2013年湖南省高考数学试卷（文科）

2013年湖南省高考数学试卷（文科）

‎2013年湖南省高考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）复数z=i•（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．（5分）“1＜x＜2”是“x＜2”成立的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．（5分）某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n=（　　）‎ A．9 B．10 C．12 D．13‎ ‎4．（5分）已知f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（﹣1）+g（1）=2，f（1）+g（﹣1）=4，则g（1）=（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎5．（5分）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．（5分）函数f（x）=lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+4的图象的交点个数为（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎7．（5分）已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于（　　）‎ A． B．1 C． D．‎ ‎8．（5分）已知，是单位向量，•=0．若向量满足|﹣﹣|=1，则||‎ 的最大值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．（5分）已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎10．（5分）已知集合U={2，3，6，8}，A={2，3}，B={2，6，8}，则（∁UA）∩B=　 　．‎ ‎11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若直线（s为参数）和直线（t为参数）平行，则常数a的值为　 　．‎ ‎12．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为　 　．‎ ‎13．（5分）若变量x，y满足约束条件，则x+y的最大值为　 　．‎ ‎14．（5分）设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点．若在C上存在一点P．使PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，则C的离心率为　 　．‎ ‎15．（5分）对于E={a1，a2，…．a100}的子集X={ai1，ai2，…，aik}，定义X的“特征数列”为x1，x2…，x100，其中xi1=xi2=…xik=1．其余项均为0，例如子集{a2，a3}的“特征数列”为0，1，1，0，0，…，0‎ ‎（1）子集{a1，a3，a5}的“特征数列”的前3项和等于　 　；‎ ‎（2）若E的子集P的“特征数列”P1，P2，…，P100 满足p1=1，pi+pi+1=1，1≤i≤99；E的子集Q的“特征数列”q1，q2，q100满足q1=1，qj+qj+1+qj+2=1，1≤j≤98，则P∩Q的元素个数为　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题；本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎16．（12分）已知函数f（x）=cosx•cos（x﹣）．‎ ‎（1）求f（）的值．‎ ‎（2）求使f（x）＜成立的x的取值集合．‎ ‎17．（12分）如图．在直棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=，AA1=3，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动．‎ ‎（1）证明：AD⊥C1E；‎ ‎（2）当异面直线AC，C1E 所成的角为60°时，求三棱锥C1﹣A1B1E的体积．‎ ‎18．（12分）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收货量Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ Y ‎51‎ ‎48‎ ‎45‎ ‎42‎ 这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．‎ ‎（Ⅰ）完成下表，并求所种作物的平均年收获量；‎ Y ‎51‎ ‎48‎ ‎45‎ ‎42‎ 频数 ‎4‎ ‎（Ⅱ）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48kg的概率．‎ ‎19．（13分）设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1≠0，2an﹣a1=S1•Sn，n∈N*‎ ‎（Ⅰ）求a1，a2，并求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列{nan}的前n项和．