河南省郑州外国语新枫杨学校2020届高三下学期线上周练数学试题

河南省郑州外国语新枫杨学校2020届高三下学期线上周练数学试题

高三理科数学第二次周练 一．选择题（共12小题,每题5分）‎ ‎1．设集合，则A∩B＝（　　）‎ A．[﹣3，2） B．（2，3] C．[﹣1，2） D．（﹣1，2）‎ ‎2．命题“若x2≤1，则﹣1≤x≤‎1”‎的逆否命题是（　　）‎ A．若x2≥1，则x≥1，或x≤﹣1 B．若﹣1＜x＜1，则x2＜1 …‎ C．若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1 D．若x＞1或x＜﹣1，则x2＞1‎ ‎3．若（4﹣mi）（m+i）≥0，其中i为虚数单位，则实数m的值为（　　）‎ A．﹣2 B．﹣‎4 ‎C．4 D．2‎ ‎4．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于直线x＝对称，且．当ω取最小值时，φ＝（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知向量满足在方向上的投影为2，则的最小值为（　　）‎ A．2 B． C．10 D．12‎ ‎6．已知函数，若不等式f（x）＜2仅有两个整数解，则实数a的取值范围是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎7．已知底面是等腰直角三角形的三棱锥P﹣ABC的三视图如图所示，俯视图中的两个小三角形全等，则（　　）‎ A．PA，PB，PC两两垂直 ‎ B．三棱锥P﹣ABC的体积为 ‎ C． ‎ D．三棱锥P﹣ABC的侧面积为 ‎8．（2x﹣1）5＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a5（x﹣1）5则a3＝（　　）‎ A．40 B．- ‎40 ‎C．80 D．﹣80‎ ‎9．已知定义域为R的函数的满足f（x）＝‎4f（x+2），当x∈[0，2）时，，设f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为，且{an}的前n项和为Sn，若Sn＜k对任意的正整数n均成立，则实数k的取值范围为（　　）‎ A．（，+∞） B．[，+∞） C．[2，+∞） D．[，+∞）‎ ‎10．已知双曲线的右焦点为F（c，0），点A、B分别在直线和双曲线C的右支上，若四边形OABF（其中O为坐标原点）为菱形且其面积为，则a＝（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎11．已知函数f（x）对∀x∈R均有，若f（x）≥lnx恒成立，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．[1，e] B． C． D．‎ ‎12．若存在一个实数t，使得F（t）＝t成立，则称t为函数F（x）的一个不动点．设函数（a∈R，e为自然对数的底数），定义在R上的连续函数,若存在且x0为函数g（x）的一个不动点，则实数a的取值范围为（　　）‎ A．（） B．[） C．（] D．（）‎ 二．填空题（共4小题）‎ ‎13．已知随机变量X∽N（1，σ2），P（﹣1＜X＜1）＝0.4，则P（X≥3）＝　 　．‎ ‎14．袋中装有4个黑球，3个白球，不放回地摸取两球，在第一次摸到了黑球的条件下，第二次摸到白球的概率是　 　．‎ ‎15．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n且支出在[20，60）元的样本，其频率分布直方图如图所示，根据此图估计学生在课外读物方面的支出费用的中位数为　 　元．