2013辽宁卷（文）数学试题
2013·辽宁卷(文科数学)
1． 已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x||x|<2}，则A∩B＝( )
A．{0} B．{0，1}
C．{0，2} D．{0，1，2}
1．B [解析] 由题意可知，|x|<2，得－2
0的等差数列{an}的四个命题：
p1：数列{an}是递增数列； p2：数列{nan}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{an＋3nd}是递增数列．
其中的真命题为( )
A．p1，p2 B．p3，p4
C．p2，p3 D．p1，p4
4．D [解析] 因为数列{an}为d>0的数列，所以{an}是递增数列，则p1为真命题．而数列{an＋3nd}也是递增数列，所以p4为真命题，故选D.
5． 某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图1－1，数据的分组依次为：[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )
图1－1
A．45 B．50 C．55 D．60
5．B [解析] 由成绩的频率分布直方图可以得到低于60分的频率为0.3，而低于60分的人数为15人，所以该班的总人数为＝50人．
6． 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，且a>b，则∠B＝( )
A. B.
C. D.
6．A [解析] 由正弦定理可以得到sin Asin Bcos C＋sin Csin Bcos A＝sin B，所以可以得到sin Acos C＋sin Ccos A＝，即sin(A＋C)＝sin B＝，则∠B＝，故选A.
7． 已知函数f(x)＝ln(－3x)＋1，则f(lg 2)＋flg ＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
7．D [解析] 由已知条件可知，f(x)＋f(－x)＝ln(－3x)＋1＋ln(＋3x)＋1＝2，而lg 2＋lg＝lg 2－lg 2＝0，故而f(lg 2)＋f＝2.
8． 执行如图1－2所示的程序框图，若输入n＝8，则输出S＝( )
图1－2
A. B.
C. D.
8．A [解析] 由程序框图可以得到
S＝＋＋＋
＝＋＋＋
＝1－＋－＋－＋－＝，故选A.
9． 已知点O(0，0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△OAB为直角三角形，则必有( )
A．b＝a3
B．b＝a3＋
C．(b－a3)b－a3－＝0
D．|b－a3|＋b－a3－＝0
9．C [解析] 由题意知当三角形ABC为直角三角形时，分为两类，∠OAB，∠OBA分别为直角，当∠OAB为直角时b＝a3，当∠OBA为直角时，·＝0，则(a，a3)·(a，a3－b)＝0，所以b－a3－＝0，所以(b－a3)b－a3－＝0，故选C.
10． 已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为( )
A. B．2
C. D．3
10．C [解析] 由题意可将直三棱柱ABC－A1B1C1还原为长方体ABDC－A1B1D1C1，则球的直径即为长方体ABDC－A1B1D1C1的体对角线AD1，所以球的直径AD1＝＝＝13，则球的半径为，故选C.
11． 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，联结AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝，则C的离心率为( )
A. B.
C. D.
11．B [解析] 设椭圆的右焦点为Q，由已知|BF|＝8，利用椭圆的对称性可以得到|AQ|＝8，△FAQ为直角三角形，然后利用椭圆的定义可以得到2a＝14，2c＝10，所以e＝.
12． 已知函数f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8.设 H1(x)＝max{f(x)，g(x)}，H2(x)＝min{f(x)，g(x)}(max{p，q}表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值)，记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A－B＝( )
A．a2－2a－16 B．a2＋2a－16
C．－16 D．16
12．C [解析] 由题意知当f(x)＝g(x)时，即x2－
2(a＋2)x＋a2＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8，整理得x2－2ax＋a2－4＝0，所以x＝a＋2或x＝a－2，
H1(x)＝max{f(x)，g(x)}＝
H2(x)＝min{f(x)，g(x)}＝
由图形可知(图略)，A＝H1(x)min＝－4a－4，B＝H2(x)max＝12－4a，则A－B＝－16，故选C.
13． 某几何体的三视图如图1－3所示，则该几何体的体积是________．
图1－3
13．16π－16 [解析] 由三视图可知该几何体是一个圆柱里面挖去了一个长方体，所以该几何体的体积为V＝4π×4－16＝16π－16.
14． 已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则S6＝________.
14．63 [解析] 由题意可知a1＋a3＝5，a1·a3＝4.又因为{an}为递增的等比数列，所以a1＝1，a3＝4，则公比q＝2，所以S6＝＝63.