‎ ‎20．（13分）已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点F1，F2关于直线x+y﹣2=0的对称点是圆C的一条直径的两个端点．‎ ‎（Ⅰ）求圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点F2的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a，b．当ab最大时，求直线l的方程．‎ ‎21．（13分）已知函数f（x）=．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）证明：当f（x1）=f（x2）（x1≠x2）时，x1+x2＜0．‎ ‎　‎ ‎2013年湖南省高考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）复数z=i•（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【分析】化简复数z，根据复数与复平面内点的对应关系可得答案．‎ ‎【解答】解：z=i•（1+i）=﹣1+i，‎ 故复数z对应的点为（﹣1，1），‎ 在复平面的第二象限，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）“1＜x＜2”是“x＜2”成立的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【分析】设A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜2}，判断集合A，B的包含关系，根据“谁小谁充分，谁大谁必要”的原则，即可得到答案．‎ ‎【解答】解：设A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜2}，‎ ‎∵A⊊B，‎ 故“1＜x＜2”是“x＜2”成立的充分不必要条件．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是必要条件，充分条件与充要条件判断，其中熟练掌握集合法判断充要条件的原则“谁小谁充分，谁大谁必要”，是解答本题的关键．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n=（　　）‎ A．9 B．10 C．12 D．13‎ ‎【分析】甲、乙、丙三个车间生产的产品数量的比依次为6：4：3，求出丙车间生产产品所占的比例，从而求出n的值．‎ ‎【解答】解：∵甲、乙、丙三个车间生产的产品件数分别是120，80，60，‎ ‎∴甲、乙、丙三个车间生产的产品数量的比依次为6：4：3，‎ 丙车间生产产品所占的比例，‎ 因为样本中丙车间生产产品有3件，占总产品的，‎ 所以样本容量n=3÷=13．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查了分层抽样方法，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）已知f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（﹣1）+g（1）=2，f（1）+g（﹣1）=4，则g（1）=（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎【分析】直接利用函数的奇偶性，化简方程，解方程组即可．‎ ‎【解答】解：f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，‎ 方程f（﹣1）+g（1）=2，f（1）+g（﹣1）=4，‎ 化为：﹣f（1）+g（1）=2，f（1）+g（1）=4，‎ 两式相加可得2g（1）=6，‎ 所以g（1）=3．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查函数的奇偶性的应用，函数的值的求法，基本知识的考查．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】利用正弦定理可求得sinA，结合题意可求得角A．‎ ‎【解答】解：∵在△ABC中，2asinB=b，‎ ‎∴由正弦定理==2R得：2sinAsinB=sinB，‎ ‎∴sinA=，又△ABC为锐角三角形，‎ ‎∴A=．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查正弦定理，将“边”化所对“角”的正弦是关键，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）函数f（x）=lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+4的图象的交点个数为（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【分析】在同一个坐标系中，画出函数f（x）=㏑x 与函数g（x）=x2﹣4x+4=（x﹣2）2 的图象，数形结合可得结论．‎ ‎【解答】解：在同一个坐标系中，画出函数f（x）=㏑x 与函数g（x）=x2﹣4x+4=（x﹣2）2 的图象，如图所示：‎ 故函数f（x）=㏑x的图象与函数g（x）=x2﹣4x+4的图象 的交点个数为2，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于（　　）‎ A． B．