‎ ‎16．已知一个正四面体纸盒的俯视图如图所示，其中四边形ABCD是边长为的正方形，若在该正四面体纸盒内放一个正方体，使正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值是　 　．‎ 三．解答题（共7小题）‎ ‎17．在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量＝，，，‎ ‎（1）求角B的值；‎ ‎（2）若，且a，b，c成等差数列，求b．‎ ‎18．折纸与数学有着千丝万缕的联系，吸引了人们的广泛兴趣．因A4纸的长宽比称为白银分割比例，故A4纸有一个白银矩形的美称．现有一张如图1所示的A4纸EFCH，． A，B，C，D分别为EF，FG，GH，HE的中点，将其按折痕AB，BC，CD，DA，AC折起（如图2），使得E，F，G，H四点重合，重合后的点记为S ‎，折得到一个如图3所示的三棱锥D﹣ABC．记O为AC的中点，在△SOB中，SP为BO边上的高．‎ ‎（1）求证：SP∥平面ACD；‎ ‎（2）若M，N分别是棱AB，BC上的动点，且AM＝BN．当三棱锥B﹣DMN的体积最大时，求平面DAB与平面DMN所成锐二面角的余弦值．‎ ‎19．如图，过抛物线y2＝2px（p＞0）上一点P（1，2），作两条直线分别交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时：‎ ‎（1）求y1+y2的值；‎ ‎（2）若直线AB在y轴上的截距b∈[﹣1，3]时，求△ABP面积S△ABP的最大值．‎ ‎20．已知函数f（x）＝．‎ ‎（1）讨论f(x）的单调性；‎ ‎（2）当a＝2，x＞时，证明：f（x）＜．‎ ‎22．选修4﹣4：坐标系与参数方程 平面直角坐标系xOy中，点A（2，0）在曲线C1：，（a＞0，φ为参数）上．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为：‎ ‎（Ⅰ）求曲线C2的普通方程 ‎（Ⅱ）已知点M，N的极坐标分别为，若点M，N都在曲线C1上，求的值．‎ ‎23．已知函数f（x）＝| 2x﹣3 |﹣| x+1 |．‎ ‎（1）若不等式f（x）≤a的解集是空集，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）若存在x0∈R，使得‎2 f（x0）≤﹣t 2+4 | t | 成立，求实数t的取值范围．‎ ‎2020年03月27日高三数学周练 参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题）‎ ‎1．设集合，则A∩B＝（　　）‎ A．[﹣3，2） B．（2，3] C．[﹣1，2） D．（﹣1，2）‎ ‎【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．‎ ‎【解答】解：∵集合，‎ ‎∴A＝{x|﹣1≤x≤3}，B＝{x|x＜2}，‎ ‎∴A∩B＝{x|﹣1≤x＜2}＝[﹣1，2）．‎ 故选：C．‎ ‎2．命题“若x2≤1，则﹣1≤x≤‎1”‎的逆否命题是（　　）‎ A．若x2≥1，则x≥1，或x≤﹣1 B．若﹣1＜x＜1，则x2＜1 ‎ C．若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1 D．若x＞1或x＜﹣1，则x2＞1‎ ‎【分析】根据命题“若p，则q”的逆否命题是“￢q，则￢p”，写出它的逆否命题即可．‎ ‎【解答】解：命题“若x2≤1，则﹣1≤x≤‎1”‎的逆否命题是 ‎“若x＜﹣1或x＞1，则x2＞‎1”‎．