衡水独家秘籍之2019高中期末复习 专题五 函数与方程问题求解举例

衡水独家秘籍之2019高中期末复习 专题五 函数与方程问题求解举例

衡水独家秘籍之2019高中期末复习 专题五函数与方程问题求解举例 ‎【方法综述】‎ 函数的思想，是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系式或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．‎ 方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，从而建立方程或方程组或构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．‎ 方程的思想与函数的思想密切相关，对于函数y＝f(x)(如果y＝ax2＋bx＋c可以写成f(x)＝ax2＋bx＋c，即y＝f(x)的形式)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看作二元方程y－f(x)＝0，函数与方程这种相互转化的关系很重要，我们应熟练掌握．下面我们就具体看一下函数与方程的应用举例．‎ ‎【要点回顾】‎ ‎1．函数零点的理解：(1)函数的零点、方程的根、函数图象与x轴的交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式；(2)若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，且f(a)f(b)＜0，则f(x)在区间(a，b)内有零点，反之不成立．‎ ‎2．函数零点的判定常用方法：(1)零点存在性定理；(2)数形结合法；(3)解方程f(x)＝0.‎ ‎3．曲线的交点问题：(1)曲线交点坐标即为方程组的解，从而转化为方程的根；(2)求曲线y＝f(x)与y＝g(x)的交点的横坐标，实际上就是求函数y＝f(x)－g(x)的零点，即求f(x)－g(x)＝0的根．‎ ‎【典型例题】‎ ‎1．求函数的零点 例1.求函数f(x)＝x3－3x＋2的零点．‎ 解　令f(x)＝x3－3x＋2＝0，‎ ‎∴(x＋2)(x－1)2＝0.‎ ‎∴x＝－2或x＝1，‎ ‎∴函数f(x)＝x3－3x＋2的零点为－2,1.‎ 评注　求函数的零点，就是求f(x)＝0的根，利用等价转化思想，把函数的零点问题转化为方程根的问题，或利用数形结合思想把函数零点问题转化为函数图象与x轴的交点问题．‎ ‎2．判断函数零点的个数 例2.已知函数f(x)＝ax＋(a＞1)，判断函数f(x)＝0的根的个数．‎ 解　设f1(x)＝ax(a＞1)，f2(x)＝－，则f(x)＝0的解，即为f1(x)＝f2(x)的解，即为函数f1(x)与f2(x)的交点的横坐标．‎ 在同一坐标系下，分别作出函数f1(x)＝ax(a＞1)与f2(x)＝－的图象(如图所示)．‎ 所以方程f(x)＝0的根有一个．‎ 评注　利用数形结合的思想解决，在同一坐标系下作出f1(x)与f2(x)两函数的图象，从而观察出两函数的交点个数(即为原函数的零点的个数)．‎ ‎3．确定零点所在的区间 例3.设函数y＝x3与y＝x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是(　　)‎ A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)‎ 解析　y＝x3与y＝x－2的图象的交点的横坐标即为x3＝x－2的根，即f(x)＝x3－x－2的零点，f(1)＝1－－1＝－1＜0，f(2)＝23－0＝7＞0，‎ ‎∴f(x)的零点在(1,2)内．‎ 答案　B 评注　本题考查函数零点性质的应用，利用了函数与方程的转化思想，体现对运算能力和理解能力的要求．‎ ‎4．利用函数零点的存在性求参数范围 例4.关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在[0,2]上有解，求实数m的取值范围．‎ 解　设f(x)＝x2＋(m－1)x＋1，x∈[0,2]，‎ 又∵f(0)＝1>0，由题意得 ‎①或② 解①得－3≤m≤－1，解②得m<－3.‎ 综合得m≤－1.‎ 故m的取值范围为m≤－1.‎ 评注　本题实质是对一元二次方程根的个数的讨论，解题过程中利用了函数与方程的转化、分类讨论思想、方程与不等式的转化等知识，对运算能力和分析问题的能力有很高的要求.‎ ‎4.判断方程解的存在性 例5.已知函数f(x)＝3x3－2x2＋1，判断方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有没有实数解？‎ 分析　可通过研究函数f(x)在[－1,0]上函数的变化情况判断函数是否有零点，从而判定方程是否有解．