2018-2019学年吉林省白城市第一中学高二上学期第一次月考数学理科试题（解析版）
吉林省白城市第一中学2018-2019学年高二上学期第一次月考理科数学试题
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 若p∧q是假命题，则( )
A. p是真命题，q是假命题 B. p、q均为假命题
C. p、q至少有一个是假命题 D. p、q至少有一个是真命题
【答案】C
【解析】解：根据复合命题与简单命题真假之间的关系可知，
若p∧q是假命题，则可知p，q至少有一个为假命题．
故选：C．
根据p∧q是假命题，则可知p，q至少有一个为假命题，即可判断．
本题只有考查复合命题与简单命题之间的真假关系的判断，比较基础．
2. 命题“若a>b，则ac2>bc2(a、b∈R)”与它的逆命题、否命题，逆否命题中，真命题的个数为( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
【答案】B
【解析】解：∵c2=0时，结论不成立，∴命题是假命题；
其逆命题是：若ac2>bc2，则a>b，是真命题；
根据逆命题与否命题是互为逆否命题，命题与其逆否命题同真同假，
否命题为真，逆否命题为假．
故选：B．
判断命题的真假，写出其逆命题，判断真假，再根据逆命题与否命题是互为逆否命题，命题与其逆否命题同真同假，可得答案．
本题考查了四种命题及四种命题的真假关系．
3. 设函数f(x)=log2x，则“a>b”是“f(a)>f(b)”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】解：∵函数f(x)=log2x在x>0上单调递增，f(a)>f(b)，
∴a>b，
反之不成立，例如0>a>b，但是f(a)，f(b)无意义．
∴则“a>b”是“f(a)>f(b)”的必要不充分条件．
故选：B．
函数f(x)=log2x在x>0上单调递增，f(a)>f(b)，可得a>b，反之不成立，例如0>a>b，但是f(a)，f(b)
无意义.即可判断出．
本题考查了对数函数的单调性、充分必要条件的判定，属于基础题．
1. 命题p：若a
0，使得lnx0=1-x0，则下列命题中为真命题的是( )
A. p∧q B. p∨(¬q) C. (¬p)∧q D. (¬p)∧(¬q)
【答案】C
【解析】解：当c=0时，ac20,b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为( )
A. x24-y212=1 B. x212-y24=1 C. x23-y2=1 D. x2-y23=1
【答案】D
【解析】解：双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，
可得c=2，ba=3，即b2a2=3，c2-a2a2=3，
解得a=1，b=3，双曲线的焦点坐标在x轴，所得双曲线方程为：x2-y23=1．
故选：D．
利用三角形是正三角形，推出a
，b关系，通过c=2，求解a，b，然后等到双曲线的方程．
本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
1. 点P(x,y)是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的任意一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2≤90∘，则该椭圆的离心率的取值范围是( )
A. 0b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆E于A、B两点.若AB的中点坐标为(1,-1)，则E的方程为( )
A. x245+y236=1 B. x236+y227=1 C. x227+y218=1 D. x218+y29=1
【答案】D
【解析】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
代入椭圆方程得x12a2+y12b2=1x22a2+y22b2=1，
相减得x12-x22a2+y12-y22b2=0，
∴x1+x2a2+y1-y2x1-x2⋅y1+y2b2=0．
∵x1+x2=2，y1+y2=-2，kAB=y1-y2x1-x2=-1-01-3=12．
∴2a2+12×-2b2=0，
化为a2=2b2，又c=3=a2-b2，解得a2=18，b2=9．
∴椭圆E的方程为x218+y29=1．
故选：D．
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，代入椭圆方程得x12a2+y12b2=1x22a2+y22b2=1，利用“点差法”可得x1+x2a2+y1-y2x1-x2⋅y1+y2b2=0.利用中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=-2，利用斜率计算公式可得kAB=y1-y2x1-x2=-1-01-3=12.于是得到2a2+12×-2b2=0，化为a2=2b2，再利用c=3=a2-b2，即可解得a2，b2.进而得到椭圆的方程．