‎ 故选：D．‎ ‎3．若（4﹣mi）（m+i）≥0，其中i为虚数单位，则实数m的值为（　　）‎ A．﹣2 B．﹣‎4 ‎C．4 D．2‎ ‎【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部大于0且虚部等于0列式求解．‎ ‎【解答】解：∵（4﹣mi）（m+i）＝‎5m+（4﹣m2）i≥0，‎ ‎∴，即m＝2．‎ 故选：D．‎ ‎4．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于直线x＝对称，且．当ω取最小值时，φ＝（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】求ω的最小值，由周期和ω的关系，需要求周期的最大值，对称轴与对称中心最近为周期，可求最大周期，从而求得最小的ω值，由，结合范围0＜φ＜π从而可解得φ的值．‎ ‎【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于直线x＝对称，且f（）＝0，‎ 则ω取最小时，•＝﹣，‎ 可得ω＝2，可得f（x）＝sin（2x+φ），‎ 再根据．‎ 可得2•+φ＝kπ，k∈Z，求得φ＝kπ﹣，k∈Z，‎ 因为0＜φ＜π，‎ 所以φ＝，‎ 故选：D．‎ ‎5．已知向量满足在方向上的投影为2，则的最小值为（　　）‎ A．2 B． C．10 D．12‎ ‎【分析】由题意求出投影||cosθ＝＝2，得出•和||的值，‎ 再求和的最小值．‎ ‎【解答】解：在方向上的投影为||cosθ＝＝2，‎ 所以•＝2||＝8，‎ 又||＝≥2，‎ 所以cosθ＝1时||＝2为最小值；‎ 所以＝+6•+9＝16+6×8+9≥16+48+9×4＝100，‎ 所以的最小值为10．‎ 故选：C．‎ ‎6．已知函数，若不等式f（x）＜2仅有两个整数解，则实数a的取值范围是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】先对函数求导，然后导数与单调性的关系，结合函数零点 存在条件即可求解．‎ ‎【解答】解：由，则由．可得，，‎ 当a＞0时，，f'（x）＜0，f（x）单调递减，时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，且f（1）＝0，‎ 则f（x）＜2有两个整数解为1，2，所以，且，解得，‎ 当a＜0时，，f'（x）＜0，f（x）单调递减，且f（1）＝0，则f（x）＜2整数解有无数个，不满足题意．‎ 故选：C．‎ ‎7．已知底面是等腰直角三角形的三棱锥P﹣ABC的三视图如图所示，俯视图中的两个小三角形全等，则（　　）‎ A．PA，PB，PC两两垂直 ‎ B．三棱锥P﹣ABC的体积为 ‎ C． ‎ D．三棱锥P﹣ABC的侧面积为 ‎【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步对选项进行分析从而确定结果．‎ ‎【解答】解：根据三视图，可得三棱锥P﹣ABC的直观图如图所示，‎ 其中D为AB的中点，PD⊥底面ABC．‎ 所以三棱锥P﹣ABC的体积为，，‎ PA，PB，PC不可能两两垂直，三棱锥P﹣ABC的侧面积为．‎ 故选：C．‎ ‎8．（2x﹣1）5＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a5（x﹣1）5则a3＝（　　）‎ A．40 B．‎40 ‎C．80 D．﹣80‎ ‎【分析】由题意，利用二项展开式的通项公式，求得a3的值．