1 C． D．‎ ‎【分析】通过三视图判断正视图的形状，结合数据关系直接求出正视图的面积即可．‎ ‎【解答】解：因为正方体的棱长为1，俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，‎ 说明侧视图是底面对角线为边，正方体的高为一条边的矩形，几何体放置如图：‎ 那么正视图的图形与侧视图的图形相同，所以正视图的面积为：．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查几何体的三视图形状，侧视图的面积的求法，判断几何体的三视图是解题的关键，考查空间想象能力．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）已知，是单位向量，•=0．若向量满足|﹣﹣|=1，则||的最大值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】通过建立直角坐标系，利用向量的坐标运算和圆的方程及数形结合即可得出．‎ ‎【解答】解：∵||=||=1，且，‎ ‎∴可设，，．‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=1．‎ ‎∴的最大值==．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】熟练掌握向量的坐标运算和圆的方程及数形结合是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】先明确是一个几何概型中的长度类型，然后求得事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的线段长度，再利用两者的比值即为发生的概率，从而求出．‎ ‎【解答】解：记“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”为事件M，试验的全部结果构成的长度即为线段CD，‎ 构成事件M的长度为线段CD其一半，根据对称性，当PD=CD时，AB=PB，如图．‎ 设CD=4x，则AF=DP=x，BF=3x，再设AD=y，‎ 则PB==，‎ 于是=4x，解得，从而．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查几何概型，基本方法是：分别求得构成事件A的区域长度和试验的全部结果所构成的区域长度，两者求比值，即为概率．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎10．（5分）已知集合U={2，3，6，8}，A={2，3}，B={2，6，8}，则（∁UA）∩B=　{6，8}　．‎ ‎【分析】先求出集合A的补集，再利用交集的定义求（CUA）∩B ‎【解答】解：由题意∵U={2，3，6，8}，集合A={2，3}，‎ ‎∴CUA={6，8}，‎ 又B={2，6，8}，‎ 故（CUA）∩B={6，8}‎ 故答案为：{6，8}．‎ ‎【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，正确解答本题关键是掌握并理解补集与交集的定义，并能根据所给的规则进行正确运算．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若直线（s为参数）和直线（t为参数）平行，则常数a的值为　4　．‎ ‎【分析】先将直线的参数方程化为普通方程，再利用两条直线平行，直接求出a的值即可．‎ ‎【解答】解：直线l1的参数方程为（s为参数），消去s得普通方程为x﹣2y﹣1=0，‎ 直线l2的参数方程为（t为参数），消去t得普通方程为2x﹣ay﹣a=0，‎ ‎∵l1∥l2，x﹣2y﹣1=0的斜率为k1=，‎ ‎∴2x﹣ay﹣a=0的斜率k2==，‎ 解得：a=4．‎ 故答案为：4．‎ ‎【点评】本题是基础题，考查直线的平行条件的应用，注意直线的斜率是否存在是解题关键，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为　32　．‎ ‎【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的a的值，当a=32时，满足条件a＞31，退出循环，输出a的值为32．‎ ‎【解答】解：模拟执行程序，可得 a=1，b=2‎ 不满足条件a＞31，a=2‎ 不满足条件a＞31，a=4‎ 不满足条件a＞31，a=8‎ 不满足条件a＞31，a=16‎ 不满足条件a＞31，a=32‎ 满足条件a＞31，退出循环，输出a的值为32．‎ 故答案为：32．‎ ‎【点评】本题主要考查了程序框图和算法，正确写出每次循环得到的a的值是解题的关键，属于基本知识的考查．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）若变量x，y满足约束条件，则x+y的最大值为　6　．‎ ‎【分析】先画出线性约束条件表示的可行域，再将目标函数赋予几何意义，最后利用数形结合即可得目标函数的最值．‎ ‎【解答】解：画出可行域如图阴影部分，‎ 由得A（4，2）‎ 目标函数z=x+y可看做斜率为﹣1的动直线，其纵截距越大z越大，‎ 由图数形结合可得当动直线过点A时，z最大=4+2=6‎ 故答案为：6．‎ ‎【点评】‎ 本题主要考查了线性规划，以及二元一次不等式组表示平面区域的知识，数形结合的思想方法，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点．