黑龙江省哈尔滨市宾县一中2019-2020学年高二上学期月考数学（理）试卷

黑龙江省哈尔滨市宾县一中2019-2020学年高二上学期月考数学（理）试卷

数 学 试 卷（理）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.下列说法错误的是（ ）‎ A. 对于命题：，，则：，‎ B. “”是“”的充分不必要条件 C. 若命题为假命题，则，都是假命题 D. 命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据非命题的概念可知正确,根据充分不必要条件的概念可知正确,根据真值表可知不正确,根据逆否命题的概念可知正确.‎ ‎【详解】对于,对于命题：，，则：，是正确的;‎ 对于, “”是“”的充分不必要条件是正确的;‎ 对于,若命题为假命题，则，至少有一个是假命题,故不正确;‎ 对于,命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”是正确的.‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查了判断命题的真假,考查了非命题,考查了充分不必要条件,考查了真值表,考查了否命题,属于基础题.‎ ‎2.已知A,B,C三点不共线,对于平面ABC外的任一点O,下列条件中能确定点M与点A,B,C一定共面的是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据点与点共面，可得，验证选项，即可得到答案.‎ ‎【详解】设，若点与点共面,,则，只有选项D满足，.故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量的共面定理的应用，其中熟记点与点共面时，且,则是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.‎ ‎3.已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎∵ 抛物线的焦点为 ‎∴‎ ‎∴‎ 故选C ‎4.设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则 ( )‎ A. 2 B. -4 C. -2 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平面平行得法向量平行，再根据向量平行坐标表示得结果.‎ ‎【详解】因为，所以，解之得，应选答案D ‎【点睛】本题考查向量平行坐标表示，考查基本求解能力，属基础题.‎ ‎5.已知双曲线的方程为，则下列关于双曲线说法正确的是（ ）‎ A. 虚轴长为4 B. 焦距为 C. 离心率为 D. 渐近线方程为 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，由双曲线的标准方程依次分析选项，综合即可得答案.‎ ‎【详解】根据题意，依次分析选项：‎ 对于A，双曲线的方程为，其中b=3，虚轴长为6，则A错误；‎ 对于B，双曲线的方程为，其中a=2，b=3，则，则焦距为，则B错误；‎ 对于C，双曲线的方程为，其中a=2，b=3，则，则离心率为 ‎，则C错误；‎ 对于D，双曲线的方程为，其中a=2，b=3，则渐近线方程为，则D正确.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线虚轴长、焦距、离心率以及渐近线方程等概念，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎6.在三棱锥P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,且PA=1,PB=2,PC=3,则点P到三角形ABC重心G的距离为(　　)‎ A. 2 B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以P点为坐标原点建立空间直角坐标系，得出A、B、C的坐标，进而得出G的坐标．最后由两点间的距离公式，可得出P、G之间的距离．‎ ‎【详解】以P点为坐标原点，PA、PB、PC所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．易得AB、C 故G 所以==‎ ‎【点睛】本题主要考察利用空间直角坐标系求两点间的距离．‎ 若三角形的三顶点坐标分别为、、.则其重心坐标为 ‎ ‎7.P是椭圆上一动点，F1和F2是左右焦点，由F2向的外角平分线作垂线，垂足为Q，则Q点的轨迹为( )‎ A. 直线 B. 圆 C. 双曲线 D. 抛物线 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图所示，设F2Q交F1P于点M，由已知可得：PQ⊥F2M，∠F2PQ=∠MPQ．可得MP=F2P，点Q为线段F2M的中点．连接OQ，利用三角形中位线定理、椭圆与圆的定义即可得出．‎ ‎【详解】如图所示，设F2Q交F1P于点M，由已知可得：PQ⊥F2M，∠F2PQ=∠MPQ．‎ ‎∴MP=F2P，点Q为线段F2M的中点．‎ 连接OQ，则OQ为△F1F2M的中位线，∴．‎ ‎∵MF1=F1P+F2P=2a．‎ ‎∴OQ=a．‎ ‎∴Q点的轨迹是以点O为圆心，a为半径的圆．