湖南省衡阳市2020届高三下学期第一次联考数学（文）试题

湖南省衡阳市2020届高三下学期第一次联考数学（文）试题

湖南省衡阳市2020届高三第一次联考（一模）‎ ‎（文科）数学试题 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．在复平面内，复数所对应的点的坐标为，则的实部与虚部的和是（ ）‎ A．2 B．‎0 ‎C． D．‎ ‎3．已知，则、、的大小关系为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．研究机构对20岁至50岁人体脂肪百分比和年龄（岁）的关系进行了研究通过样本数据，求得回归方程现有下列说法：‎ ‎①某人年龄为70岁，有较大的可能性估计他的体内脂肪含量约40.15%；‎ ‎②年龄每增加一岁，人体脂肪百分比就增加0.45%；‎ ‎③20岁至50岁人体脂肪百分比和年龄（岁）成正相关．‎ 上述三种说法中正确的有（ ）‎ A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 ‎5．若，，且，则（ ）‎ A． B．‎2 ‎C．0 D．‎ ‎6．程序框图所示的算法来自于《九章算术》．若输入的值为8，的值为6，则执行该程序框图输出的结果为（ ）‎ A．1 B．‎2 ‎C．3 D．4‎ ‎7．已知一个几何体的正视图和侧视图，其俯视图用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个直角边长为1的等腰直角三角形（如图所示）．则此几何体的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．4‎ ‎8．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为，若点，则的最大值是（ ）‎ A． B．‎2 ‎C． D．‎ ‎9．已知命题：函数f(x)的定义域为，命题：存在实数满足，若为真，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知，分别是双曲线的左右焦点，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点，若，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知是函数的最大值，若存在实数使得对任意实数总有成立，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．如图，矩形中，，为边的中点，将绕直线翻转成（平面），为线段的中点，则在翻折过程中，①与平面垂直的直线必与直线垂直；②线段的长恒为③异面直线与所成角的正切值为④当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的体积是．上面说法正确的所有序号是（ ）‎ A．①②④ B．①③④ C．②③ D．①④‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两个部分．第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答．第（22）题-第（23）题为选考题，考生根据要求作答．‎ 二、填空题：本大题共4小题每小题5分，满分20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．‎ ‎13．在区间上随机地取一个数，则事件“”发生的概率为__________．‎ ‎14．设抛物线的焦点为，过点作直线与抛物线分别交于两点、，若点满足，则__________．‎ ‎15．在中，内角、、所对的边分别为、、，若，则（1）__________，（2）的最大弧度数为___________．‎ ‎16．己知直线上有两点、且满足若，则这样的点共有_____个．‎ 三、解答题：本大题必做题5个，每题12分，选做题两个只选做一个，10分，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤．‎ ‎17．已知的三个内角、、的对边分别为、、，且．‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若三边，，的长成等比数列，的面积为，求的长．‎ ‎18． ‎2020年1月22日，国新办发布消息：新型冠状病毒来源于武汉一家海鲜市场非法销售的野生动．专家通过全基因组比对发现此病毒与2003年的非典冠状病毒以及此后的中东呼吸综合征冠状病毒，分别达到70%和40%的序列相似性．这种新型冠状病毒对人们的健康生命带来了严重威胁因此，某生物疫苗研究所加紧对新型冠状病毒疫苗进行实验，并将某一型号疫苗用在动物小白鼠身上进行科研和临床实验，得到统计数据如下：‎ 未感染病毒 感染病毒 总计 未注射疫苗 ‎20‎ 注射疫苗 ‎30‎ 总计 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ 现从所有试验小白鼠中任取一只，取到“注射疫苗”小白鼠的概率为．‎ ‎（1）求列联表中的数据，，，的值；‎ ‎（2）能否有99.9%把握认为注射此种疫苗对预防新型冠状病毒有效？‎ 附：．‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎19．已知在四棱锥中，，，，，且平面平面 ‎（1）设点为线段的中点，试证明平面；‎ ‎（2）若直线与平面所成的角为60°，求四棱锥的体积．‎ ‎20．