熟练掌握“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键．
1. 方程xy2-x2y=-2所表示的曲线的对称性是( )
A. 关于x轴对称 B. 关于y轴对称
C. 关于直线y=-x对称 D. 关于原点对称
【答案】C
【解析】解：将方程中的x换为-x方程变为-xy2-x2y=-2与原方程不同，故不关于y轴对称
将方程中的y换为-y，方程变为xy2+x2y=-2与原方程不同，故不关于x轴对称
将方程中的x换为-y，y换为-x方程变为-yx2+y2x=-2与原方程相同，故曲线关于直线y=-x对称
将方程中的x换为-x，y换为-y方程变为-xy2+x2y=-2与原方程不同，故曲线不关于原点对称
故选：C．
根据对称的性质，依次将方程中的x用-x代替；将y用-y代替；将x用-y同时将y用-x代替；将x用-x，同时y用-y代替看方程是否与原方程相同．
本题考查点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y)；关于y轴的对称点为(-x,y)；关于原点的对称点为(-x,-y)；
关于y=-x的对称点为(-y,-x)．
2. 椭圆C：x24+y23=1的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[-2,-1]，那么直线PA1斜率的取值范围是( )
A. [12,34] B. [38,34] C. [12,1] D. [34,1]
【答案】B
【解析】解：由椭圆C：x24+y23=1可知其左顶点A1(-2,0)，右顶点A2(2,0)．
设P(x0,y0)(x0≠±2)，则x024+y023=1，得y02x02-4=-34．
∵kPA2=y0x0-2，kPA1=y0x0+2，
∴kPA1⋅kPA2=y02x02-4=-34，
∵-2≤kPA2≤-1，
∴-2≤-34kPA1≤-1，解得38≤kPA1≤34．
故选：B．
由椭圆C：x24+y23=1可知其左顶点A1(-2,0)，右顶点A2(2,0).设P(x0,y0)(x0≠±2)，代入椭圆方程可得y02x02-4=-34.利用斜率计算公式可得kPA1⋅kPA2，再利用已知给出的kPA1的范围即可解出．
熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、斜率的计算公式、不等式的性质等是解题的关键．
1. 椭圆x225+y216=1的左右焦点分别为F1，F2，弦AB过F1，若△ABF2的内切圆周长为π，A，B两点的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，则|y1-y2|值为( )
A. 53 B. 103 C. 203 D. 53
【答案】A
【解析】解：椭圆：x225+y216=1，a=5，b=4，∴c=3，
左、右焦点F1(-3,0)、F2(3,0)，
△ABF2的内切圆周长为π，则内切圆的半径为r=12，
而△ABF2的面积=△AF1F2的面积+△BF1F2的面积=12×|y1|×|F1F2|+12×|y2|×|F1F2|=12×(|y1|+|y2|)×|F1F2|=3|y2-y1|(A、B在x轴的上下两侧)
又△ABF2的面积=12×|r(|AB|+|BF2|+|F2A|)=12×12(2a+2a)=a=5．
所以3|y2-y1|=5，
|y2-y1|=53．
故选：A．
先根据椭圆方程求得a和c，及左右焦点的坐标，进而根据三角形内切圆周长求得内切圆半径，进而根据△ABF2的面积=△AF1F2的面积+△BF1F2的面积求得△ABF2的面积=3|y2-y1|进而根据内切圆半径和三角形周长求得其面积，建立等式求得|y2-y1|的值．
本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的简单性质，三角形内切圆性质，本题的关键是求出△ABF2的面积，属于中档题．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
2. 曲线x225-k+y29-k=1(90，9-k<0，
∴曲线x225-k+y29-k=1(90,1x-lnx≤0”的否定为______．
【答案】∃x0>0，1x0-lnx0>0
【解析】解：由全称命题的否定为特称命题，可得
命题∀x>0,1x-lnx≤0”的否定为为“∃x0>0，1x0-lnx0>0”
故答案为：∃x0>0，1x0-lnx0>0
全称命题的否定为特称命题，注意量词的变化和否定词的变化．
本题考查命题的否定，注意全称命题的否定为特称命题，量词的变化，考查转化能力，属于基础题．
2. 下列命题中，错误命题的序号有______．
(1)“a=-1”是“函数f(x)=x2+|x+a+1|(x∈R)为偶函数”的必要条件；
(2)“直线l垂直平面α内无数条直线”是“直线l垂直平面α”的充分条件；
(3)若xy=0，则|x|+|y|=0；