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质定理、三角形中位线定理、椭圆与圆的定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎8.已知四棱锥中，，，，则点到底面的距离为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 设是平面的一个法向量，则由题设，即，即，由于，所以，故点到平面ABCD的距离，应选答案D．‎ ‎9.双曲线和椭圆的离心率互为倒数，那么以为边长的三角形是（ ）‎ A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：∵双曲线(a＞0，b＞0)和椭圆(m＞b＞0)的离心率互为倒数，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴，三角形一定是直角三角形 考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质 ‎10.如图，正方体中，点，分别为棱，的中点，则和所成角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以为原点,, 所在直线分别为,轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,根据向量的夹角公式可得向量与的夹角的余弦值,由此可得与的夹角的余弦值.‎ ‎【详解】如图:‎ 以为原点,, 所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,‎ 所以,‎ 所以,,‎ 设向量与的夹角为,‎ 则,‎ 因为,‎ 所以与的夹角即为向量与的夹角,‎ 所以与的夹角的余弦值为.‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查了利用空间向量求异面直线的夹角的余弦值,正确建系,写出向量与的坐标,代入夹角公式计算是解题关键.‎ ‎11.已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是( )‎ A. 2 B. 3 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 直线l2：x＝－1为抛物线y2＝4x的准线．由抛物线的定义知，P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1,0)的距离，故本题转化为在抛物线y2＝4x上找一个点P，使得P到点F(1,0)和直线l2的距离之和最小，最小值为F(1,0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，即dmin＝＝2．‎ ‎12.分别是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于两点．若为等边三角形，则的面积为（ ）‎ A. 8 B. C. D. 16‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由双曲线的定义，可得F1A﹣F2A=F1A﹣AB=F1B=2a，BF2﹣BF1=2a，BF2=4a，F1F2=2c，再在△F1BF2中应用余弦定理得，a，c的关系，即可求出△BF1F2的面积．‎ ‎【详解】因为△ABF2为等边三角形，不妨设AB=BF2=AF2=m，‎ A为双曲线上一点，F1A﹣F2A=F1A﹣AB=F1B=2a，‎ B为双曲线上一点，则BF2﹣BF1=2a，BF2=4a，F1F2=2c，‎ 在△F1BF2中应用余弦定理得：4c2=4a2+16a2﹣2•2a•4a•cos120°，‎ 得c2=7a2，‎ 在双曲线中：c2=a2+b2，b2=24‎ ‎∴a2=4‎ ‎∴△BF1F2的面积为==2×4=8．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题给出经过双曲线左焦点的直线被双曲线截得弦AB与右焦点构成等边三角形，求三角形的面积，着重考查了双曲线的定义和简单几何性质等知识，属于中档题．‎ 二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．‎ ‎13.在空间中，已知平面过和及轴上一点，如果平面与平面的夹角为，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设,先求出平面的一个法向量,然后取平面的一个法向量,利用两个平面的法向量的夹角的余弦值的绝对值等于,列等式可解得.‎ ‎【详解】设,‎ 则,,‎ 设平面的一个法向量,‎ 则 ,即 ,‎ 取,则,,所以,‎ 取平面的一个法向量,‎ 则,‎ ‎,又,.‎ 故答案:.‎ ‎【点睛】本题考查了求平面的一个法向量,考查了二面角的向量求法,属于基础题.‎ ‎14.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,有下列命题:①()2=3;②·()=0;③的夹角为60°;④正方体的体积为||.其中正确命题的序号是_____.‎ ‎【答案】①②‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由向量的运算法则以及垂直向量其数量积为0，可得①正确．