福建省龙岩市连城县长汀连城一中等六校联考2020届高三上学期期中考试数学（文）试题

福建省龙岩市连城县长汀连城一中等六校联考2020届高三上学期期中考试数学（文）试题

‎2019-2020 学年福建省龙岩市长汀、连城一中等六校高三（上）‎ 期中数学试卷（文科）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意，请将正确答案填入答题卷中．）‎ ‎1.已知集合，，则集合等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可以求出集合，然后进行交集的运算即可．‎ ‎【详解】解：，‎ ‎.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎2.若复数满足，其中i为虚数单位，则复数的共轭复数（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．‎ ‎【详解】解：由，得，‎ ‎.‎ 故选B ‎【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．‎ ‎3.设在内的导数有意义，则是在内单调递减的（ ）‎ A 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】因为能推出在内单调递减，而在内单调递减不能推出（例如在递减，但），‎ 所以是在内单调递减的充分而不必要条件，故选A ‎4.已知在平面直角坐标系中，若，则（ ）‎ A. 2 B. -2 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可得出，根据即可得出，解出即可．‎ ‎【详解】解：，且，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了根据点的坐标求向量的坐标的方法，平行向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎5.设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．‎ ‎【详解】解：由约束条件画出可行域如图，‎ 化目标函数为，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最小，有最小值为2.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．‎ ‎6.设等差数列的前项和为，若,则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列的前项和，将转化为和的算式即可得到所求．‎ ‎【详解】解：依题意，数列为等差数列，‎ 所以，‎ 又因为，‎ 所以，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】等差数列的性质，等差数列的前项和，考查分析解决问题的能力和运算能力，属于基础题．‎ ‎7.设，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数函数、对数函数和正切函数的单调性，把已知数与，比较即可得出，，的大小关系．‎ ‎【详解】解：，‎ ‎.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了指数函数、对数函数和正切函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎8.我们知道：在平面内，点到直线的距离公式，通过类比的方法，可求得：在空间中，点到直线的距离为（ ）‎ A. 3 B. 5 C. 6 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 类比平面内点到直线的距离公式，计算空间中点到直线的距离．‎ ‎【详解】解：平面内点到直线的距离公式，‎ 类比平面内点到直线的距离公式，可得空间中点到直线的距离为 ‎.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了类比推理的问题，类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．‎ ‎9.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据扇形与圆面积公式，可知面积比即为圆心角之比，再根据圆心角和的关系，求解出扇形的圆心角.‎ ‎【详解】与所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，‎ 设与所在扇形圆心角分别为，‎ 则，又，解得 ‎【点睛】本题考查圆与扇形的面积计算，难度较易.扇形的面积公式：，其中是扇形圆心角的弧度数，是扇形的弧长.‎ ‎10.函数的图象为，以下结论错误的是（ ）‎ A. 图象关于直线对称 B. 图象关于点对称 C. 函数在区间内是增函数 D. 由图象向右平移个单位长度可以得到图象 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意利用函数的图象变换规律，得到的解析式，再利用正弦函数的单调性以及它的图象的对称性，得出结论．‎ ‎【详解】解：对于函数的图象为，‎ 令，求得，为最小值，故图象关于直线对称，故A正确；‎ 令，求得，故图象关于点对称，故B正确；‎ 在区间内，，函数单调递增，故C正确；‎ 由图象向右平移个单位长度可以得到函数的图象，故D错误，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．‎ ‎11.已知直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值．‎ ‎【详解】解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，‎ 则，‎ ‎，‎ 设异面直线与所成角为，‎ 则.‎ 异面直线与所成角的余弦值为.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎12.已知实数满足，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用转化思想，将代换，代换，则，满足：，即，再以代换，可得点，满足．因此求的最小值，即为求曲线上的点到直线的距离的最小值的平方．利用导数的几何意义，研究曲线和直线平行的切线性质即可得出答案．‎ ‎【详解】解：代换代换，则满足：，即，以代换，可得点，满足.‎ 因此求的最小值，‎ 即为求曲线上的点到直线的距离的最小值的平方.‎ 设直线与曲线相切于点，‎ ‎，则，‎ 解得，切点为.‎ 点到直线的距离，‎ 则的最小值为.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数研究曲线的切线性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，问题转化是解题的关键，属于中档题．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填入答题卷中）‎ ‎13.已知第一象限的点在直线上，则的最小值为________.‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 由第一象限的点在直线上，可知，，即可得最小值．‎ ‎【详解】解：因为第一象限的点在直线上，所以，‎ 所以，当且仅当时等号成立，‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查基本不等式，属于基础题．‎ ‎14.设数列中，，，则_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将等式变形为，可得出数列为常数列，由可求出数列的通项公式.‎ ‎【详解】由，得，所以，数列是常数列，且，‎ 因此，.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查利用构造法求数列通项，也可以利用累乘法求数列通项，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎15.在中，内角所对应的边长分别为，且，，则的外接圆面积为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理化简边角混合式，根据两角和差公式结合求出外接圆半径的值，从而求解外接圆面积．