安徽省太和第一中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题

安徽省太和第一中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题

太和一中 2019 级高一年级期末数学试题 考试时间：120 分钟 满分：150 分 第 I 卷（选择题 共 60 分) 一、单选题（本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分.每小题只有一个选项符合题意） 1．已知 ，则下列各式中一定成立（ ） A． B． C． D． 2．等差数列 的前 n 项和为 ，且 ，则 （ ） A．8 B．9 C．10 D．11 3.一个等差数列共有 项，其奇数项的和为 512，偶数项的和为 480，则中间项的值为 （ ） A．30 B．31 C．32 D．33 4．已知数列的通项公式为，它的前项和，则项数等于（ ） A． B． C． D． 5．已知 是不相等的正数，且 ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．在公比为 2 的等比数列{an}中，前 n 项和为 Sn，且 S7﹣2S6＝1，则 a1+a5＝（ ） A．5 B．9 C．17 D．33 x y> 1 1 x y < 1 2x y + > 1 1( ) ( )2 2 x y> 2 2 2x y−+ > { }na nS ,35,13 782 ==+ Saa 8a = 12 +n ba, 0-- 22 =++ abbbaa ba+ )3 4,0( )3 4,1( )2 3,0( )2 3,1( 7 若不等式组 表示一个三角形内部的区域，则实数 的取值范围是（ ） A． B C． D． 8．在 中， , 是 的平分线，且 ,则 的取值范围是( ) A． B． C． D． 9．设正实数 满足 ，则 当取得最大值时， 的最大值为（ ） A． B． C． D． 10．设 x,y 满足约束条件 若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为 12,则 的最小值为( ) A． B． C．1 D．2 11．在数列 中， ，一个 5 行 6 列的数表中，第 行第 列的元素为 ，则该数表中所有元素之和为（ ） A． B． C． D． 12.已知函数 在定义域 上单调递增，且对于任意 ， 0 3 3 x y x y x y a − >  + <  + > a 3 ,4  +∞   3 ,2  +∞   3, 4  −∞   3, 2  −∞   ABC∆ 2AB AC= AD A∠ AC tAD= t 3 ,4  +∞   41, 3      30, 4      3 ,14      , ,x y z 2 22 4 0x xy y z− + − = xy z 2 1 1 x y z + − 1 4 9 4 9 2 49 22 ba + 2 1 25 13 { }na 2 1n na = − i j ij i j i jc a a a a= ⋅ + + ( 1,2, ,5, 1,2, ,6)i j= =  132 410− 132 380− 122 14− 122 4− 2 1(0 1)( ) ( 1) ( 1) x xf x f x m x  − ≤ ≤=  − + > [ )0,+∞ 0a ≥ 方程 有且只有一个实数解，则函数 在区间 上的所 有零点的和为（ ） A． B． C． D． 第 II 卷（非选择题 共 90 分) 二、填空题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分） 13．已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 S3＝7a1，则{an}的公比 q 的值为_____． 14．设 的内角 、 、 所对的边分别为 ， ， ， ， ，则 面积的最大值是__________. .15 关于 x 的一元二次方程 在区间 上有实数解则实数 m 的取值范围 为______. 16．若存在实数 ，对任意实数 ，使不等式 恒成立， 则 的取值范围为______. 三、解答题（本大题共 6 题，17 题 10 分，18—22 题每题 12 分，共 70 分） 17．