2019年高考试题——数学理（新课标Ⅰ卷）原卷版

2019年高考试题——数学理（新课标Ⅰ卷）原卷版

绝密★启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷共 4 页，23 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔 将试卷类型（B）填涂在答题卡的相应位置上。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂 黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不 按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.已知集合 ，则 = A. B. C. D. 2.设复数 z 满足 ，z 在复平面内对应的点为(x，y)，则 A. B. C. D. 3.已知 ，则 A. B. C. D. 4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 （ ≈0.618， 称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐 的长度之比也是 ．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 105cm，头顶至脖子下端的长度为 26 cm，则其身高可能是   24 2 { 6 0M x x N x x x       ， M N { 4 3x x   { 4 2x x   { 2 2x x   { 2 3x x  =1iz  2 2+1 1( )x y  2 2( 1) 1x y   2 2( 1) 1x y   22 ( +1) 1yx   0.2 0.3 2log 0.2, 2 , 0.2a b c   a b c  a c b  c a b  b c a  5 1 2  5 1 2  5 1 2  A. 165 cm B. 175 cm C. 185 cm D. 190cm 5.函数 f(x)= 在[—π，π]的图像大致为 A B. C. D. 6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6 个爻组成，爻分为阳 爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3 个阳爻的概率 是 A. B. C. D. 7.已知非零向量 a，b 满足 =2 ，且（a–b） b，则 a 与 b 夹角为 A. B. C. D. 8.如图是求 的程序框图，图中空白框中应填入 2 sin cos x x x x   . 5 16 11 32 21 32 11 16 a b  的 π 6 π 3 2π 3 5π 6 1 12 12 2   A. A= B. A= C. A= D. A= 9.记 为等差数列 的前 n 项和．已知 ，则 A. B. C. D. 10.已知椭圆 C 的焦点为 ，过 F2 的直线与 C 交于 A，B 两点.若 ， ，则 C 的方程为 A. B. C. D. 11.关于函数 有下述四个结论： ①f(x) 偶函数 ②f(x)在区间（ , ）单调递增 ③f(x)在 有 4 个零点 ④f(x) 最大值为 2 其中所有正确结论的编号是 A. ①②④ B. ②④ C. ①④ D. ①③ 12.已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点在球 O 的球面上，PA=PB=PC，△ABC 是边长为 2 的正三角形，E，F 分 别是 PA，PB 的中点，∠CEF=90°，则球 O 的体积为 A. B. C. D. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.曲线 在点 处的切线方程为___________． 1 2 A 12 A 1 1 2A 11 2A nS { }na 4 50 5S a ， 2 5na n  3 10na n  22 8nS n n  21 22nS n n  1 21,0 1,0F F( ) ， ( ) 2 22AF F B│ │ │ │ 1AB BF│ ││ │ 2 2 12 x y  2 2 13 2 x y  2 2 14 3 x y  2 2 15 4 x y  ( ) sin | | | sin |f x x x  是 2   [ , ]  的 8 6 4 6 2 6 6 23( )exy x x  (0,0) 14.记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和．若 ，则 S5=____________． 15.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期 比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为 0.6，客场取胜的概率为 0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以 4∶1 获胜的概率是____________． 16.已知双曲线 C： 的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1 的直线与 C 的两条渐近线分别 交于 A，B 两点．若 ， ，则 C 的离心率为____________． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17. 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，设 ． （1）求 A； （2）若 ，求 sinC． 18.如图，直四棱柱 ABCD–A1B1C1D1 的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N 分别是 BC， BB1，A1D 的中点． （1）证明：MN∥平面 C1DE； （2）求二面角 A-MA1-N 的正弦值． 19.已知抛物线 C：y2=3x 的焦点为 F，斜率为 的直线 l 与 C 的交点为 A，B，与 x 轴的交点为 P． （1）若|AF|+|BF|=4，求 l 的方程； （2）若 ，求|AB|． 20.已知函数 ， 为 导数．证明： 2 1 4 6 1 3a a a ， 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b    1F A AB  1 2 0F B F B   VABC 2 2(sin sin ) sin sin sinB C A B C   2 2a b c  3 2 3AP PB  ( ) sin ln(1 )f x x x   ( )f x ( )f x 的 （1） 在区间 存在唯一极大值点； （2） 有且仅有 2 个零点． 21.为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案 如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙 药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4 只 时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药 的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分，乙药得 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白 鼠未治愈则乙药得 1 分，甲药得 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分．甲、乙两种药的治愈率分 别记为 α 和 β，一轮试验中甲药的得分记为 X． （1）求 的分布列； （2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分， 表示“甲药的累计得分为 时，最终认为甲 药比乙药更有效”的概率，则 ， ， ，其中 ， ， ．假设 ， ． (i)证明： 为等比数列； (ii)求 ，并根据 的值解释这种试验方案的合理性． （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。 22.[选修 4-4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （t 为参数），以坐标原点 O 为极点，x 轴的正 半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ． （1）求 C 和 l 的直角坐标方程； （2）求 C 上的点到 l 距离的最小值． 23.[选修 4-5：不等式选讲] 已知 a，b，c 为正数，且满足 abc=1．证明： ( )f x ( 1, )2  ( )f x 1 1 X ( 0,1, ,8)ip i   i 0 0p  8 1p  1 1i i i ip ap bp cp    ( 1,2, ,7)i   ( 1)a P X   ( 0)b P X  ( 1)c P X  0.5  0.8  1{ }i ip p  ( 0,1,2, ,7)i   4p 4p 2 2 2 1 1 4 1 tx t ty t       ， 2 cos 3 sin 11 0      （1） ； （2） ． 2 2 21 1 1 a b ca b c     3 3 3( ) ( ) ( ) 24a b b c c a    