15． 已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为C上的点，若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5，0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________．
15．44 [解析] 由题意可知，a＝3，b＝4，|PQ|＝4b＝16，三角形PQF的周长为|PQ|＋|PF|＋|QF|＝|PF|－|PA|＋|QF|－|QA|＋2|PQ|＝4a＋8b＝44.
16． 为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为________．
16．10 [解析] 由已知可设5个班级参加的人数分别为x1，x2，x3，x4，x5，又S2＝4，x＝7，
所以＝4，
所以(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＋(x5－7)2＝20，
即五个完全平方数之和为20，要使其中一个达到最大，之五个数必须是关于0对称分布的，而9＋1＋0＋1＋9＝20，也就是(－3)2＋(－1)2＋02＋12＋32＝20，所以五个班级参加的人数分别为4，6，7，8，10，最大数字为10.
17． 设向量＝(sin x，sin x)，＝(cos x，sin x)，x∈0，.
(1)若＝，求x的值；
(2)设函数f(x)＝，求f(x)的最大值．
17．解：(1)由||2＝(sin x)2＋(sin x)2＝4sin2 x，
||2＝(cos x)2＋(sin x)2＝1.
及|＝|，得4sin2 x＝1.
又x∈0，，从而sin x＝，所以x＝.
(2)f(x)＝＝sin x·cos x＋sin2x＝sin 2x－cos 2x＋＝sin2x－＋，当x＝∈0，时，sin2x－取最大值1.
所以f(x)的最大值为.
图1－4
18．， 如图1－4，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．
(1)求证：BC⊥平面PAC；
(2)设Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC.
18．证明：(1)由AB是圆O的直径，得AC⊥BC.
由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC.
又PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，
所以BC⊥平面PAC.
(2)联结OG并延长交AC于M，联结QM，QO，
由G为△AOC的重心，得M为AC中点，
由Q为PA中点，得QM∥PC.
又O为AB中点，得OM∥BC.
因为QM∩MO＝M，QM⊂平面QMO.
MO⊂平面QMO，
BC∩PC＝C，BC⊂平面PBC，PC⊂平面PBC，
所以平面QMO∥平面PBC.
因为QG⊂平面QMO，
所以QG∥平面PBC.
19． 现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：
(1)所取的2道题都是甲类题的概率；
(2)所取的2道题不是同一类题的概率．
19．解：(1)将4道甲类题依次编号为1，2，3，4；2道乙类题依次编号为5，6，任取2道题，基本事件为：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，6}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{2，6}，{3，4}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，{5，6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．
用A表示“都是甲类题”这一事件，则A包含的基本事件有{1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，共6个，所以
P(A)＝＝.
(2)基本事件同(1)，用B表示“不是同一类题”这一事件，则B包含的基本事件有{1，5}，{1，6}，{2，5}，{2，6}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，共8个．所以P(B)＝.
图1－5
20． 如图1－5，抛物线C1：x2＝4y，C2：x2＝－2py(p>0)．点M(x0，y0)在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B(M为原点O时，A，B重合于O)．当x0＝1－时，切线MA的斜率为－.
(1)求p的值；
(2)当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程(A，B重合于O时，中点为O)．
20．解：(1)因为抛物线C1：x2＝4y上任意一点(x，y)的切线斜率为y′＝，且切线MA的斜率为－，所以A点坐标为－1，，故切线MA的方程为y＝
－(x＋1)＋.因为点M(1－，y0)在切线MA与抛物线C2上，于是
y0＝－(2－)＋＝－，①
y0＝－＝－.②
由①②得p＝2.
(2)设N(x，y)，Ax1，，Bx2，，x1≠x2，由N为线段AB中点知x＝，③ y＝.④
切线MA，MB的方程为y＝(x－x1)＋，⑤
y＝(x－x2)＋.⑥
由⑤⑥得MA，MB的交点M(x0，y0)的坐标为
x0＝，y0＝.因为点M(x0，y0)在C2上，即x＝－4y0，所以x1x2＝－.⑦
由③④⑦得x2＝y，x≠0.
当x1＝x2时，A，B重合于原点O，AB中点N为O，坐标满足x2＝y.因此AB中点N的轨迹方程为x2＝y.
21． (1)证明：当x∈[0，1]时，x≤sin x≤x；
(2)若不等式ax＋x2＋＋2(x＋2)cos x≤4对x∈[0，1]恒成立，求实数a的取值范围．
21．解：(1)记F(x)＝sin x－x，则F′(x)＝cos x－.