(4)若p：∃x∈R，x2+2x+2≤0，则￢p：∀x∈R，x2+2x+2>0．
【答案】(2)(3)
【解析】解：(1)若“函数f(x)=x2+|x+a+1|(x∈R)为偶函数”，
则f(-x)=f(x)，
即x2+|x+a+1|=x2+|-x+a+1|，
则|x+a+1|=|x-(a+1)|，
平方得x2+2(a+1)x+(a+1)2=x2-2(a+1)x+(a+1)2，
即2(a+1)x=-2(a+1)x，
则4(a+1)=0，即a=-1，
则“a=-1”是“函数f(x)=x2+|x+a+1|(x∈R)为偶函数”的必要条件；正确；
(2)“直线l垂直平面α内无数条直线”则“直线l垂直平面α”不一定成立，故(2)错误；
(3)当x=0，y=1时，满足xy=0，但|x|+|y|=0不成立，故(3)错误；
(4)若p：∃x∈R，x2+2x+2≤0，则￢p：∀x∈R，x2+2x+2>0正确．
故错误的是(2)(3)，
故答案为：(2)(3)
(1)根据充分条件和必要条件的定义进行判断．
(2)根据线面垂直的定义进行判断．
(3)根据绝对值的性质进行判断．
(4)根据含有量词的命题的否定进行判断．
本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点有充分条件和必要条件的判断，含有量词的命题的否定，综合性较强．
1. 如图，P是椭圆x225+y216=1(xy≠0)上的动点，F1、F2是椭圆的焦点，M是∠F1PF2的平分线上一点，且F2M⋅MP=0.则|OM|的取值范围______．
【答案】[0,3)
【解析】解：∵F2M⋅MP=0，∴F2M⊥MP
延长F2M交PF1于点N，可知△PNF2为等腰三角形，
且M为F2N的中点，可得OM是△NF1F2的中位线
∴|OM|=12|NF1|=12(|PF1|-|PN|)
=12(|PF1|-|PF2|)=12(2a-2|PF2|)=a-|PF2|
∵a-c<|PF2|0)
(Ⅰ)当m=4时，判断p是q的什么条件；
(Ⅱ)若“非p”是“非q”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
【答案】解：(Ⅰ)由：-x2+7x+8≥0，解得-1≤x≤8，则p：A=[-1,8]，
当m=4时，x2-2x-4m2≤0等价于x2-2x-64≤0，解得1-65≤x≤1+65，即q：B=[1-65,1+65]，
又A⊊B，
故p是q的充分不必要条件，
(Ⅱ)因为“非p”是“非q”的充分不必要条件，
所以等价于q是p的充分不必要条件．
设f(x)=x2-2x-4m2≤0(m>0)
则f(8)≥0f(-1)≥0，解得：m≥23，
故实数m的取值范围为：m≥23，
【解析】(Ⅰ)解一元二次不等式可得A=[-1,8]，B=[1-65,1+65]，
因为A⊊B，故p是q的充分不必要条件，
(Ⅱ)将二次不等式问题转化为二次函数问题，结合函数图象即可，设f(x)=x2-2x-4m2≤0(m>0)
因为q是p的充分不必要条件.等价于x2-2x-4m2=0在区间
[-1,8]，列不等式组f(8)≥0f(-1)≥0，即可
本题考查了充分条件，必要条件、充要条件及一元二次不等式的解法，属中档题．
1. 已知中心在坐标原点的椭圆，经过点A(2,3)，且过点F(2,0)为其右焦点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)P是(1)中所求椭圆上的动点，求PF中点Q的轨迹方程．
【答案】解：(1)依题意，可设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，
若点F(2,0)为其右焦点，则其左焦点为，
从而有，
解得a=4c=2，
又a2=b2+c2，所以b2=12，
故椭圆C的方程为x216+y212=1．
(2)设P(x0,y0)，Q(x,y)
∵Q为PF的中点，
∴x=x0+22y=y02⇒y0=2yx0=2x-2
由P是x216+y212=1上的动点
∴(2x-2)216+4y212=1，
即Q点的轨迹方程是(x-1)24+y23=1．
【解析】(1)根据题意，可得椭圆的左焦点坐标，由椭圆的几何性质分析可得c、a的值，计算可得b的值，将a、b的值代入椭圆的方程计算即可得答案；
(2)设P(x0,y0)，PF的中点Q(x,y)，由中点坐标公式可得y0=2yx0=2x-2，又由P的椭圆上，将其坐标代入椭圆方程，整理变形即可得答案．
本题考查椭圆的几何性质，涉及轨迹方程的求法，关键是求出椭圆的标准方程．
2. 已知p：对∀m∈[-1,1]，不等式a2-5a-3≥m2+8恒成立；q：∃x∈R使不等式x2+ax+2<0成立，若p是真命题，q是假命题，求a的取值范围．
【答案】解：p：对∀m∈[-1,1]，不等式a2-5a-3≥m2+8恒成立；则a2-5a-3≥3，解得a≥6或a≤-1．
q：∃x∈R使不等式x2+ax+2<0成立，则△=a2-8>0，解得a>22，或a<-22．
q是假命题时，-22≤a≤22．
若p是真命题，q是假命题，则a≥6或a≤-1-22≤a≤22，解得-22≤a≤-1．
