2019-2020学年黑龙江省大庆市东风中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年黑龙江省大庆市东风中学高一上学期期末数学试题（解析版）

‎2019-2020学年黑龙江省大庆市东风中学高一上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A．（-2，5） B．（0，5） C．{0，1，2，3，4} D．{1，2，3，4}‎ ‎【答案】D ‎【解析】先化简两个集合，进而求交集即可．‎ ‎【详解】‎ 由题意可得：，，‎ ‎∴{1，2，3，4}，‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查交集的概念及运算，考查对数型函数的定义域，属于基础题．‎ ‎2．《九章算术》是我国古代数学名著，其中有这样一个问题:“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思说：现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？书中给出计算方法：以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以.在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，根据给出计算方法：扇形的面积等于直径乘以弧长再除以，再由扇形的弧长公式列出方程，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，根据给出计算方法：以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以，‎ 再由扇形的弧长公式，可得扇形的圆心角（弧度），故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了扇形的弧长公式的实际应用问题，其中解答中认真审题，正确理解题意，合理利用扇形的弧长公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎3．方程 有解，则在下列哪个区间（ ）‎ A．(-1,0) B．(0,1) C．(1,2) D．(2,3)‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意，构造函数，判断函数在定义域上为单调减函数，分析可得f（0）＞0，f（1）＜0，用零点存在定理判断即可．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，构造函数，函数在上单调递减，‎ ‎∵，，‎ ‎∴函数的零点在区间(0,1)上，‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查方程与函数之间的联系，考查零点存在定理的运用，关键是掌握函数零点的判定定理．‎ ‎4．设α是第三象限角，化简： =‎ A．1 B．0 C．﹣1 D．2‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意结合同角三角函数基本关系整理计算即可求得最终结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得：，‎ α是第三象限角，则，‎ 据此可得：.‎ 本题选择C选项.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查同角三角函数基本关系，三角函数式的化简等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎5．若 ，那么实数的取值范围是( )‎ A．(0，1) B．(0，) C．( ，1) D．(1，＋∞)‎ ‎【答案】B ‎【解析】讨论，，结合对数函数的图象与性质得到结果.‎ ‎【详解】‎ 当时，，显然不适合题意；‎ 当时，由可得：，‎ 即，‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查对数函数的图象与性质，考查分类讨论思想，属于中档题.‎ ‎6．已知，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】，故选D．‎ ‎7．已知，且函数在上有最小值，则a的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】对分类讨论，求出分段函数两段的值域，结合题意即可作出判断.‎ ‎【详解】‎ 当时，；‎ 当时，，‎ 若时，，且，‎ ‎∴函数在上有最小值，‎ 当时，，‎ 此时，显然函数在上没有有最小值，最小值无限趋近于零；‎ 综上：a的取值范围为 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数的最值问题，考查指数与二次函数的图象与性质，考查分类讨论思想，属于中档题.‎ ‎8．若角α满足α＝(k∈Z)，则α的终边一定在(　　)‎ A．第一象限或第二象限或第三象限 B．第一象限或第二象限或第四象限 C．第一象限或第二象限或x轴非正半轴上 D．第一象限或第二象限或y轴非正半轴上 ‎【答案】D ‎【解析】当时，，终边位于第一象限 当时，，终边位于第二象限 当时，，终边位于轴的非正半轴上 当时，，终边位于第一象限 综上可知，则的终边一定在第一象限或第二象限或轴的非正半轴上 故选 ‎9．若函数为偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，又f(﹣3)＝0，则的解集为（ ）‎ A．(－3,3) B．(－∞，－3)∪(3，＋∞)‎ C．(－3,0)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0,3)．