‎ ‎【详解】解：，‎ 由正弦定理（为外接圆的半径），可得：‎ ‎，‎ 即，，‎ 即，，从而.‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 从而，‎ 所以外接圆面积为.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题属于基础题目，遇到边角混合式到底是选择边化角还是角化边，是解题的关键．‎ ‎16.已知是上的偶函数，且，若方程有三个不相等的实数根，则的取值范围________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题利用数形结合思想，画出图象后，结合图象求解．‎ ‎【详解】解：Q有三个不相等的实数根，‎ 即有三个不相等的实数根，‎ 有一个解，‎ 转化为有两个根即和有两个交点.‎ 是上的偶函数，‎ 图象如下：‎ ‎，‎ 由图可知的范围为，‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查了数形结合思想，以及偶函数的图象的性质，难度较低，属于基础题．‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调递减区间；‎ ‎（2）若，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用二倍角公式及变形，两角和的正弦公式化简解析式，由正弦函数的减区间求出的单调递减区间；‎ ‎（2）由的范围和正弦函数图象与性质，求出在上的值域．‎ ‎【详解】解：（1）函数 由，得，‎ 函数的单调递减区间为，‎ ‎（2）由（1）知函数，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故在的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查正弦的图象与性质，三角恒等变换中的公式，考查整体思想，化简、变形能力．属于中档题．‎ ‎18.已知数列的前项和为.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）记数列，记数列的前项和为，求证：.‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）作差法求通项公式，当时，，当时，，即可求出数列的通项公式；‎ ‎（2）利用裂项相消法求和．‎ ‎【详解】解：（1）当时，，‎ 当时，，‎ 又满足上式，所以；‎ ‎（2）证明：由（1）得.‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查作差法求数列的通项公式，注意时的验证；及利用裂项相消法求和，属于中档题．‎ ‎19.已知函数.‎ ‎（1）若函数的图象在处的切线方程为，求的值；‎ ‎（2）若函数在上是增函数，求实数的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先对函数求导，再根据在处的切线斜率可得到参数的值，然后代入 ‎，求出的值，则即可得出；‎ ‎（2）根据函数在上是增函数，可得，即恒成立，再进行参变分离，构造函数，对进行求导分析，找出最小值，即实数的最大值．‎ ‎【详解】解：（1）由题意，函数.‎ 故，‎ 则，‎ 由题意，知，即.‎ 又，则.‎ ‎，即.‎ ‎.‎ ‎（2）由题意，可知，即恒成立，‎ 恒成立.‎ 设，则.‎ 令，解得.‎ 令，解得.‎ 令，解得x.‎ 在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值.‎ ‎.‎ ‎，‎ 故最大值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用某点处的一阶导数分析得出参数的值，参变量分离方法的应用，不等式的计算能力．本题属中档题．‎ ‎20.如图，在底面为梯形的四棱锥中，已知，Ð，.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取的中点，连接，，得出，，可证明平面，和；‎ ‎（2）判断为等腰直角三角形，为等边三角形，为直角三角形，‎ 证明平面，利用等体积法计算的值．‎ ‎【详解】解：（1）设为的中点，连接，如图所示；‎ ‎，‎ ‎，‎ 又平面，且，‎ 平面，‎ 又平面，‎ ‎.‎ ‎（2）在中，，为的中点，‎ 为等腰直角三角形，且，‎ 在中，为的中点，‎ 为等边三角形，且，‎ 在中，，‎ 为直角三角形，且，‎ ‎；‎ 又，且，平面，平面，‎ 平面.‎ 梯形高相等，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了空间中的垂直关系应用问题，也考查了三棱锥体积计算问题，是中档题．‎ ‎21.已知.‎ ‎（1）试讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若使得都有恒成立，且，求满足条件的实数的取值集合.‎ ‎【答案】（1）分类讨论，详见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出的定义域，然后对求导，再分和两种情况求出单调区间即可；‎ ‎（2）根据条件可知，函数存在最小值且，求出的最小值，求出使得时，的值即可．‎ ‎【详解】解：（1）由，得.‎ ‎①当时，在上恒成立，‎ 在上单调递增；‎ ‎②当时，由得，由，得，‎ 在上单调递减，在上单调递增.‎ 综上：①当时，在上单调递增，无递减区间；‎ ‎②当时，在上单调递减，在上单调递增.‎ ‎（2）由题意函数存在最小值且，‎ ‎①当时，由（1）上单调递增且，‎ 当x时，，不符合条件；‎ ‎②当时，在上单调递减，在 上单调递增，‎ ‎，‎ 只需即，‎ 记则，‎ 由得，由得，‎ 在上单调递增，在上单调递减，‎ ‎，‎ 即满足条件的取值集合为.‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间和导数的综合应用，考查了分类讨论思想和函数思想，属难题．‎ 选考题：请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分.‎ ‎22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，其中a为参数，.在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点的极坐标为，直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程；‎ ‎（2）若是曲线上的动点，为线段的中点.求点到直线的距离的最大值.‎ ‎【答案】（1）直线的直角坐标方程为，曲线的普通方程为；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，，可将直线的方程转化为直角坐标方程，由曲线的参数方程消去参数，可得其普通方程；‎ ‎（2）设，，由条件可得，再由到直线的距离求出最大值即可．‎ ‎【详解】解：（1）直线的极坐标方程为，即.‎ 由，可得直线的直角坐标方程为，‎ 将曲线的参数方程，消去参数，‎ 得曲线的普通方程为；‎ ‎（2）设，‎ 点的极坐标,p化为直角坐标为，‎ 则，‎ 点到直线的距离，‎ 当，即时等号成立.‎ 点到直线的距离的最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查了极坐标方程转化为直角坐标方程，参数方程转化为普通方程和利用参数法求点到直线的距离，考查了转化思想和计算能力，属中档题．‎ ‎23.设函数.‎ ‎（1）设的解集为，求集合；‎ ‎（2）已知为（1）中集合中的最大整数，且（其中均为正实数），求证：.‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据，可得，然后由，分别解不等式即可；‎ ‎（2）根据（1）可得，然后利用基本不等式可知 ‎，从而证明．‎ ‎【详解】解：（1），则.‎ 因为，‎ 所以ì或或，‎ 所以，‎ 所以不等式的解集；‎ ‎（2）由（1）知，则，‎ 又均为正实数，则 同理，‎ 所以，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和利用综合法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．‎ ‎ ‎ ‎ ‎