‎ ‎【解答】解：∵（2x﹣1）5＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a5（x﹣1）5，令x﹣1＝t，则x＝t+1，‎ ‎∴（2t+1）5＝a0+a1t+a2t2+…+a5t5．‎ ‎（2t+1）5展开式的通项为：Tr+1＝C5r（2t）5﹣r1r，‎ 令5﹣r＝3，求得r＝2，所以，T3＝C52（2t）3＝80x3，即 a3＝80，‎ 故选：C．‎ ‎9．已知定义域为R的函数的满足f（x）＝‎4f（x+2），当x∈[0，2）时，，设f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为，且{an}的前n项和为Sn，若Sn＜k对任意的正整数n均成立，则实数k的取值范围为（　　）‎ A．（，+∞） B．[，+∞） C．[2，+∞） D．[，+∞）‎ ‎【分析】运用二次函数的最值和指数函数的单调性求得x∈[0，2）的f（x）的最大值，由递推式可得{an}为首项为，公比为的等比数列，由等比数列的求和公式和不等式恒成立思想可得k的范围．‎ ‎【解答】解：当x∈[0，2）时，，‎ 可得0≤x＜1时，f（x）的最大值为f（）＝；1＜x≤2时，f（x）的最大值为f（）＝1，‎ 即有0≤x＜2时，f（x）的最大值为；‎ 当2≤x＜4时，f（x）＝f（x﹣2）的最大值为；‎ 当4≤x＜8时，f（x）＝f（x﹣2）的最大值为；‎ ‎…‎ 可得{an}为首项为，公比为的等比数列，‎ 可得Sn＝＝（1﹣）＜，‎ 由Sn＜k对任意的正整数n均成立，可得k≥．‎ 故选：B．‎ ‎10．已知双曲线的右焦点为F（c，0），点A、B分别在直线和双曲线C的右支上，若四边形OABF（其中O为坐标原点）为菱形且其面积为，则a＝（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【分析】由题意可得菱形的边长为c，运用双曲线的定义和离心率公式，以及菱形的面积公式，解方程可得所求值．‎ ‎【解答】解：直线，即为双曲线的左准线方程，右准线方程为x＝，‎ 又四边形OABF（其中O为坐标原点）为菱形，且边长为c，‎ AB垂直于左准线于A，|AB|＝c，B到右准线的距离为c﹣，‎ 由双曲线的定义可得e＝＝，即有a＝c﹣，‎ 可得c2﹣ac﹣‎2a2＝0，化为c＝‎2a，①‎ 菱形OABF的面积为c＝3，②‎ 由①②可得a＝，c＝2，‎ 故选：A．‎ ‎11．已知函数f（x）对∀x∈R均有，若f（x）≥lnx恒成立，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．[1，e] B． C． D．‎ ‎【分析】根据题意，将﹣x代入x，得，与已知条件联立可得f（x）＝﹣mx﹣，设g（x）＝lnx，利用当函数f（x）＝﹣mx﹣的图象和g（x）＝lnx的图象相切时，只需﹣m≥，解之即可．‎ ‎【解答】解：根据题意，将﹣x代入x，得．‎ 由得f（x）＝﹣mx﹣，‎ 函数f（x）＝﹣mx﹣的图象恒过点（0，﹣）．‎ 设g（x）＝lnx，当函数f（x）＝﹣mx﹣的图象和g（x）＝lnx的图象相切时，设切点坐标为（x0，y0），‎ 由g′（x）＝，得切线斜率k＝g′（x0）＝＝，‎ 解得x0＝．此时k＝＝，则要使f（x）≥lnx，只需﹣m≥，解得m≤﹣，‎ 所以实数m的取值范围是，‎ 故选：B．‎ ‎12．若存在一个实数t，使得F（t）＝t成立，则称t为函数F（x）的一个不动点．设函数g（x）＝ex+（1﹣）x﹣a（a∈R，e为自然对数的底数），定义在R上的连续函数f（x）满足f（﹣x）+ f（x）＝x2，且当x≤0时，f '（x）＜x．若存在x0 ∈ {x | f（x）+≥f（1﹣x）+x }，且x0为函数g（x）的一个不动点，则实数a的取值范围为（　　）‎ A．