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意，结合函数的奇偶性与单调性分析可得0＜x＜3时，f（x）＞0，当x ‎＞3时，f（x）＜0，当﹣3＜x＜0时，f（x）＞0，当x＜﹣3时，f（x）＜0，而0等价于或，分析可得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：根据题意，函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，且f（3）＝0，‎ 则当0＜x＜3时，f（x）＞0，当x＞3时，f（x）＜0，‎ 又由函数f（x）为偶函数，则有当﹣3＜x＜0时，f（x）＞0，当x＜﹣3时，f（x）＜0，‎ 则0⇒0⇒xf（x）＜0⇒或，‎ 分析可得﹣3＜x＜0或x＞3，‎ 即0的解集（﹣3，0）∪（3，+∞）；‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是利用0分析f（x）与x的关系．‎ ‎10．函数在区间上的最大值为1，则的值可能是（ ）‎ A． B． C．0 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用同角三角函数平方关系，易将函数化为二次型的函数，结合余弦函数的性质，及函数f（x）＝sin2x+2cosx在上的最大值为1，易求出θ的值．‎ ‎【详解】‎ 解：∵函数f（x）＝sin2x+2cosx ‎＝﹣cos2x+2cosx+1‎ ‎＝﹣（cosx﹣1）2+2‎ 又∵函数f（x）＝sin2x+2cosx在上的最大值为1，‎ ‎∴cosθ的最大值为0‎ 又∵x∈‎ ‎∴cosθ∈0‎ 即θ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是三角函数的最值，其中利用同角三角函数平方关系，将函数化为二次型的函数，是解答本题的关键．‎ ‎11．已知函数，且满足，把的图像上各点向左平移个单位长度得到函数，则的一条对称轴为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得函数的最小正周期为，结合最小正周期公式可得，据此可得函数的解析式为，结合正弦函数的性质和所给的选项确定函数的一条对称轴即可.‎ ‎【详解】‎ 由可得，‎ 则函数的最小正周期为，即，‎ 故函数的解析式为，‎ 函数的解析式为，‎ 函数的对称轴满足：，即，‎ 令，，，，‎ 只有方程存在整数解，‎ 故函数的一条对称轴为.‎ 本题选择D选项.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数解析式的求解，三角函数的对称轴的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎12．定义在R上的偶函数满足且在上是减函数，又是锐角三角形的两个内角，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由定义在R上的偶函数f（x）满足得函数的周期为2，然后利用函数的周期和奇偶性进行转化，确定函数f（x）在区间[0，1]上的单调性，即可判断得到答案．‎ ‎【详解】‎ 解：∵定义在R上的偶函数f（x）满足，‎ ‎∴‎ ‎∴函数f（x）为周期函数，周期T＝2，‎ ‎∵f（x）在[﹣3，﹣2]上为减函数，‎ ‎∴f（x）在[﹣1，0]上为减函数，‎ ‎∵f（x）为偶函数，根据偶函数在对称区间上单调性相反，‎ ‎∴f（x）在[0，1]上为单调增函数．‎ ‎∵在锐角三角形中，则π﹣α﹣β，‎ ‎∴α+β，‎ ‎∴αβ＞0，‎ ‎∴sinα＞sin（β）＝cosβ，‎ ‎∵f（x）在[0，1]上为单调增函数．‎ ‎∴f（sinα）＞f（cosβ）．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的奇偶性和周期性的应用，三角函数的图象和性质，综合考查了函数的奇偶性、周期性和单调性的应用，综合性较强，涉及的知识点较多．属于中档题．‎ 二、填空题 ‎13．计算： __________．‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】因为 ，故填 .‎ ‎14．知、是关于的方程的两个实数根，且，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题,计算再根据角度范围确定的值即可.‎ ‎【详解】‎ 由、是关于的方程的两个实数根,故,,故一正一负,所以分别属于第三、四象限.不妨设,此时.‎ 又,所以 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查已知三角函数值求角度的问题.重点是找准所需公式,同时进行必要的角度区间取值范围判断.‎ ‎15．已知函数满足，则f(x ‎)的增区间为____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得一条对称轴方程为：，从而得到令，可得f(x)的增区间.‎ ‎【详解】‎ 由可知：‎ 函数的一条对称轴方程为： ，‎ ‎∴，‎ 即 ‎∴，又，‎ ‎∴即 令，‎ 解得：‎ ‎∴f(x)的增区间为，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦型函数的图象与性质，考查函数的对称性与单调性，考查数形结合思想，属于中档题.‎ ‎16．已知函数的图象与直线的三个交点的横坐标分别为，那么________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】作出函数，由图象平移的知识和三角函数的对称性可得和 的值，相加即可．‎ ‎【详解】‎ 函数的图象，‎ 可看作函数的图象向左平移得到，相应的对称轴也向左平移，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数图象的变化和性质，利用对称性是解决问题的关键，属中档题．‎ 三、解答题 ‎17．若集合A＝{x|}和B＝{ x |2m－1≤x≤m＋1}．‎ ‎（1）当时，求集合.‎ ‎（2）当时，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）{x|－7≤x≤4} （2）m≥－1‎ ‎【解析】（1）先求出集和A＝{x|﹣3≤x≤4}，然后m＝﹣3时可以得出集和B，进行并集的运算便可得出A∪B；‎ ‎（2）可由A∩B＝B得出B⊆A，然后讨论B是否为空集，对于每种情况，判断是否满足题意，并建立关于m的不等式，解出m的范围，求并集便可得出实数m的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 解析：（1）当m＝－3时，‎ B＝{x|－7≤x≤－2}，‎ AB＝{x|－7≤x≤4}．