高中数学第三章不等式3-3二元一次不等式组与简单的线性3-3

高中数学第三章不等式3-3二元一次不等式组与简单的线性3-3

线性规划的实际应用 A级　基础巩固 一、选择题 ‎1．有5辆6吨的汽车，4辆4吨的汽车，要运送最多的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为(　　)‎ A．z＝6x＋4y B．z＝5x＋4y C．z＝x＋y D．z＝4x＋5y 解析：设需x辆6吨汽车，y辆4吨汽车．则运输货物的吨数为z＝6x＋4y，即目标函数z＝6x＋4y.‎ 答案：A ‎2．某服装制造商有10 m2的棉布料，10 m2的羊毛料和6 m2的丝绸料，做一条裤子需要1 m2的棉布料，2 m2的羊毛料和1 m2的丝绸料，做一条裙子需要1 m2的棉布料，1 m2的羊毛料和1 m2的丝绸料，做一条裤子的纯收益是20元，一条裙子的纯收益是40元，为了使收益达到最大，若生产裤子x条，裙子y条，利润为z，则生产这两种服装所满足的数学关系式与目标函数分别为(　　)‎ A.z＝20x＋40y B.z＝20x＋40y C.z＝20x＋40y D.z＝40x＋20y 解析：由题意可知选A.‎ 答案：A ‎3．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用水3吨、煤2吨；生产每吨乙产品要用水1吨、煤3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元，若该企业在一个生产周期内消耗水不超过13吨，煤不超过18吨，则该企业可获得的最大利润是________万元．(　　)‎ A．23 B．27 C．28 D．30‎ - 7 -‎ 解析：‎ 设生产甲产品x吨，生产乙产品y吨，由题意知 利润z＝5x＋3y，作出可行域如图中阴影部分所示，求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知当x＝3，y＝4，即生产甲产品3吨，乙产品4吨时可获得最大利润27万元．‎ 答案：B ‎4．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：‎ 品种 每亩年产量/吨 每亩年种植成本/万元 每吨售价/万元 黄瓜 ‎4‎ ‎1.2‎ ‎0.55‎ 韭菜 ‎6‎ ‎0.9‎ ‎0.3‎ 为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为(　　)‎ A．50，0 B．30，20‎ C．20，30 D．0，50‎ 解析：设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x，y亩，则总利润z＝4×0.55x＋6×0.3y－1.2x－0.9y＝x＋0.9y.‎ 此时x，y满足条件 画出可行域如图，得最优解为A(30，20)，故选B.‎ - 7 -‎ 答案：B ‎5．某学校用800元购买A、B两种教学用品，A种用品每件100元，B种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少， A、B两种用品应各买的件数为(　　)‎ A．2，4 B．3，3‎ C．4，2 D．不确定 解析：设买A种用品x件，B种用品y件，剩下的钱为z元，则 求z＝800－100x－160y取得最小值时的整数解(x，y)，用图解法求得整数解为(3，3)．‎ 答案：B 二、填空题 ‎6．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元．对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为________万元．‎ 解析：设对项目甲投资x万元，对项目乙投资y万元，则 目标函数z＝0.4x＋0.6y.作出可行域如图所示，由直线斜率的关系知目标函数在A点取最大值，代入得zmax＝0.4×24＋0.6×36＝31.2.‎ 答案：31.2‎ ‎7．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润为________元．‎ 解析：设派用甲型卡车x(辆)，乙型卡车y(辆)，获得的利润为u(元)，u＝450x＋350y - 7 -‎ ‎，由题意，‎ x，y满足关系式 作出相应的平面区域(略)，u＝450x＋350y＝50(9x＋7y)在由确定的交点(7，5)处取得最大值4 900元．‎ 答案：4 900‎ ‎8．配置A、B两种药剂都需要甲、乙两种原料，用料要求如下表所示(单位：kg)：‎ 药剂 原料 甲 乙 A ‎2‎ ‎5‎ B ‎5‎ ‎4‎ 药剂A、B至少各配一剂，且药剂A、B每剂售价分别为100元、200元，现有原料甲20 kg，原料乙33 kg，那么可以获得的最大销售额为________元．