（） B．[） C．（] D．（）‎ ‎【分析】构造函数F（x）＝f（x）﹣x2，结合条件证明F（x）是奇函数，求函数的导数，研究函数的单调性，结合函数奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可．‎ ‎【解答】解：∵f（﹣x）+f（x）＝x2‎ ‎∴令F（x）＝f（x）﹣x2，‎ ‎∴f（x）﹣x2＝﹣f（﹣x）+x2，‎ ‎∴F（x）＝﹣F（﹣x），即F（x）为奇函数，‎ ‎∵F′（x）＝f ′（x）﹣x，‎ 且当x≤0时，f ′（x）＜x，‎ ‎∴F′（x）＜0对x＜0恒成立，‎ ‎∵F（x）为奇函数，‎ ‎∴F（x）在R上单调递减，‎ ‎∵f（x）+≥f（1﹣x）+x，‎ ‎∴f（x）+﹣x2≥f（1﹣x）+x﹣x2，‎ 即F（x）≥F（1﹣x），‎ ‎∴x≤1﹣x，即x0≤，‎ ‎∵x0为函数g（x）的一个不动点 ‎∴g（x0）＝x0，‎ 即h（x）＝ex﹣x﹣a在（﹣∞，]有解．‎ ‎∵h′（x）＝ex﹣≤0‎ ‎∴h（x）在R上单调递减．‎ ‎∴h（x）min＝h（）＝﹣﹣a≤0可，‎ ‎∴a≥．‎ 故选：B．‎ 二．填空题（共4小题）‎ ‎13．已知随机变量X∽N（1，σ2），P（﹣1＜X＜1）＝0.4，则P（X≥3）＝　0.1　．‎ ‎【分析】由已知求得正态分布曲线的对称轴，得到P（1＜X＜3）＝0.4，则P（X≥3）可求．‎ ‎【解答】解：∵随机变量X∽N（1，σ2），∴对称轴为x＝1，‎ 又P（﹣1＜X＜1）＝0.4，∴P（1＜X＜3）＝0.4，‎ 则P（X≥3）＝．‎ 故答案为：0.1．‎ ‎14．袋中装有4个黑球，3个白球，不放回地摸取两球，在第一次摸到了黑球的条件下，第二次摸到白球的概率是　　．‎ ‎【分析】设第一次摸到黑球为事件A，则P（A）＝，第二次摸到白球为事件B，则P（AB）＝×＝；再代入条件概率计算公式即可求解 ‎【解答】解：设第一次摸到黑球为事件A，则P（A）＝，‎ 第二次摸到白球为事件B，则P（AB）＝×＝，‎ 设第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到球的概率为P（B|A）＝＝＝．‎ 故答案为：‎ ‎15．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n且支出在[20，60）元的样本，其频率分布直方图如图所示，根据此图估计学生在课外读物方面的支出费用的中位数为　　元．‎ ‎【分析】根据中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于Y轴的直线横坐标进行解题即可．‎ ‎【解答】解：第一个矩形的面积是0.10，第二个矩形的面积是0.24，第三个矩形的面积是0.36，第四个矩形的面积是1﹣0.70＝0.30．‎ 前面二个矩形的面积和是0.34，故将第三个矩形分成4：5即可，‎ ‎∴中位数是40+＝．‎ 故答案为：．‎ ‎16．已知一个正四面体纸盒的俯视图如图所示，其中四边形ABCD是边长为的正方形，若在该正四面体纸盒内放一个正方体，使正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值是　　．‎ ‎【分析】先求出此正四面体的应该内切球，再求出此球的一个内接正方体即可．‎ ‎【解答】解：由一个正四面体纸盒的俯视图如图所示，其中四边形ABCD是边长为的正方形，则正四面体的棱长＝3＝6．‎ 先求出此正四面体的应该内切球，再求出此球的一个内接正方体即可．‎ 设此正四面体的应该内切球的半径为r，则4×r•S底面＝h•S底面．‎ ‎∴r＝．‎ 作AO⊥底面BCD，垂足为O点，O为底面正三角形的中心．