若在C上存在一点P．使PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，则C的离心率为　　．‎ ‎【分析】根据题意可知∠F1PF2=90°，∠PF2F1=60°，|F1F2|=2c，求得|PF1|和|PF2|，进而利用双曲线定义建立等式，求得a和c的关系，则离心率可得．‎ ‎【解答】解：依题意可知∠F1PF2=90°|F1F2|=2c，‎ ‎∴|PF1|=|F1F2|=c，|PF2|=|F1F2|=c，‎ 由双曲线定义可知|PF1|﹣|PF2|=2a=（﹣1）c ‎∴e==．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质特别是双曲线定义的运用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）对于E={a1，a2，…．a100}的子集X={ai1，ai2，…，aik}，定义X的“特征数列”为x1，x2…，x100，其中xi1=xi2=…xik=1．其余项均为0，例如子集{a2，a3}的“特征数列”为0，1，1，0，0，…，0‎ ‎（1）子集{a1，a3，a5}的“特征数列”的前3项和等于　2　；‎ ‎（2）若E的子集P的“特征数列”P1，P2，…，P100 满足p1=1，pi+pi+1=1，1≤i≤99；E的子集Q的“特征数列”q1，q2，q100满足q1=1，qj+qj+1+qj+2=1，1≤j≤98，则P∩Q的元素个数为　17　．‎ ‎【分析】（1）利用“特征数列”的定义即可得出；‎ ‎（2）利用“特征数列”的定义分别求出子集P，Q的“特征数列”，再找出相同“1”的个数即可．‎ ‎【解答】解：（1）子集{a1，a3，a5}的“特征数列”为：1，0，1，0，1，0，…，0．故前三项和等于1+0+1=2；‎ ‎（2）∵E的子集P的“特征数列”P1，P2，…，P100 满足Pi+Pi+1=1，1≤i≤99，‎ ‎∴P的特征数列为1，0，1，0，…，1，0．其中奇数项为1，偶数项为0．‎ 则P={a1，a3，a5，…，a99}有50个元素，‎ 又E的子集Q的“特征数列”q1，q2，…，q100满足q1=1，qj+qj+1+qj+2=1，1≤j≤98，可知：j=1时，q1+q2+q3=1，∵q1=1，∴q2=q3=0；同理q4=1=q7=…=q3n﹣2．‎ ‎∴子集Q的“特征数列”为1，0，0，1，0，0，1，…，1，0，0，1．‎ 则Q={a1，a4，a7，…，a100}‎ 则P∩Q的元素为a1，a7，a13，…，a91，a97．‎ ‎∵97=1+（17﹣1）×6，∴共有17相同的元素．‎ 故答案分别为2，17．‎ ‎【点评】正确理解“特征数列”的定义是解题的关键．‎ ‎　‎ 三、解答题；本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎16．（12分）已知函数f（x）=cosx•cos（x﹣）．‎ ‎（1）求f（）的值．‎ ‎（2）求使f（x）＜成立的x的取值集合．‎ ‎【分析】（1）将x=代入f（x）解析式，利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简即可得到结果；‎ ‎（2）f（x）解析式利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的余弦函数，变形后，利用余弦函数的图象与性质即可得到满足题意x的集合．‎ ‎【解答】解：（1）f（）=coscos（﹣）=coscos=﹣cos2=﹣；‎ ‎（2）f（x）=cosxcos（x﹣）=cosx（cosx+sinx）‎ ‎=cos2x+sinxcosx=（1+cos2x）+sin2x=cos（2x﹣）+，‎ ‎∴f（x）＜，化为cos（2x﹣）+＜，即cos（2x﹣）＜0，‎ ‎∴2kπ+＜2x﹣＜2kπ+（k∈Z），‎ 解得：kπ+＜x＜kπ+（k∈Z），‎ 则使f（x）＜成立的x取值集合为{x|kπ+，kπ+（k∈Z）}．‎ ‎【点评】此题考查了两角和与差的余弦函数公式，以及余弦函数的单调性，熟练掌握公式是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎17．（12分）如图．在直棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=，AA1=3，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动．‎ ‎（1）证明：AD⊥C1E；‎ ‎（2）当异面直线AC，C1E 所成的角为60°时，求三棱锥C1﹣A1B1E的体积．‎ ‎【分析】（1）根据直三棱柱的性质，得AD⊥BB1，等腰△ABC中利用“三线合一”证出AD⊥BC，结合线面垂直判定定理，得AD⊥平面BB1C1C，从而可得AD⊥C1E；‎ ‎（2）根据AC∥A1C1，得到∠EC1A1（或其补角）即为异面直线AC、C1E 所成的角．由A1C1⊥A1B1且A1C1⊥AA1，证出A1C1⊥平面AA1B1B，从而在Rt△A1C1E中得到∠EC1A1=60°，利用余弦的定义算出C1E=2A1C1=2，进而得到△A1B1E面积为，由此结合锥体体积公式即可算出三棱锥C1﹣A1B1E的体积．