‎ 解析：设配制药剂A为x剂，药剂B为y剂，则有不等式组成立，即求u＝100x＋200y在上述线性约束条件下的最大值．借助于线性规划可得x＝5，y＝2时，u最大，umax＝900.‎ 答案：900‎ 三、解答题 ‎9．某车间小组共12人．需配给两种型号的机器，一台A型机器需要2人操作，每天耗电30千瓦时，能生产出价值4万元的产品：一台B型机器需要3人操作，每天耗电20千瓦时，能生产出价值3万元的产品．现每天供应车间的电量不多于130千瓦时，问：该车间小组应如何配置两种型号的机器，才能使每天的产值最大？最大值是多少？‎ 解：设需分配给车间小组A型，B型两种机器分别为x台，y台，每天产值为z万元，则z＝4x＋3y，‎ 即 作出可行域如图阴影部分所示：‎ - 7 -‎ 由得A(3，2)，‎ 所以zmax＝4×3＋3×2＝18.‎ 因此，当配给车间小组A型机器3台，B型机器2台时，每天能得到最大产值18万元．‎ ‎10．某商场为使销售空调和冰箱获得的总利润达到最大，对即将出售的空调和冰箱相关数据进行调查，得出下表：‎ 资金 每台空调或冰箱所需资金/元 月资金供 应数量/元 空调 冰箱 成本 ‎3 000‎ ‎2 000‎ ‎30 000‎ 工人工资 ‎500‎ ‎1 000‎ ‎11 000‎ 每台利润 ‎600‎ ‎800‎ ‎—‎ 问：该商场怎样确定空调或冰箱的月供应量，才能使总利润最大？最大利润是多少？‎ 解：设空调和冰箱的月供应量分别为x，y台，月总利润为z元，‎ 则 z＝600x＋800y，作出可行域(如图所示)．‎ 因为y＝－x＋，表示纵截距为，斜率为k＝－的直线，当z最大时最大，此时，直线y＝－x＋必过四边形区域的顶点．‎ 由得交点(4，9)，所以x，y分别为4，9时，z＝600x＋800y最大，zmax＝600x＋800y＝9 600(元)．‎ - 7 -‎ 所以空调和冰箱的月供应量分别为 4台、9台时，月总利润最大，最大值为9 600元．‎ B级　能力提升 ‎1．某厂生产甲、乙两种产品每吨所需的煤、电和产值如表所示：‎ 品种 用煤/吨 用电/千瓦 产值/万元 甲产品 ‎7‎ ‎20‎ ‎8‎ 乙产品 ‎3‎ ‎50‎ ‎12‎ 但国家每天分配给该厂的煤、电有限，每天供煤至多56吨，供电至多450千瓦，则该厂最大日产值为(　　)‎ A．120万元 B．124万元 C．130万元 D．135万元 解析：设该厂每天安排生产甲产品x吨，乙产品y吨，则日产值z＝8x＋12y，线性约束条件为作出可行域(如图所示)，‎ 把z＝8x＋12y变形为一簇平行直线系l：y＝－x＋，由图可知，当直线l经过可行域上的点M时，截距最大，即z取最大值，解方程组得M(5，7)，‎ zmax＝8×5＋12×7＝124，所以，该厂每天安排生产甲产品5吨，乙产品7吨时该厂日产值最大，最大日产值为124万元．‎ 答案：B ‎2．在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为________元．‎ 解析：设需使用甲型货车x辆，乙型货车y辆，运输费用z元，根据题意，得线性约束条件 目标函数z＝400x＋300y，画图(图略)可知，当平移直线400x＋300y＝0至经过点(4，2)‎ - 7 -‎ 时，z取得最小值2 200.‎ 答案：2 200‎ ‎3．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5 min，生产一个骑兵需7 min，生产一个伞兵需4 min，已知总生产时间不超过10 h．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．‎ ‎(1)用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润W(元)；‎ ‎(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？‎ 解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x－y，所以利润W＝5x＋6y＋3(100－x－y)＝2x＋3y＋300.‎ ‎(2)约束条件为： 整理得 目标函数为W＝2x＋3y＋300，‎ 如图所示(阴影部分整点)，作出可行域，初始直线l0：2x＋3y＝0，平移初始直线经过点A时，W有最大值，‎ 由得 最优解为A(50，50)，所以Wmax＝550(元)．‎ 故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个玩具时利润最大，为550元．‎ - 7 -‎