‎ AO＝＝＝2．‎ ‎∴r＝‎ 设此球的一个内接正方体的棱长为a．‎ 则a＝2r＝，‎ 解得a＝．‎ 故答案为：．‎ 三．解答题（共7小题）‎ ‎17．在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量＝，，，‎ ‎（1）求角B的值；‎ ‎（2）若||＝2，且a，b，c成等差数列，求b．‎ ‎【分析】（1）利用向量的数量积以及辅助角公式对，求出cosB＝，再结合角的范围即可求出角B的大小；‎ ‎（2）通过余弦定理，等差数列的性质可求a＝c，利用三角形的内角和定理可求A＝B＝C，再代入已知条件即可得解 ‎【解答】解：（1）因为向量＝（2sinx，cos2x），＝（cosx，1），‎ ‎∴函数f（x）＝•＝2 sinx cosx+cos2x＝sin2x+cos2x＝2sin（2x+）；‎ ‎∵f（B）＝1＝2sin（2B+）⇒sin（2B+）＝； … 4分 ‎ ‎∵0＜B＜π ‎∴B＝； … 5分 ‎（2）||＝2⇒c2+a2+2accosB＝12⇒c2+a2+ac＝12；① … 7分 ‎ 由（1）知，B＝60°，‎ ‎∴由余弦定理可得：b2＝a2+c2﹣ac，②‎ ‎∵a，b，c成等差数列，即2b＝a+c，‎ ‎∴可得：4b2＝a2+c2+‎2ac，③‎ ‎∴4（a2+c2﹣ac）＝a2+c2+‎2ac，整理可得：（a﹣c）2＝0，可得：a＝c，④ …10分 ‎ ‎∴A＝C＝B＝60°；‎ 故△ABC为等边三角形；‎ ‎∴a＝b＝c代入①得b＝2． … 12分 ‎ ‎18．折纸与数学有着千丝万缕的联系，吸引了人们的广泛兴趣．因A4纸的长宽比称为白银分割比例，故A4纸有一个白银矩形的美称．现有一张如图1所示的A4纸EFCH，．A，B，C，D分别为EF，FG，GH，HE的中点，将其按折痕AB，BC，CD，DA，AC折起（如图2），使得E，F，G，H四点重合，重合后的点记为S，折得到一个如图3所示的三棱锥D﹣ABC．记O为AC的中点，在△SOB中，SP为BO边上的高．‎ ‎（1）求证：SP∥平面ACD；‎ ‎（2）若M，N分别是棱AB，BC上的动点，且AM＝BN．当三棱锥B﹣DMN的体积最大时，求平面DAB与平面DMN所成锐二面角的余弦值．‎ ‎【分析】（1）连接DO．设EH＝‎4a，则，翻折后的BD＝DE+FB＝‎4a．推导出SO＝‎2a．P为BO的中点，从而SP∥DO．由此能证明SP∥平面ACD．‎ ‎（2）VB﹣DMN＝VD﹣BMN且三棱锥D﹣BMN的高为定值，从而S△BMN最大时，三棱锥B﹣DMN的体积取得最大值．设，推导出当时，S△BMN最大，即三棱锥B﹣DMN的体积最大．此时M，N分别是AB，BC上的中点，以O为坐标原点，分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz，利用向量法能求出平面DAB与平面DMN所成锐二面角的余弦值．‎ ‎【解答】（1）证明：连接DO．设EH＝‎4a，则，翻折后的BD＝DE+FB＝‎4a．‎ 在△SAC中，，AC＝‎4a，O为AC的中点，‎ ‎∴SO＝‎2a．‎ 又∵在△SOB中，BS＝‎2a，SP⊥BO，∴P为BO的中点，‎ ‎∴SP∥DO．‎ ‎∵SP⊄平面ACD，DO⊂平面ACD，∴SP∥平面ACD． … 5分 ‎ ‎（2）解：∵VB﹣DMN＝VD﹣BMN且三棱锥D﹣BMN的高为定值，‎ ‎∴S△BMN最大时，三棱锥B﹣DMN的体积取得最大值．‎ 设，‎ ‎∴‎ 又∵sin∠MBN为定值，．‎ ‎∴当时，S△BMN最大，即三棱锥B﹣DMN的体积最大． …8分 ‎ 此时M，N分别是AB，BC上的中点，‎ 由（1）可得SP∥DO，SP⊥BO，∴DO⊥BO．