当x∈0，时，F′(x)>0，F(x)在0，上是增函数；
当x∈，1时，F′(x)<0，F(x)在，1上是减函数．
又F(0)＝0，F(1)>0，所以当x∈[0，1]时，F(x)≥0，即sin x≥x.
记H(x)＝sin x－x，则当x∈(0，1)时，H′(x)＝cos x－1<0，所以，H(x)在[0，1]上是减函数，则H(x)≤H(0)＝0，即sin x≤x.
综上，x≤sin x≤x，x∈[0，1]．
(2)方法一：
因为当x∈[0，1]时，
ax＋x2＋＋2(x＋2)cos x－4
＝(a＋2)x＋x2＋－4(x＋2)sin2
≤(a＋2)x＋x2＋－4(x＋2)x2
＝(a＋2)x.
所以，当a≤－2时，不等式ax＋x2＋＋2(x＋2)cos x≤4对x∈[0，1]恒成立．
下面证明，当a>－2时，不等式ax＋x2＋＋2(x＋2)cos x≤4对 x∈[0，1]不恒成立．
因为当x∈[0，1]时．
ax＋x2＋＋2(x＋2)cos x－4
＝(a＋2)x＋x2＋－4(x＋2)sin2
≥(a＋2)x＋x2＋－4(x＋2)2
＝(a＋2)x－x2－
≥(a＋2)x－x2
＝－xx－(a＋2)．
所以存在x0∈(0，1)例如x0取和中的较小值满足ax0＋x＋＋2(x0＋2)cos x0－4>0.即当a>－2时，不等式ax＋x2＋＋2(x＋2)cos x－4≤0对x∈[0，1]不恒成立．
综上，实数a的取值范围是(－∞，－2]．
方法二：
记f(x)＝ax＋x2＋＋2(x＋2)cos x－4，则
f′(x)＝a＋2x＋＋2cos x－2(x＋2)sin x.
记G(x)＝f′(x)，则
G′(x)＝2＋3x－4sin x－2(x＋2)cos x.
当x∈(0，1)时，cos x>，因此G′(x)<2＋3x－4·x－(x＋2)＝(2－2 )x<0.
于是f′(x)在[0，1]上是减函数，因此，当x∈(0，1)时f′(x)－2时，不等式ax＋x2＋＋2(x＋2)cos x≤4对x∈[0，1]不恒成立．
由于f′(x)在[0，1]上是减函数，且
f′(0)＝a＋2>0，f′(1)＝a＋＋2cos 1－6sin 1.
当a≥6sin 1－2cos 1－时，f′(1)≥0，所以当x∈(0，1)时，f′(x)>0，因此f(x)在[0，1]上是增函数，故f(1)>f(0)＝0；
当－20，故存在x0∈(0，1)使f′(x0)＝0，则当0f′(x0)＝0，所以f(x)在[0，x0]上是增函数，所以当x∈(0，x0)时，f(x)>f(0)＝0.
所以，当a>－2时，不等式ax＋x2＋＋2(x＋2)cos x≤4对x∈[0，1]不恒成立．
综上，实数a的取值范围是(－∞，－2]．
22． 选修4－1：几何证明选讲
如图1－6，AB为⊙O直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，联结AE，BE，证明：
(1)∠FEB＝∠CEB；
(2)EF2＝AD·BC.
图1－6
22．解：证明：(1)由直线CD与⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB.由AB为⊙O的直径，得AE⊥EB，从而∠EAB＋∠EBF＝.
又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝，
从而∠FEB＝∠EAB.故∠FEB＝∠CEB.
(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边，得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF.
类似可证：Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF.
又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故FE2＝AF·BF.
所以EF2＝AD·BC.
23． 选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcosθ－＝2 .
(1)求C1与C2交点的极坐标；
(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点．已知直线PQ的参数方程为(t∈为参数)，求a，b的值．
23．解：(1)圆C1的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4.
直线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.
解得
所以C1与C2交点的极坐标为4，，2 ，.
注：极坐标系下点的表示不唯一．
(2)由(1)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0，2)，(1，3)，故直线PQ的直角坐标方程为x－y＋2＝0.
由参数方程可得y＝x－＋1.
所以解得a＝－1，b＝2.
24． 选修4－5：不等式选讲
已知函数f(x)＝|x－a|，其中a>1.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；
(2)已知关于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值．
24．解：(1)当a＝2时，f(x)＋|x－4|＝
当x≤2时，由f(x)≥4－|x－4|得－2x＋6≥4，解得x≤1；
当2
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