种情况求解即可.‎ ‎【详解】（1）证明：由椭圆方程可得,‎ 设,‎ 则,‎ ‎∴,‎ ‎（2）设,‎ 则 ‎.‎ 若,即,则,解得.‎ 此时,同理,若,可得,此时,‎ 故C点坐标为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了根据椭圆中的定值与最值问题,需要根据题意设点表达对应的解析式 - 22 -‎ ‎,再代入椭圆的方程结合二次不等式的最值与范围求解.属于中档题.‎ ‎20.十九大提出对农村要坚持精准扶贫，至2020年底全面脱贫.现有扶贫工作组到某山区贫困村实施脱贫工作.经摸底排查，该村现有贫闲农户100家，他们均从事水果种植，2017年底该村平均每户年纯收入为1万元.扶贫工作组一方面请有关专家对果树进行品种改良，提高产量；另一方面，抽出部分农户从事水果包装、销售工作，其人数必须小于种植的人数.从2018年初开始，该村抽出户（）从事水果包装、销售.经测算，剩下从事水果种植农户的年纯收入每户平均比上一年提高，而从事包装销售农户的年纯收入每户平均为万元（参考数据：）.‎ ‎（1）至2020年底，为使从事水果种植农户能实现脱贫（每户年均纯收入不低于1万5千元），则应至少抽出多少户从事包装、销售工作？‎ ‎（2）至2018年底，该村每户年均纯收人能否达到1.355万元？若能，请求出从事包装、销售的户数；若不能，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）15（2）当从事包装、销售的户数达到20户、25户、30户时，能达到，否则不能，理由见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据从事水果种植农户的年纯收入每户平均比上一年提高列式求解即可得出的值,继而得出从事包装、销售工作的户数.‎ ‎(2)根据题意计算从事水果种植农户的年纯收入与从事包装、销售工作的农户的总和除以总人数100即可得该村每户年均纯收入,再列出不等式求解即可.‎ ‎【详解】（1）至2020年底,种植户平均收入,‎ 即,由题所给数据,‎ 知：,所以,,‎ 所以,x的最小值为3,,‎ 即至少抽出15户从事包装、销售工作.‎ ‎（2）至2018年底,假设能达到1.355万元,‎ - 22 -‎ 每户的平均收入为：,‎ 化简,得：,因 解得：.‎ 所以,当从事包装、销售的户数达到20户、25户、30户时,能达到,‎ 否则不能.‎ ‎【点睛】本题主要考查了统计中的实际运用,需要根据题意列出题中的所求变量满足的不等式,再利用对应的不等式求解方法求解即可.属于中档题.‎ ‎21.已知．‎ ‎（1）若在上恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（2）证明：当时，．‎ ‎【答案】(1) (2)证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求导，，讨论与1 的大小确定的正负，进而确定的最值即可证明 ‎（2）由（1）取，得 ，要证，只需证，构造函数，证明即可证明 ‎【详解】（1）法一：由题意， ‎ ‎① 若，即时，，则在单调递增，‎ 则，则在单调递增，故，满足题意； ‎ ‎② 若，即时，存在，使得，且当时，，则在上单调递减，则，则在单调递减，此时，舍去； ‎ - 22 -‎ ‎③ 若，即时，，则在上单调递减，则，则在单调递减， ，舍去；‎ 故．‎ 法二：由题知，且，，‎ 要使得在上恒成立，则必须满足，即，．‎ ‎① 若时，，则在单调递增，则，‎ 则在单调递增，故，满足题意； ‎ ‎② 若时，存在时，，则在上单调递减，则，则在单调递减，此时，舍去；‎ 故． ‎ ‎（2）证明：由（1）知，当时，．取，‎ 则 ‎ 由（1），则，故，‎ 要证，只需证． ‎ 令，则，，‎ 当时，，则在上单调递增，有，‎ 故在单调递增，故，‎ 故，即有，得证 ‎【点睛】本题考查函数与导数的应用，考查利用导数证明不等式，考查构造函数及变形转化能力，是中档题 ‎22.在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数）.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.‎ - 22 -‎ ‎（1）求曲线C的极坐标方程；‎ ‎（2）设直线l与曲线C相交于不同的两点，指出的范围，并求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2），‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎(1)将曲线的参数方程先消参化简得到直角坐标方程,再代入及化简即可.‎ ‎(2) 将代入曲线的极坐标方程得出韦达定理,再根据的几何意义代入韦达定理,并利用三角函数的最值问题求解即可.‎ ‎【详解】（1）将曲线C的参数方程,消去参数,‎ 得.‎ 将及代入上式,得.‎ ‎（2）依题意由知.‎ 将代入曲线C的极坐标方程,得.‎ 设,则.‎ 所以.‎ 因为,所以,则,‎ 所以的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了参数方程化简极坐标的方法,需要利用直角坐标过度.同时也考查了极坐标的几何意义与三角函数求最值的方法.属于中档题.‎ - 22 -‎ ‎23.已知函数的最小值为M.‎ ‎（1）求M；‎ ‎（2）若正实数，，满足，求：的最小值.‎ ‎【答案】（1）（2）3.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将绝对值函数写成分段函数形式，分别求出各段的最小值，最小的即为函数的最小值．‎ 由（1）知，直接利用公式：平方平均数 算数平均数， 即可解出最小值．‎ ‎【详解】（1）‎ 如图所示 ‎∴‎ ‎(2)由（1）知 ‎∴‎ - 22 -‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 当且仅当，是值最小 ‎∴的最小值为3.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查绝对值函数及平方平均数与算数平均数的大小关系，属于基础题.‎ - 22 -‎ ‎ ‎ - 22 -‎