在△ABC 中，角 A，B，C 对应的边分别是 a，b，c，已知 cos2A﹣3cos（B+C）=1． （1）求角 A 的大小； （2）若△ABC 的面积 S=5 ，b=5，求 sinBsinC 的值． ( )f x a= ( ) ( )g x f x x= − *0,2 ( )n n N  ∈  ( 1) 2 n n + 2 1 12 2n n− −+ 2(2 1) 2 n + 2 1n − ABC∆ A B C a b c 3b = ( )2 cos 3 cosa c B C− = ABC∆ 01)1-(2 =++ xmx [ ]2,0 ,a b [0,4]x∈ x m ax b x m− ≤ + ≤ + m 18．已知函数 . (1)若对任意实数 ， 恒成立，求实数 的取值范围； (2)解关于 的不等式 19.已知数列 的前 n 项和为 ，且 . (1) 求出数列 的通项公式； (2) 记 ，求数列 的前 n 项和 . 20.在 中，内角 所对的边分别是 ，已知 . （1）若 ，求角 的大小； （2）若 ，且 的面积为 ，求 的周长. 21.已知数列 的前 项和为 ，且 ． （1）求数列 的通项公式； 2( ) 1( )f x ax ax a R= − − ∈ x ( ) 0f x < a x ( ) 2 3f x x< − { }na nS 2n nS a n= − { }na (2 1)( 1)n nb n a= − + { }nb nT ABC∆ , ,A B C , ,a b c sin 4 sin 5 sinb B a B a A= + 31c a= C 2a = ABC∆ 5 3 ABC∆ { }na n nS 1 12n n nS na a= + − { }na （2）若数列 的前 项和为 ，证明： ． 22．已知函数 的图象上有一点列 ，点 在 轴上的射影是 ，且 ( 且 )， . (1)求证： 是等比数列，并求出数列 的通项公式； (2)对任意的正整数 ，当 时，不等式 恒成立，求实数 的取 值范围. (3)设四边形 的面积是 ，求证： 2 2 na       n nT 3 2nT < ( ) ( ) ( )3log 1 01 xf x xx += >+ ( )( )*,n n nP x y n N∈ nP x ( ),0n nQ x 13 2n nx x −= + 2n ≥ *n N∈ 1 2x = { }1nx + { }nx n [ ]1,1m∈ − 2 13 6 3 nt mt y− + > t 1 1n n n nP Q Q P+ + nS 1 2 1 1 1 32 nS S nS + +…+ < 答案 1 ~ 12 DDCDB CDABA AB 13.2 或﹣3 14 15. 16 17.试题解析：（1）由 cos 2A－3cos(B＋C)＝1， 得 2cos2A＋3cos A－2＝0， 即(2cos A－1)(cos A＋2)＝0， 解得 cos A＝ 或 cos A＝－2(舍去)． 因为 0 0a < 2 0a < 2x a < 1x > 0a = 1x > 0 2a< < 21 a < 21 x a < < 2a = 21 a = 2a > 21 a > 2 1xa < < 0a < {x 2x a < }1x > 0a = {x }1x > 0 2a< < { }21x x a < < 2a = ∅ 2a > { }2 1x xa < < 2n nS a n= − 当 n≥2 时，an＝Sn﹣Sn﹣1， Sn+n＝2an，Sn﹣1+n﹣1＝2an﹣1， 相减可得 an+1＝2an﹣2an﹣1， 可得 an＝2an﹣1+1，即 an+1＝2（an﹣1+1）， 则数列{an+1}为首项为 2，公比为 2 的等比数列， 可得 an+1＝2n，即 an＝2n﹣1； （2） 前 n 项和为 Tn＝ ① 2Tn＝ ② ① ②相减可得﹣Tn＝2+2(22+…+2n)﹣ = 化简可得 20.试题解析：（1）∵ ，∴ ，∴ . ∵ ，∴ .∵ ，∴ . （2）∵ ，∴ ，∴ ，∴ . 当 为锐角时， 由余弦定理得， ，∴ ，此 (2 1)( 1)=(2 1) 2n n nb n a n= − + − ⋅ ( )1 21 2 +3 2 + 2 1 2nn⋅ ⋅ − ⋅ ( )2 3 +11 2 +3 2 + 2 1 2nn⋅ ⋅ − ⋅ ( ) +12 1 2nn − ⋅ ( ) ( ) 1 14 1 2 2+2 2 1 21 2 n nn − + − ⋅ − − ⋅− 1(2 3) 2 6n nT n += − ⋅ + sin 4 sin 5 sinb B a B a A= + 2 25 4 0a ab b+ − = 5b a= 31c a= 2 2 2 2 2 5 1cos 2 10 2 a b c aC ab a + − −= = = − ( )0,C π∈ 2 3C π= 2a = 10b = 1 sin 10sin 5 32 ab C C= = 3sin 2C = C 2 2 2 2 cosc a b ab C= + − = 14 100 2 2 10 842 + − × × × = 2 21c = 时 的周长为 . 