‎ ‎∵DA＝DC，BA＝BC，∴DO⊥AC，BO⊥AC．‎ 以O为坐标原点，分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz，‎ 则，‎ ‎，．‎ 设平面DMN的一个法向量为＝（x1，y1，z1）．‎ ‎∴，∴取z1＝1，则y1＝2，x1＝0，∴平面DMN的一个法向量为＝（0，2，1）．‎ 设平面DAB的一个法向量为＝（x2，y2，z2）．‎ ‎∴，∴取，则y2＝z2＝1，∴平面DAB的一个法向量为＝（，1，1）．‎ 则cos＜，＞＝＝．‎ 所以平面DAB与平面DMN所成锐二面角的余弦值为． … 12分 ‎ ‎19．如图，过抛物线y2＝2px（p＞0）上一点P（1，2），作两条直线分别交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时：‎ ‎（1）求y1+y2的值；‎ ‎（2）若直线AB在y轴上的截距b∈[﹣1，3]时，求△ABP面积S△ABP的最大值．‎ ‎【分析】（1）由P在抛物线上，将P的坐标代入抛物线方程可得p ‎，进而点到抛物线方程，再由A，B的坐标满足抛物线方程，结合两直线的倾斜角互补，可得它们的斜率之和为0，化简计算可得所求值；‎ ‎（2）由点差法结合直线的斜率公式可得直线AB的斜率，设直线AB的方程为y＝﹣x+b（b∈[﹣1，3]），联立抛物线方程，消去y，可得x的二次方程，运用韦达定理和弦长公式、点到直线的距离公式，以及三角形的面积公式，结合三元均值不等式，计算可得所求最大值．‎ ‎【解答】解：（1）点P（1，2）为抛物线y2＝2px（p＞0）上一点，可得2p＝4，即p＝2，可得抛物线的方程为y2＝4x，‎ 由题意可得y12＝4x1，y22＝4x2，‎ kPA+kPB＝+＝+＝+＝0，‎ 则y1+y2＝﹣4； … 4分 ‎ ‎（2）由题意可得y12＝4x1，y22＝4x2，相减可得（y1﹣y2）（y1+y2）＝4（x1﹣x2），‎ 则kAB＝＝＝﹣1， …5分 ‎ 可设直线AB的方程为y＝﹣x+b（b∈[﹣1，3]），联立抛物线方程y2＝4x，可得x2﹣（2b+4）x+b2＝0，‎ ‎△＝（2b+4）2﹣4b2＝16（1+b）＞0，且x1+x2＝2b+4，x1x2＝b2，‎ 则|AB|＝•|x1﹣x2|＝•＝•＝4， … 7分 ‎ P（1，2）到直线AB的距离为d＝＝， …9分 ‎ 可得S△ABP＝|AB|•d＝2（3﹣b）＝•≤•＝，‎ 当且仅当2+2b＝3﹣b，即b＝时，上式取得等号，‎ 则S△ABP的最大值为． …12分 ‎ ‎20．已知函数f（x）＝．‎ ‎（1）讨论f（x）的单调性；‎ ‎（2）当a＝2，x＞时，证明：f（x）＜．‎ ‎【分析】（1）f（x） 的定义域（0，+∞），f′（x）＝﹣﹣＝﹣．对a分类讨论即可得出单调性．‎ ‎（2）当a＝2时，要证明f（x）＜成立，即证：＜．‎ 令g（x）＝2﹣x﹣xlnx，利用导数研究其单调性即可得出 g（x）＜2+e﹣2，即2﹣x﹣xlnx＜2+e﹣2．令h（x）＝x﹣1﹣lnx，利用导数研究其单调性即可得出 x≥1+lnx＞0，0＜≤，进而证明结论．‎ ‎【解答】解：（1）f（x） 的定义域（0，+∞），f′（x）＝﹣﹣＝﹣．‎ 当a≥0时，f′（x）＜0，则f（x）在（0，+∞）上单调递减；‎ 当a＜0时，令f′（x）＞0，可得0＜x＜﹣a；‎ 令f′（x）＜0可得x＞﹣a；‎ 则f（x）在（0，﹣a）上单调递增，在（﹣a，+∞）上单调递减． … 4分 ‎ ‎（2）当a＝2时，要证明f（x）＜成立，即证：＜．‎ 令g（x）＝2﹣x﹣xlnx，g′（x）＝﹣2﹣lnx，令g′（x）＞0，0＜x＜e﹣2，g′（x）＜0，x＞e﹣2，‎ 所以，g（x）在（0，e﹣2）单调递增；在（e﹣2，+∞）递减．