‎ ‎（2）由A∩B＝B知，B⊆A；‎ ‎①当2m﹣1＞m+1，即m＞2时，B＝∅⊆A，合题意；‎ ‎②当B≠ϕ时，由B⊆A，则有，∴﹣1≤m≤2‎ 综上①②，实数m取值范围是{m|m≥﹣1}．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查描述法表示集合，以及交集、并集的概念及运算，子集的概念，空集的概念，考查分类讨论思想．‎ ‎18．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P. ‎ ‎（1）求sin(α＋π)的值；‎ ‎（2）若角β满足sin(α＋β)＝，求cos β的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）或 ‎【解析】（1）由角α的终边过点P可求出sin α，则根据诱导公式可求得结果；（2）由于sin(α＋β)＝，而β＝(α＋β)－α，故cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，根据cos(α＋β)的取值正负，分类讨论求值即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由角α的终边过点P，得sin α＝－，‎ 所以sin(α＋π)＝－sin α＝；‎ ‎（2）由角α的终边过点P，得cos α＝－，‎ 由sin(α＋β)＝，得cos(α＋β)＝，‎ 由β＝(α＋β)－α，‎ 得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，‎ 当cos(α＋β)＝时，cos β＝－，‎ 当cos(α＋β)＝时，cos β＝，‎ 综上，cos β＝－或cos β＝.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，诱导公式以及两角差的余弦公式，注意诱导公式的符号以及根据cos(α＋β)的取值正负分类讨论，属基础题.‎ ‎19．已知函数，‎ ‎（1）当时，求该函数的最值；‎ ‎（2）若对于恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）最小值；最大值0； （2）‎ ‎【解析】（1）由题意可得，令，则函数化为，利用二次函数的性质得到函数的最值；‎ ‎（2）恒成立，即恒成立，令，则恒成立，利用三个二次的关系，得到结果.‎ ‎【详解】‎ 解（1）：‎ 令，则函数化为 因此当时，取得最小值 当时，取得最大值0‎ 即当时，函数取得最小值；当时，函数取得最大值0.‎ ‎（2）恒成立，‎ 即恒成立 令，则恒成立 令 则，即，‎ 解得 ‎∴实数的取值范围.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对数型函数的性质，考查二次函数的性质，考查数形结合思想，换元法，属于中档题.‎ ‎20．设函数，该函数图像的一条对称轴是直线 .‎ ‎（1）求及函数图像的对称中心；‎ ‎（2）求在上的单调递减区间.‎ ‎【答案】（1） ，对称中心为） （2）和 ‎【解析】（1）根据直线x，带入可得：φ，即可确定φ的值，进而令可得对称中心；‎ ‎（2）根据正弦函数的性质即可求解函数f（x）的单调递减区间．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）因为函数图像的一条对称轴是直线.‎ 所以，‎ 因为 所以 所以 由解得 因此函数图像的对称中心为）‎ ‎（2）由解得 因为，因此或 ，所以在上的单调递减区间为和 ‎【点睛】‎ 本题主要考查y＝Asin（ωx+φ）的图象特征，考查函数的对称性与单调性，考查计算能力，属于基础题．‎ ‎21．已知函数一段图像如图所示.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）在中，，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）由图中数据列方程即可求出周期及振幅A，由时，函数取得最大值求得，问题得解．‎ ‎（2）由化简为 ，再利用三角函数的性质求解．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)，‎ 由得 ‎（2）可知 或 ‎（舍去）或 ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ 即 的取值范围为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数的图像及性质，还考查了二倍角公式，考查计算能力及转化能力，属于基础题．‎ ‎22．已知奇函数与偶函数均为定义在上的函数，并满足 ‎（1）求的解析式； ‎ ‎（2）设函数 ‎①判断的单调性，并用定义证明； ‎ ‎②若，求实数的取值范围 ‎【答案】(1) (2) 为上的单增函数；证明见解析；① ②‎ ‎【解析】（1）利用解方程法，把看成两个未知数，构造两个方程，从而求得的表达式；‎ ‎（2）①易得为上的单增函数，再利用定义单调性的三个步骤，即一取、二比、三下的完整步骤进行证明；‎ ‎②利用换元法，令将不等式转化为，再利用单调性得到，最后求得实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为奇函数与偶函数均为定义在上的函数， ‎ 所以，‎ 因为，①‎ 所以，‎ 即② ‎ ‎①-②得：，所以；‎ ‎（2）①为上的单增函数，以下给出证明： ‎ 因为，设，则：‎ 因为，所以，，，‎ 所以为上的单增函数； ‎ ‎②设，则，即 即，即，‎ 因为，所以为奇函数，‎ 由，得，又为上的增函数，‎ 所以等价于，即，‎ 所以，解得，即的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数解析式的解方程求解、定义法证明函数的单调性、利用函数单调性求解较复杂不等式，考查转化与化归思想、数形结合思想的灵活运用，求解过程中要注意换元法的使用，能使复杂问题变得更简单.‎