高考数学 17-18版 第9章 第49课 课时分层训练49
课时分层训练(四十九)
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
1．双曲线x2－＝1的两条渐近线方程为________．
y＝±2x [由x2－＝0得y＝±2x，即双曲线的两条渐进线方程为y＝±2x.]
2．已知双曲线－y2＝1(a>0)的一条渐近线为x＋y＝0，则a＝__________.
【导学号：62172271】
[双曲线－y2＝1的渐近线为y＝±，已知一条渐近线为x＋y＝0，即y＝－x，因为a>0，所以＝，所以a＝.]
3．双曲线－＝1的离心率为________．
[∵a2＝4，b2＝5，
∴c2＝9，∴e＝＝.]
4．若双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为________. 【导学号：62172272】
[由双曲线的渐近线过点(3，－4)知＝，∴＝.
又b2＝c2－a2，∴＝，
即e2－1＝，∴e2＝，∴e＝.]
5．已知点F1(－3,0)和F2(3,0)，动点P到F1，F2的距离之差为4，则点P的轨迹方程为________．
－＝1(x>0) [由题设知点P的轨迹方程是焦点在x
轴上的双曲线的右支，设其方程为－＝1(x>0，a>0，b>0)，由题设知c＝3，a＝2，b2＝9－4＝5.
所以点P的轨迹方程为－＝1(x>0)．]
6．已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为________．
[由双曲线方程知a2＝3m，b2＝3，
∴c＝＝.
不妨设点F为右焦点，则F(，0)．
又双曲线的一条渐近线为x－y＝0，
∴d＝＝.]
7．(2016·全国卷Ⅰ改编)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是________．
(－1,3) [∵原方程表示双曲线，且两焦点间的距离为4.
∴则
因此－1
0，即－20，b>0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2AB＝3BC，则E的离心率是________．
2 [如图，由题意知AB＝，BC＝2c.
又2AB＝3BC，
∴2×＝3×2c，即2b2＝3ac，
∴2(c2－a2)＝3ac，两边同除以a2，并整理得2e2－3e－2＝0，解得e＝2(负值舍去)．]
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________．
44 [由双曲线C的方程，知a＝3，b＝4，c＝5，
∴点A(5,0)是双曲线C的右焦点，
且PQ＝QA＋PA＝4b＝16，
由双曲线定义，得PF－PA＝6，
QF－QA＝6.
∴PF＋QF＝12＋PA＋QA＝28，
因此△PQF的周长为PF＋QF＋PQ＝28＋16＝44.]
2．已知点F是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________．
(1,2) [由题意易知点F的坐标为(－c,0)，A，B，E(a,0)，∵△ABE是锐角三角形，∴·>0，
即·＝·>0，整理得3e2＋2e>e4，
∴e(e3－3e－3＋1)<0，
∴e(e＋1)2(e－2)<0，
解得e∈(0,2)，又e>1，∴e∈(1,2)．]
3．(2016·北京高考)双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a＝__________.
2 [双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，易得两条渐近线方程互相垂直，由双曲线的对称性知＝1.
又正方形OABC的边长为2，所以c＝2，
所以a2＋b2＝c2＝8，因此a＝2.]
4．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为__________．
x2－＝1 [由双曲线的渐近线y＝±x，即bx±ay＝0与圆(x－2)2＋y2＝3相切，
∴＝，则b2＝3a2.①
又双曲线的一个焦点为F(2,0)，
∴a2＋b2＝4，②
联立①②，解得a2＝1，b2＝3.
故所求双曲线的方程为x2－＝1.]
5．(2017·南通三模)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－y2＝1与抛物线y2＝－12x有相同的焦点，则双曲线的两条渐近线的方程为________．
y＝±x [抛物线y2＝－12x的焦点为(－3,0)，∴a2＋1＝9，∴a＝±2.
∴双曲线的两条渐近线方程为y＝±＝±x.]
6．(2016·天津高考改编)已知双曲线－＝1(b＞0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为________．
－＝1 [由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±x，圆的方程为x2＋y2＝4，联立
解得或
即第一象限的交点为.
由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD为矩形，其相邻两边长为，，故＝2b，得b2＝12.
故双曲线的方程为－＝1.]