‎ ‎【解答】解：（1）∵直棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，∴AD⊥BB1‎ ‎∵△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∴AD⊥BC 又∵BC、BB1⊂平面BB1C1C，BC∩BB1=B ‎∴AD⊥平面BB1C1C，结合C1E⊂平面BB1C1C，可得AD⊥C1E；‎ ‎（2）∵直棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC∥A1C1，‎ ‎∴∠EC1A1（或其补角）即为异面直线AC、C1E 所成的角 ‎∵∠BAC=∠B1A1C1=90°，∴A1C1⊥A1B1，‎ 又∵AA1⊥平面A1B1C1，可得A1C1⊥AA1，‎ ‎∴结合A1B1∩AA1=A1，可得A1C1⊥平面AA1B1B，‎ ‎∵A1E⊂平面AA1B1B，∴A1C1⊥A1E 因此，Rt△A1C1E中，∠EC1A1=60°，可得cos∠EC1A1==，得C1E=2A1C1=2‎ 又∵B1C1==2，∴B1E==2‎ 由此可得V=S△×A1C1=×=‎ ‎【点评】本题给出直三棱柱的底面是等腰直角三角形，在已知侧棱长和底面边长的情况下证明线线垂直并求锥体的体积，着重考查了直棱柱的性质、空间线面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收货量Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ Y ‎51‎ ‎48‎ ‎45‎ ‎42‎ 这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．‎ ‎（Ⅰ）完成下表，并求所种作物的平均年收获量；‎ Y ‎51‎ ‎48‎ ‎45‎ ‎42‎ 频数 ‎4‎ ‎（Ⅱ）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48kg的概率．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据题意可知所种作物的总株数为1+2+3+4+5，其中“相近”作物株数为1的有2株，“相近”作物株数为2的有4株，“相近”作物株数为3的有6株，“相近”作物株数为4的有3株，据此列表，且可得出所种作物的平均所收获量．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，P（Y=51）=，P（Y=48）=，从而根据互斥事件的概率加法公式得出在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48kg的概率．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）所种作物的总株数为1+2+3+4+5=15，建立如图所示直角坐标系，‎ 其中“相近”作物株数为1的植株有2株，植株坐标分别为（4，0），（0，4），‎ ‎“相近”作物株数为2的植株有4株，植株坐标分别为（0，0），（1，3），（2，2），（3，1），‎ ‎“相近”作物株数为3的植株有6株，植株坐标分别为（1，0），（2，0），（3，0），（0，1），（0，2），（0，3），‎ ‎“相近”作物株数为4的植株有3株，植株坐标分别为（1，1），（1，2），（2，1）．‎ 列表如下：‎ Y ‎51‎ ‎48‎ ‎45‎ ‎42‎ 频数 ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎3‎ 所种作物的平均所收获量为：（51×2+48×4+45×6+42×3）==46；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，P（Y=51）=，P（Y=48）=，‎ 故在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48kg的概率为 P（Y≥48）=P（Y=51）+P（Y=48）=+=．‎ ‎【点评】本题考查互斥事件的概率加法公式，众数、中位数、平均数和利用图表获取信息的能力．利用图表获取信息时，必须认真观察、分析、研究图表，才能作出正确的判断和解决问题．‎ ‎　‎ ‎19．（13分）设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1≠0，2an﹣a1=S1•Sn，n∈N*‎ ‎（Ⅰ）求a1，a2，并求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列{nan}的前n项和．‎ ‎【分析】（Ⅰ）令n=1和2，代入所给的式子求得a1和a2，当n≥2时再令n=n﹣1得到2an﹣1﹣1=Sn﹣1，两个式子相减得an=2an﹣1，判断出此数列为等比数列，进而求出通项公式；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）求出nan=n•2n﹣1，再由错位相减法求出此数列的前n项和．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）令n=1，得2a1﹣a1=，即，‎ ‎∵a1≠0，∴a1=1，‎ 令n=2，得2a2﹣1=1•（1+a2），解得a2=2，‎ 当n≥2时，由2an﹣1=Sn得，2an﹣1﹣1=Sn﹣1，‎ 两式相减得2an﹣2an﹣1=an，即an=2an﹣1，‎ ‎∴数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，‎ ‎∴an=2n﹣1，即数列{an}的通项公式an=2n﹣1；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，nan=n•2n﹣1，设数列{nan}的前n项和为Tn，‎ 则Tn=1+2×2+3×22+…+n×2n﹣1，①‎ ‎2Tn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n，②‎ ‎①﹣②得，﹣Tn=1+2+22+…+2n﹣1﹣n•2n ‎=2n﹣1﹣n•2n，‎ ‎∴Tn=1+（n﹣1）2n．