‎ 解　因为f(－1)＝3×(－1)3－2×(－1)2＋1＝－4<0，‎ f(0)＝3×03－2×02＋1＝1>0，‎ 所以f(－1)·f(0)<0.‎ 又因为函数f(x)＝3x3－2x2＋1的图象是连续的曲线，‎ 所以f(x)在[－1,0]内有零点，即方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有实数解．‎ 评注　要判断f(x)＝0是否存在实根，即判断对应的连续函数y＝f(x)的图象是否与x轴有交点．因此，只要找到图象上的两点，满足一点在x轴上方，另一点在x轴下方即可．‎ ‎5、确定方程根的个数 例6.若f(x)＝ax3＋ax＋2(a≠0)在[－6,6]上满足f(－6)>1，f(6)<1，则方程f(x)＝1在[－6,6]内的解的个数为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 分析　利用等价转化将方程根的问题化为函数的零点问题，再结合函数零点的性质进行判断．‎ 解析　设g(x)＝f(x)－1，则由f(－6)>1，f(6)<1‎ 得[f(－6)－1][f(6)－1]<0，即g(－6)g(6)<0.‎ 因此g(x)＝f(x)－1在(－6,6)上有零点．‎ 由于g(x)＝ax3＋ax＋1(a≠0)，‎ 易知当a>0时g(x)单调递增；‎ 当a<0时，g(x)单调递减，‎ 即函数g(x)为单调函数，故g(x)仅有一个零点．‎ 因此方程f(x)＝1仅有一个根．故选A.‎ 答案　A 评注　在区间[a，b]上单调且图象连续的函数y＝f(x)，若f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)的图象在(a，b)内有唯一的零点．‎ ‎【针对训练】‎ ‎1．函数f(x)=ax-a-2‎在‎[2,6]‎上有唯一零点，则a的取值范围为( )‎ A． ‎(‎2‎‎5‎,2]‎ B． ‎(‎2‎‎5‎,2)‎ C． ‎[‎2‎‎5‎,2]‎ D． ‎‎(-∞,‎2‎‎5‎]∪[2,+∞)‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 函数f(x)=ax-a-2‎为单调函数，且在‎[2，6]‎上有唯一零点，‎ 故f‎2‎∙f‎6‎≤0‎ a-2‎‎5a-2‎‎≤0‎‎，解得‎2‎‎5‎‎≤a≤2‎ 故选C.‎ ‎2．若关于x的不等式x‎2‎‎-ax+2>0‎在区间‎[1,5]‎上有解，则a的取值范围是（ ）‎ A． ‎(2‎2‎,+∞)‎ B． ‎(-∞,2‎2‎)‎ C． ‎(-∞,3)‎ D． ‎‎(-∞,‎27‎‎5‎)‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ x‎2‎‎-ax+2>0‎在区间‎[1,5]‎上有解，转化为存在一个x∈[1,5]‎使得x‎2‎‎+2>ax⇒x+‎2‎x>a，设fx=x+‎‎2‎x，即是fx的最大值‎>a，fx的最大值‎=‎‎27‎‎5‎，当x=5‎时取得，故选D ‎3．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥ 0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为(　　)‎ A． {1,3} B． {－3，－1,1,3}‎ C． {2－‎7‎，1,3} D． {－2－‎7‎，1,3}‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎∵f(x)‎是定义在R上的奇函数，当x‎≥0‎时，f（x）=x‎2‎-3x， 令x＜0‎，则‎-x＞0‎ ，‎‎∴f（-x）=x‎2‎+3x=-f（x）,∴f（x）=-x‎2‎-3x，‎ ‎∴fx＝x‎2‎‎-3x，x≥0‎‎-x‎2‎-3x，x＜0‎,‎‎ ‎∵g（x）=f（x）-x+3‎ ，‎ ‎∴g（x）=x‎2‎‎-4x+3，x≥0‎‎-x‎2‎-4x+3，x＜0‎,‎‎ 令g（x）=0‎， 当x≥0‎时，x‎2‎‎-4x+3=0‎，解得x=1，或x=3‎， 当x＜0‎时，‎-x‎2‎-4x+3=0‎，解得x=-2-‎7‎，‎ ‎∴函数g（x）=f（x）-x+3‎的零点的集合为‎{－2－‎7‎，1,3}‎.‎ 故选：D．‎ ‎4若关于x的方程‎7x‎2‎-(m+13)x-m-2=0‎的一个根在区间‎(0,1)‎内，另一个根在区间‎(1,2)‎内，则实数 m的取值范围为‎(‎　　‎‎)‎ A． ‎(-4,-2)‎ B． ‎(-3,-2)‎ C． ‎(-4,0)‎ D． ‎‎(-3,1)‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 设函数f（x）=7x2﹣（m+13）x﹣m﹣2，‎ ‎∵方程7x2﹣（m+13）x﹣m﹣2=0的一个根在区间（0，1）上，另一根在区间（1，2），‎ ‎∴‎&f(0)＞0‎‎&f(1)＜0‎‎&f(2)＞0‎，∴‎&f(0)=-m-2＞0‎‎&f(1)=-2m-8＜0‎‎&f(2)=-3m＞0‎，解得：﹣4＜m＜﹣2，‎ 即实数m的取值范围是（﹣4，﹣2）；‎ 故选：A．