‎ 又根据题意x＞＞e﹣2，所以g（x）在（，+∞）上为减函数 故 g（x）≤g（）＝2＜2+e﹣2，即2﹣x﹣xlnx＜2+e﹣2．‎ 令h（x）＝x﹣1﹣lnx，h′（x）＝1﹣＝，‎ 当＜x＜1，h′（x）＜0，h（x）单调递减；‎ 当x＞1，h′（x）＞0，h（x）单调递增．‎ 故h（x）≥h（1）＝0，即x≥1+lnx＞0，0＜≤，‎ ‎≤≤．等号不同时成立．‎ 即当a＝2时，f（x）＜． …12分 ‎ ‎ …10分 ‎ ‎ … 9分 ‎ ‎ …12分 ‎ ‎ …3分 ‎22．选修4﹣4：坐标系与参数方程 平面直角坐标系xOy中，点A（2，0）在曲线C1：，（a＞0，φ为参数）上．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为：ρ＝acosθ ‎（Ⅰ）求曲线C2的普通方程 ‎（Ⅱ）已知点M，N的极坐标分别为（ρ1，θ），（），若点M，N都在曲线C1上，求+的值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由点A在曲线C1：，（a＞0，φ为参数）上求出a的值，代入ρ＝acosθ后化为普通方程可得曲线C2的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）求出曲线C1的直角坐标方程，化点M，N的极坐标为直角坐标后代入曲线C1的直角坐标方程，整理后即可得到+的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵点A（2，0）在曲线C1上，∴，‎ ‎∵a＞0，∴a＝2，∴ρ＝2cosθ．‎ 由，得（x﹣1）2+y2＝1．‎ 所以曲线C2的普通方程为（x﹣1）2+y2＝1； … 5分 ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得曲线C1：的普通方程为．‎ 由题意得点M，N的直角坐标分别为（ρ1cosθ，ρ1sinθ），．‎ ‎∵点M，N在曲线C1 上，‎ ‎∴，．‎ ‎∴+＝＝． …10分 ‎ ‎23．已知函数f（x）＝|2x﹣3|﹣|x+1|．‎ ‎（1）若不等式f（x）≤a的解集是空集，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）若存在x0∈R，使得‎2f（x0）≤﹣t2+4|t|成立，求实数t的取值范围．‎ ‎【分析】（1）通过讨论x的范围，求出各个区间上的函数的最小值，求出f（x ‎）的最小值，求出a的范围即可；‎ ‎（2）求出f（x）的最小值，问题转化为﹣t2+4|t|+5≥0，求出t的范围即可．‎ ‎【解答】解：（1）x>时，f（x）＝2x﹣3﹣x﹣1＝x﹣4，‎ 此时，f（x）的最小值是f（）＝﹣，‎ ‎﹣1≤x≤时，f（x）＝3﹣2x﹣x﹣1＝﹣3x+2，‎ 此时，f（x）的最小值是f（）＝﹣，‎ x<﹣1时，f（x）＝3﹣2x+x+1＝﹣x+4，‎ 此时，f（x）的最小值是f（﹣1）＝5，‎ 综上，f（x）的最小值是﹣，‎ 若不等式f（x）≤a的解集是空集，‎ 则a＜﹣； … 5分 ‎ ‎（2）若存在x0∈R，使得‎2f（x0）≤﹣t2+4|t|成立，‎ 只需求出f（x）的最小值，由（1）f（x）的最小值是﹣，‎ 问题转化为﹣t2+4|t|+5≥0，‎ 即t2﹣4|t|﹣5≤0，即（|t|﹣5）（|t|+1）≤0，‎ 解得：﹣5≤t≤5． … 10分 ‎ 日期：2020/3/25 9:54:49；用户：卜艳红；邮箱：zzwgyxx0097@xyh.com；学号：25377654‎