‎ ‎【点评】本题考查了数列an与Sn之间的转化，以及由错位相减法求出数列的前n项和的应用．‎ ‎　‎ ‎20．（13分）已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点F1，F2关于直线x+y﹣2=0的对称点是圆C的一条直径的两个端点．‎ ‎（Ⅰ）求圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点F2的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a，b．当ab最大时，求直线l的方程．‎ ‎【分析】（I）由题意可知：F1（﹣2，0），F2（2，0），可得⊙C的半径为2，圆心为原点O关于直线x+y﹣2=0的对称点．设圆心的坐标为（m，n）．利用线段的垂直平行的性质可得，解出即可得到圆的方程；‎ ‎（II））由题意，可设直线l的方程为x=my+2，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线l的距离d=，再利用弦长公式即可得到b=．把直线l的方程为x=my+2与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，利用弦长公式即可得到a，进而得到ab，利用基本不等式的性质即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（I）由题意可知：F1（﹣2，0），F2（2，0）．故⊙C的半径为2，圆心为原点O关于直线x+y﹣2=0的对称点．设圆心的坐标为（m，n）．则 ‎，解得．‎ ‎∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=4；‎ ‎（II）由题意，可设直线l的方程为x=my+2，则圆心到直线l的距离d=，‎ ‎∴b=．‎ 由得（5+m2）y2+4my﹣1=0．‎ 设l与E的两个交点分别为（x1，y1），（x2，y2）．‎ 则，．‎ ‎∴a===，‎ ‎∴ab===．‎ 当且仅当，即时等号成立．‎ 故当时，ab最大，此时，直线l的方程为，即．‎ ‎【点评】本题综合考查了圆与椭圆的标准方程及其性质、轴对称的性质、圆的弦长公式b=、直线与椭圆相交的弦长公式a=、基本不等式的性质等基础知识与方法，需要较强的推理能力、计算能力、分析问题和解决问题的能力．．‎ ‎　‎ ‎21．（13分）已知函数f（x）=．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）证明：当f（x1）=f（x2）（x1≠x2）时，x1+x2＜0．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用导数的运算法则求出f′（x），分别解出f′（x）＞0与f′（x）＜0的x取值范围即可得到单调区间；‎ ‎（Ⅱ）当f（x1）=f（x2）（x1≠x2）时，不妨设x1＜x2．由（I）可知：x1∈（﹣∞，0），x2∈（0，1）．利用导数先证明：∀x∈（0，1），f（x）＜f（﹣x）．而x2∈（0，1），可得f（x2）＜f（﹣x2）．即f（x1）＜f（﹣x2）．由于x1，﹣x2∈（﹣∞，0），f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，因此得证．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）易知函数的定义域为R．‎ ‎==，‎ 当x＜0时，f′（x）＞0；当x＞0时，f′（x）＜0．∴函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0），单调递减区间为（0，+∞）．‎ ‎（Ⅱ）当x＜1时，由于，ex＞0，得到f（x）＞0；同理，当x＞1时，f（x）＜0．‎ 当f（x1）=f（x2）（x1≠x2）时，不妨设x1＜x2．‎ 由（Ⅰ）可知：x1∈（﹣∞，0），x2∈（0，1）．‎ 下面证明：∀x∈（0，1），f（x）＜f（﹣x），即证＜．此不等式等价于．‎ 令g（x）=，则g′（x）=﹣xe﹣x（e2x﹣1）．‎ 当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，∴g（x）＜g（0）=0．‎ 即．‎ ‎∴∀x∈（0，1），f（x）＜f（﹣x）．‎ 而x2∈（0，1），∴f（x2）＜f（﹣x2）．‎ 从而，f（x1）＜f（﹣x2）．‎ 由于x1，﹣x2∈（﹣∞，0），f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，‎ ‎∴x1＜﹣x2，即x1+x2＜0．‎ ‎【点评】本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、等价转化问题等基础知识与基本技能，需要较强的推理能力和计算能力．‎ 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