‎ ‎5．设函数f(x)=xx+bx+c，给出下列四个命题：‎ ‎①当c=0‎时，y=f(x)‎是奇函数；‎ ‎②当b=0‎，c>0‎时，方程f(x)=0‎只有一个实数根；‎ ‎③函数f(x)‎可能是R上的偶函数；‎ ‎④方程f(x)=0‎最多有两个实根.‎ 其中正确的命题是（ ）‎ A． ①② B． ①③ C． ②③④ D． ①②④‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎①当c=0‎时，函数f(x)=xx+bx ‎∴f‎-x=-x‎-x+b‎-x=-xx+bx=-fx‎，则函数y=f(x)‎是奇函数，故正确 ‎②当b=0‎，c>0‎时，‎∵‎函数在R上是增函数，且值域为‎-∞，+∞‎，则方程f(x)=0‎只有一个实数根，故正确 ‎③若函数f(x)‎是R上的偶函数，则fx=f(-x)‎，即xx+bx+c=-x‎-x-bx+c，不存在等式在R 上成立，故错误 ‎④当b=-1‎，c=0‎时，方程f(x)=0‎有三个实根：‎1，-1，0‎，‎ 因此，方程f(x)=0‎最多有两个实根错误 综上所述，正确的命题有①②‎ 故选A ‎6．已知函数f(x)=‎‎1‎x+1‎‎-3,x∈(-1,0]‎x,x∈(0,1]‎，则方程f(f(x))=1‎在‎(-1,1]‎内方程的根的个数是（ ）‎ A． 0 B． 1 C． 2 D． 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 画出函数图象，如图，‎ 令fx=t，则ft=1‎，‎ 由图象可得t‎1‎‎=1,t‎2‎∈‎‎-1,-‎‎2‎‎3‎，‎ 由fx=‎t‎1‎时，y=fx与y=1‎有两个交点，fx=1‎有两个根.‎ 由fx=‎t‎2‎时，由图象可得y=fx与y=‎t‎2‎有一个交点，fx=‎t‎2‎有一个根.‎ 综上，方程f(f(x))=1‎在‎(-1,1]‎内方程的根的个数是‎3‎，故选D.‎ ‎7.已知λ∈R，函数f(x)=x-4,x≥λx‎2‎‎-4x+3,x<λ，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．‎ ‎【答案】 (1,4)‎‎(1,3]∪(4,+∞)‎ ‎【解析】‎ 由题意得x≥2‎x-4<0‎或x<2‎x‎2‎‎-4x+3<0‎，所以‎2≤x<4‎或‎14‎时，f(x)=x-4>0‎，此时f(x)=x‎2‎-4x+3=0,x=1,3‎，即在‎(-∞,λ)‎上有两个零点；当λ≤4‎时，f(x)=x-4=0,x=4‎，由f(x)=x‎2‎-4x+3‎在‎(-∞,λ)‎上只能有一个零点得‎1<λ≤3‎.综上，λ的取值范围为‎(1,3]∪(4,+∞)‎.‎ ‎8．已知函数fx=‎‎-2,x>0‎‎-x‎2‎+bx+c,x≤0‎，若f(0)＝－2，f(－1)＝1，则函数g(x)＝f(x)＋x的零点个数为______．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ 由已知当x≤0时f（x）=﹣x2+bx+c，‎ 由待定系数得：‎&f(0)=c=-2‎‎&f(-1)=-1-b+c=1‎解得c=﹣2，b=﹣4；‎ 故f（x）=‎&x=-2，x＞0‎‎&-x‎2‎-4x-2，x≤0‎，令f（x）+x=0，‎ 分别解之得x1=2，x2=﹣1，x3=﹣2，即函数共有3个零点．‎ 故答案为：3．‎ ‎9.已知函数f(x)=x‎2‎+(2t-1)x+1-2t.‎ ‎（Ⅰ）若函数f(x)‎在区间‎(-1,0)‎和‎(0,‎1‎‎2‎)‎上各有一个零点，求t的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若f(x)>0‎在区间‎[0,2]‎上恒成立，求t的取值范围.‎ ‎【答案】(1)‎(‎1‎‎2‎,‎3‎‎4‎)‎;(2)‎(-‎3‎‎2‎,‎1‎‎2‎)‎.‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）因为函数f(x)‎在区间‎(-1,0)‎和‎(0,‎1‎‎2‎)‎上各有一个零点，‎ 所以有f(-1)=1-2t+1+1-2t>0‎f(0)=1-2t<0‎f(‎1‎‎2‎)=‎1‎‎4‎+t-‎1‎‎2‎+1-2t>0‎ 解得‎1‎‎2‎‎0‎在区间‎[0,2]‎上恒成立，需满足 ‎1-2t‎2‎‎≤0‎f(0)=1-2t>0‎或‎0<‎1-2t‎2‎<2‎Δ=‎2t-1‎‎2‎-4‎1-2t<0‎或‎1-2t‎2‎‎≥2‎f(2)=4+4t-4+1-2t>0‎ 解得：无解或‎-‎3‎‎2‎

查看更多