已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为、，为椭圆上一点，与轴交于点，，．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线与椭圆相交于、两点，过作与轴垂直的直线，点坐标为，试问直线与直线交点的横坐标是否为定值，请说明理由．‎ ‎21．若方程有实数根，则称为函数的一个不动点．已知函数（为自然对数的底数）．‎ ‎（1）当时是否存在不动点？并证明你的结论；‎ ‎（2）若，求证有唯一不动点．‎ 请考生在（22）．（23）两题中任选一题作答，注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状象心形而得名．在极坐标系中，方程表示的曲线就是一条心形线，如图，以极轴所在直线为轴，极点为坐标原点的直角坐标系中，已知曲线的参数方程为(为参数）．‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）若曲线与相交于、、三点，求线段的长．‎ ‎23．选修4-5；不等式选讲 已知函数的定义域为．‎ ‎（1）求实数的取值范围；‎ ‎（2）设为的最大值，实数满足，试证明．‎ 衡阳市2020届高三第一次联考理科数学试题 衡阳市2020届高三第一次联考数学（文科）参考答案 ‎1．【答案】C ‎【解析】依题意，，，所以，故选C．‎ ‎2．【答案】B ‎【解析】，所以复数的实部是1，虚部是，其和为0，故选B．‎ ‎3．【答案】A ‎【解析】∵，因此，故选A．‎ ‎4．【答案】C ‎【解析】只有③正确，故选C．‎ ‎5．【答案】D ‎【解析】∵，，，因此，故选D．‎ ‎6．【答案】B ‎【解析】程序框图所示的算法是更相减损术求最大公约数，通过计算可得，故选B．‎ ‎7．【答案】A ‎【解析】∵根据斜二侧画法可知，几何体的底面积是一个直角三角形，两直角边分别为2、，由此可计算出该几何体的表面积为，故选A．‎ ‎8．【答案】C ‎【解析】作直线，当直线上移与圆的右上方相切时，取最大值，此时，利用圆心到直线的距离等于1，解得的最大值为．故选C．‎ ‎9．【答案】D ‎【解析】若命题为真，则；若命题为真，则；所以若为真，则，故选D．‎ ‎10．【答案】D ‎【解析】不妨设过点与双曲线的一条渐进线平行的直线方程为，与另一条渐近线的交点为，由是，即有，又因为，故选D．‎ ‎11．【答案】B ‎【解析】因为 ‎∴，周期，又存在实数，对任意实数总有成立，∴，，的最小值为，故选B．‎ ‎12．【答案】A ‎【解析】取的中点，的中点，连接，，，，显然平面，故①正确；，故②正确；即为异面直线与所成角，，故③错误；当三棱锥的体积最大时，易证为三棱锥外接球球心，且，故④正确，综上，①②④正确，选A．‎ 二．填空题 ‎13【答案】‎ ‎【解析】∵在区间上，，则，因此其概率为．‎ ‎14．【答案】6‎ ‎【解析】地物线的焦点，设，，∵直线过焦点，‎ ‎∴，又，则为中点，所以．‎ ‎15．【答案】2，‎ ‎【解析】∵，∴；‎ 又，∵，∴，当且仅当时取等号．‎ ‎16．【答案】2‎ ‎【解析】由已知条件和数量积的定义可知或，又，所以的外接圆的半径，设其圆心为，则点到直线的距离为，所以点应在与直线平行且距离为的两条平行直线、上，且点到原点的距离为2；而原点到的距离为，所以上不存在这样的点；而原点到的距离为，所以上存在两个符合条件的点；每个点都确定唯一一个点，所以这样的点共有2个．‎ 三．解答题 ‎17．【解析】（1）∵‎ ‎∴‎ ‎∵，∴‎ ‎（2）由的面积为得，又，∴‎ 由余弦定理知：∴‎ ‎∴‎ 所以 ‎18．【解析】（1）由已知条件可知：，，，.‎ ‎（2）∵‎ 显然 所以有99.9%把握认为注射此种疫苗对预防新型冠状病毒有效 ‎19．【解析】（1）证明：取的中点，连接和，‎ ‎∵在中，∴．‎ 由于平面平面，且交线为，∴平面．‎ 又∵，分别为，的中点，∴且．‎ 又，，∴且．‎ ‎∴四边形为平行四边形．∴，‎ ‎∴平面．‎ ‎（2）方法一：∵平面，所以直线与平面所成的角为，‎ 由于，∴，‎ 又∴、点到平面的距离相等，∵平面平面，，‎ ‎∴平面∴点到平面的距离等于2‎ ‎∴‎ 方法二：∵平面，所以直线与平面所成的角为，‎ 由于，∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴，∴‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴．‎ 方法三：（也可以用等体积法求点等平面的距离，再求体积）‎ ‎20．【解析】（1）连接，由题意得，所以为的中位线，又因为，所以，且，‎ 又，，得，，‎ 故所求椭圆方程为．‎ ‎（2）设，由得 ‎∴‎ 直线的方程：，‎ 令，则有 ‎∴与交点的横坐标为定值2．‎ ‎21．【解析】（1）当时，不存在不动点．‎ 证明：由可得：，‎ 令，，‎ 则，‎ ‎∵，∴‎ 当时，，在上单调递减，‎ 当时，，在上单调递增，‎ 所以．所以方程无实数根 故不存在不动点．‎ ‎（2）当e时，，，‎ 则，‎ 再令，∴‎ 当时，，在上单调递减，‎ 当时，，在上单调递增，‎ ‎∴‎ 故当时，，在上单调递减，‎ 当时，，在上单调递增，‎ 所以．‎ 所以有唯一实数根，‎ 故有唯一不动点．‎ ‎22．【解析】（1）由，（为参数），消参数化简得善通方程：，‎ 令，即化简得，即 即得曲线的极坐标方程为．‎ ‎（2）由已知，不妨设，，‎ 于是，，‎ 故．‎ ‎23．【解析】（1）由题意知，恒成立，‎ 又，‎ 所以实数的取值范围是．‎ ‎（2）由（1）可知，，所以 从而，‎ 当且仅当，即时等号成立，证毕．‎