当 为钝角时， 由余弦定理得， ，∴ ，此时 的周长为 21【详解】 （1）当 时， ，即 ， 当 时， ①， ②， ① ②，得： ，即 ， ，且 ， 数列 是以每一项均为 的常数列，则 ，即 ； （2）由（1）得 ， ， . 22.(1)解：由 ( 且 )得 ( 且 ) ∵ ，∴ ，∴ ，( 且 ) ∴ 是首项为 3，公比为 3 的等比数列. ABC∆ 12 2 21+ C 2 2 2 2 cosc a b ab C= + − = 14 100 2 2 10 1242  + − × × × − =   2 31c = ABC∆ 12 2 31+ 1n = 1 1 1 1 12S a a= + − 1 2a = 2n ≥ 1 12n n nS na a= + − ( )1 1 1 1 1 12n n nS n a a− − −= − + − − ( ) 1 12 1 2 2n n n n na na n a a a− −= − − + − ( ) 11n nna n a −= + 1 1 n na a n n −∴ =+ 1 12 a = ∴ 1 na n   +  1 11 na n =+ ( )*1na n n N= + ∈ 1na n= + ( ) ( )22 2 2 2 1 1 2 21na n n n nn ∴ = < = −+ ++ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 31 13 2 4 3 5 2 2 1 2 2nT n n n n ∴ < − + − + − + + − = + − − <+ + + 13 2n nx x −= + 2n ≥ *n N∈ ( )11 3 1n nx x −+ = + 2n ≥ *n N∈ 1 1 3x + = 1 0nx + ≠ 1 1 31 n n x x − + =+ 2n ≥ *n N∈ { }1nx + ∴ . ∴ ， . (2)∵ ， ∵ ， ，又 ， ∴ 故数列 单调递减，(此处也可作差 证明数列 单调递减) ∴当 时， 取得最大值为 . 要使对任意的正整数 ，当 时，不等式 恒成立， 则须使 ，即 ，对任意 恒成立， ∴ ，解得 或 ， ∴实数 的取值范围为 . (3) ，而 ， ∴四边形 的面积为 ( ) 1 11 1 3 3n n nx x −+ = + = 3 1n nx = − *n N∈ ( ) ( )3log 3 1 1 3 1 1 3 n n n n n ny f x − + = = =− + 1 1 1 3 1 3 3 n n n n y n n y n n + + + += ⋅ = *n N∈ 3 1 2 1 1 1n n n n= + + − > + > 1 1n n y y + < { }ny 1 0n ny y+ − < { }ny 1n = ny 1 3 n [ ]1,1m∈ − 2 13 6 3 nt mt y− + > ( )2 max 1 13 6 3 3nt mt y− + > = 2 2 0t mt− > [ ]1,1m∈ − 2 2 2 0 2 0 t t t t  − >  + > 2t > 2t < − t ( ) ( ), 2 2,−∞ − ∪ +∞ ( ) ( )1 1 3 1 3 1 2 3n n n n nQ Q + + = − − − = ⋅ 3n n n nP Q = 1 1n n n nP Q Q P+ + ( )1 1 1 1 2n n n n n n nS P Q P Q Q Q+ + += + 1 1 1 4 12 32 3 3 3 n n n n n n + + + = + ⋅ ⋅ =   ( ) ( ) 1 3 12 1 1 1 1 1 112 12 34 1 4 4 1 4 4 1 4 4 4 1nnS n n n n n n n n n n      = = = − < − = −     + + + + +      ， ∴故 . 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 13 1 3 1 32 2 2 3 3 4 1 1nS S nS n n n    + +…+ < − + − + − +…+ − = − <   + +    1 2 1 1 1 32 nS S nS + +…+ <