由向量线性运算以及空间中与垂直可知②正确．易得三角形为等边三角形．又，故夹角为与的补角为120°，故③错误．||=||故④错误 ‎【详解】()2=222=3故①正确 ‎·()=·0,故②正确．‎ 因为//，均为面对角线，所以三角形为等边三角形，而的夹角为与的补角．所以的夹角为120°，故③错误．‎ 正方体的体积为||||||，而||=||故④错误 ‎【点睛】本题主要考察空间向量的线性运算．在求向量夹角时，注意判断向量的方向．‎ ‎15.如图，若为椭圆：上一点，为椭圆的焦点，若以椭圆短轴为直径的圆与相切于中点，则椭圆的方程为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设线段的中点为,另一个焦点,利用是△的中位线以及椭圆的定义求得直角三角形的三边之长,再利用焦点坐标可求解椭圆方程.‎ ‎【详解】设线段的中点为,另一个焦点,由题意知,,‎ 又是△的中位线,所以,所以,‎ 由椭圆的定义知,‎ 又,,‎ 所以在直角三角形中,由勾股定理得,‎ 又,可得,①‎ 因为为椭圆的焦点,所以,‎ 所以,②‎ 联立①②解得,‎ 所以椭圆的方程为.‎ 故答案为: ‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆的定义,考查了三角形的中位线定理,考查了利用求椭圆方程,‎ 本题属于中档题.‎ ‎16.过双曲线的左焦点F作圆的切线，切点为E，延长FE交双曲线于点P，O为坐标原点，若，则双曲线的离心率为_________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，可知E是PF的中点，OE为的中位线，根据三角形中中位线定理及双曲线的定义，即可求解的关系，即可求出双曲线的离心率.‎ ‎【详解】由题意，双曲线焦点在轴上，焦点，‎ 则，所以，‎ 因为，则E是PF的中点，OE为的中位线，‎ 则，‎ 由双曲线的定理可知，则，‎ 所以双曲线的离心率为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中合理用题设条件，借助双曲线的定义和三角形的中位线，求得的关系式是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及转化思想的应用，属于中档试题.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17.已知命题：空间两向量与的夹角不大于；命题 ‎：双曲线的离心率．若与均为假命题，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出为真命题时,的取值范围,再根据与均为假命题,可得为真命题，为假命题,由此列式可求得答案.‎ ‎【详解】解：若命题为真，则有，即，‎ 解得或；‎ 若命题为真，则有，解得：；‎ ‎∵与均假命题，∴为真命题，为假命题．‎ 则有，解得．‎ 故所求实数取值范围是．‎ ‎【点睛】本题考查了根据命题的真假求参数的取值范围,考查了向量的夹角,考查了根据椭圆的离心率的取值范围求参数的取值范围,属于中档题.‎ ‎18.已知直线L: y＝x＋m与抛物线y2＝8x交于A、B两点（异于原点），‎ ‎（1）若直线L过抛物线焦点，求线段 |AB|的长度；‎ ‎ （2）若OA⊥OB ，求m的值；‎ ‎【答案】(1)m =－2,|AB|=16；(2)m=-8.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）把直线方程与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2，利用弦长公式可求； （2）由于OA⊥OB，从而有x1x2+y1y2=0，利用韦达定理可得方程，从而求出m的值．‎ ‎【详解】(1)设A(x1,y1)、B(x2,y2)，抛物线y2＝8x的焦点坐标为(2,0)‎ 直线L: y＝x＋m过点(20)，得m=−2,‎ 直线L:y=x−2与抛物线y2=8x联立可得x2−12x+4=0，‎ ‎∴x1+x2=12, x1x2=4，‎ ‎∴.‎ ‎(2)联立，得 ‎.‎ ‎∵OA⊥OB,∴‎ ‎.‎ m=0或m=−8,‎ 经检验m=−8.‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，主要是利用舍而不求的思路，表示弦长或垂直关系，属于基础题.‎ ‎19.如图，平面平面，是等腰直角三角形，，四边形是直角梯形，，，，，分别为，的中点．‎ ‎（1求异面直角与所成角的大小；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴，以过点且与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系．利用向量与的夹角公式计算可得;‎ ‎(2) 设直线与平面所成的角为，利用计算可得答案.‎ ‎【详解】（1）∵，平面平面，平面平面，平面，‎ ‎∴平面．‎ ‎∵，∴平面．‎ 如图所示，以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴，以过点且与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系．‎ ‎∵，∴，，，，‎ ‎∴，.‎ ‎∴，‎ ‎∴异面直线与所成角的大小为.‎ ‎（2）由（1）知，，，∴，，.