∴a的取值范围是[-22,-1]．
【解析】p：对∀m∈[-1,1]，不等式a2-5a-3≥m2+8恒成立；则a2-5a-3≥3，解得a范围.q：∃x∈R使不等式x2+ax+2<0成立，则△>0，解得a>22，或a<-22.q是假命题时，-22≤a≤22.利用p是真命题，q是假命题，即可得出．
本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的解法、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
1. 在直角坐标系中，O为坐标原点，直线l经过点P(3,2)及双曲线x23-y2=1的右焦点F．
(1)求直线l的方程；
(2)如果一个椭圆经过点P，且以点F为它的一个焦点，求椭圆的标准方程；
(3)若在(1)、(2)情形下，设直线l与椭圆的另一个交点为Q，且PM=λPQ，当|OM|最小时，求λ的值．
【答案】解：(1)由题意双曲线x23-y21=1的右焦点为F(2,0)
∵直线l经过点P(3,2)，F(2,0)
∴根据两点式，得所求直线l的方程为y-02-0=x-23-2
即y=2(x-2)．
∴直线l的方程是y=2(x-2)．
(2)设所求椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)
∵一个焦点为F(2,0)
∴c=2，即a2-b2=4 ①
∵点P(3,2)在椭圆上，
∴9a2+2b2=1 ②
由①②解得a2=12，b2=8
所以所求椭圆的标准方程为x212+y28=1；
(3)由题意，直线方程代入椭圆方程可得x2-3x=0
∴x=3或x=0
∴y=2或y=-22
∴Q(0,-22)
∴PQ=(-3,-32)
∴PM=λPQ=(-3λ,-32λ)，
∴OM=OP+PM=(3-3λ,2-32λ)
∴|OM|=(3-3λ)2+(2-32λ)2=27λ2-30λ+11=27(λ-59)2+83
∴当λ=59时，|OM|最小．
【解析】(1)确定双曲线的右焦点坐标，利用两点式，可求方程；
(2)设出椭圆的标准方程，利用焦点坐标及点P在椭圆上，求出几何量，即可得到椭圆的标准方程；
(3)直线方程，代入椭圆方程，求出Q的坐标，进而可PQ,OM
的坐标，求模长，利用配方法求最值，即可得到结论．
本题考查直线与椭圆的方程，考查向量知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
1. 已知圆锥双曲线E：x2-y2=1．
(Ⅰ)设曲线表示曲线E的y轴左边部分，若直线y=kx-1与曲线相交于A，B两点，求k的取值范围；
(Ⅱ)在条件(Ⅰ)下，如果AB=63，且曲线上存在点C，使OA+OB=mOC，求m的值．
【答案】解：(Ⅰ)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立方程组；x2-y2=1(x<0)y=kx-1，整理得：(1-k2)x2+2kx-2=0(x<0)
从而有：1-k2≠0△=(2k)2+8k>0x1+x2=-2k1-k2<0x1⋅x2=-21-k2>0，解得：-2b>0)的离心率为63，F1，F2分别为椭圆左右焦点，A为椭圆的短轴端点且|AF1|=6
(1)求椭圆C的方程；
(2)过F2作直线l角椭圆C于P，Q两点，求△PQF1的面积的最大值．
【答案】解：(1)由已知可得：a=6ca=63a2=b2+c2，解得a=6，c=2，b2=2，
∴椭圆C的方程为x26+y22=1；
(2)由(1)可知：F2(2,0)，设直线l的方程为x=ty+2，联立x26+y22=1x=ty+2，
化为(3+t2)y2+4ty-2=0，
设P(x1,y2)，Q(x2,y2)，
∴y1+y2=-4t3+t2，y1y2=-23+t2，
∴|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2=(-4t3+t2)2+83+t2=261+t23+t2，
S△PQF1=12|F1F2|⋅|y1-y2|=12×4×261+t23+t2=461+t23+t2=46⋅11+t2+21+t2≤4622=23，
当且仅当1+t2=21+t2，即t=±1时，△PQF1的面积取得最大值23．
【解析】(1)由已知可得：a=6ca=63a2=b2+c2，解出即可得出椭圆C的方程；
(2)由(1)可知：F2(2,0)，设直线l的方程为x=ty+2，与椭圆方程联立化为(3+t2)y2+4ty-2=0，设P(x1,y2)，Q(x2,y2)，利用根与系数的关系可得|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2，利用S△PQF1=12|F1F2|⋅|y1-y2|，及其基本不等式的性质即可得出．
本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、三角形面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