‎ 设平面的法向量为，‎ 则由，可得，令，则，，‎ ‎∴．‎ 设直线与平面所成的角为，则 ‎∴直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查了利用空间向量求异面直线所成角,求直线与平面所成角,正确建立空间直角坐标系是解题关键,本题属于中档题.‎ ‎20.设直线l：y=2x﹣1与双曲线（，）相交于A、B两个不 同的点，且（O为原点）．‎ ‎（1）判断是否为定值，并说明理由；‎ ‎（2）当双曲线离心率时，求双曲线实轴长的取值范围．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）为定值5．将直线y=2x﹣1与双曲线的方程联立，运用韦达定理和向量数量积的坐标表示，化简整理即可得到定值；‎ ‎（2）运用双曲线的离心率公式和（1）的结论，解不等式即可得到所求实轴的范围．‎ ‎【详解】（1）为定值5．‎ 理由如下：y=2x﹣1与双曲线联立，‎ 可得（b2﹣4a2）x2+4a2x﹣a2﹣a2b2=0，（b≠2a），‎ 即有△=16a4+4（b2﹣4a2）（a2+a2b2）＞0，‎ 化为1+b2﹣4a2＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则x1+x2=，x1x2=，由（O为原点），可得 x1x2+y1y2=0，即有x1x2+（2x1﹣1）（2x2﹣1）=5x1x2﹣2（x1+x2）+1=0，‎ 即5•﹣2•+1=0，‎ 化为5a2b2+a2﹣b2=0，即有=5，为定值． ‎ ‎（2）由双曲线离心率时，‎ 即为＜＜，即有2a2＜c2＜3a2，‎ 由c2=a2+b2，可得a2＜b2＜2a2，即＜＜，‎ 由=5，可得＜﹣5＜，化简可得a＜，‎ 则双曲线实轴长的取值范围为（0，）．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的方程和运用，考查直线和双曲线方程联立，运用韦达定理，以及向量数量积的坐标表示，考查化简整理的运算能力，属于中档题．‎ ‎21.如图，在四面体中，是正三角形，是直角三角形，，.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）过的平面交于点，若平面把四面体分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）证明见解析 （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 取的中点，连接，，可证为二面角 的平面角,再根据计算可得,即二面角为直二面角,根据平面与平面垂直的定义可证平面平面;‎ ‎(2) 以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长度，以的方向为轴正方向，以的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，然后求出平面的一个法向量和平面的一个法向量,利用两个法向量的夹角即可求得答案.‎ ‎【详解】（1）证明：由题设可得，从而．‎ 又直角三角形，所以.‎ 取的中点，连接，，则，.‎ 又因为是正三角形，故，‎ 所以为二面角的平面角．‎ 在中，，又，所以，‎ 故,即二面角为直二面角,‎ 所以平面平面．‎ ‎（2）由题设及（1）知，，，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长度，以的方向为轴正方向，以的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则，，，.‎ 由题设知，四面体的体积为四面体的体积的，从而到平面的距离为 到平面的距离的，即为的中点，得，‎ 故，，.‎ 设是平面的法向量，‎ 则，即，可取.‎ 设是平面的法向量，则，同理可取，‎ 则.‎ 所以二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查了平面与平面所成的角,考查了平面与平面垂直的定义,考查了利用法向量求二面角的平面角,建立空间直角坐标系,利用向量解决角的问题是常用方法,属于中档题.‎ ‎22.已知是椭圆与抛物线的一个公共点，且椭圆与抛物线具有一个相同的焦点．‎ ‎（1）求椭圆及抛物线的方程；‎ ‎（2）设过且互相垂直的两动直线，与椭圆交于两点，与抛物线交于两点，求四边形面积的最小值 ‎【答案】（Ⅰ）椭圆的方程为，抛物线的方程为；（Ⅱ）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先求 ，即得c，再将点P坐标代入椭圆方程，解方程组得a,b，即得结果，(2)‎ 根据垂直条件得，设直线的方程，与椭圆方程联立方程，结合韦达定理以及弦长公式解得AB，类似可得CD,最后根据二次函数性质求最值.‎ ‎【详解】（Ⅰ）抛物线：一点 ‎，即抛物线的方程为，‎ ‎ ‎ 又在椭圆：上 ‎，结合知（负舍）， ，‎ 椭圆的方程为，抛物线的方程为.‎ ‎（Ⅱ）由题可知直线斜率存在，设直线的方程，‎ ‎①当时，，直线的方程，，故 ‎②当时，直线的方程为，由得.‎ 由弦长公式知 .‎ 同理可得. ‎ ‎.‎ 令，则，当时，，‎ 综上所述：四边形面积最小值为8.‎ ‎【点睛】解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.‎ ‎ ‎