2018-2019学年山东省济南市高一下学期期末学习质量评估数学试题（解析版）

2018-2019学年山东省济南市高一下学期期末学习质量评估数学试题（解析版）

‎2018-2019学年山东省济南市高一下学期期末学习质量评估数学试题 一、单选题 ‎1．下列各角中，与角终边相同的角是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】给出具体角度，可以得到终边相同角的表达式.‎ ‎【详解】‎ 角终边相同的角可以表示为，当时，，所以答案选择B ‎【点睛】‎ 判断两角是否是终边相同角，即判断是否相差整数倍.‎ ‎2．（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】由诱导公式可得，则立马可以用两角和差余弦公式.‎ ‎【详解】‎ 由诱导公式 ‎，所以选择A ‎【点睛】‎ 利用诱导公式，将式子化成两个角后，只需要简单的利用和差公式.‎ ‎3．已知的内角的对边分别为，若，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】已知两角及一对边，求另一边，我们只需利用正弦定理.‎ ‎【详解】‎ 在三角形中由正弦定理公式: ，所以选择B ‎【点睛】‎ 本题直接属于正弦定理的直接考查，代入公式就能求解.属于简单题.‎ ‎4．已知菱形的边长为，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】由菱形可直接得出所求两向量的模长及夹角，直接利用向量数量积公式即可.‎ ‎【详解】‎ 由菱形的性质可以得出：‎ 所以选择D ‎【点睛】‎ 直接考查向量数量积公式，属于简单题 ‎5．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）‎ A.向左平移个单位 B.向左平移个单位 C.向右平移个单位 D.向右平移个单位 ‎【答案】C ‎【解析】考查三角函数图象平移，记得将变量前面系数提取.‎ ‎【详解】‎ ‎，所以只需将向右平移个单位.‎ 所以选择C ‎【点睛】‎ 易错题，一定要将提出，否则容易错选D.‎ ‎6．在中，点是边上的靠近的三等分点，则（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】将题中所体现的图形画出，可以很直观的判断向量的关系.‎ ‎【详解】‎ 如图有向量运算可以知道：,选择A ‎【点睛】‎ 考查平面向量基本定理， 利用好两向量加法的计算原则：首尾相连，首尾相接.‎ ‎7．已知，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】由可以求出的值，而利用倍角公式可以转化为齐次式.‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 而，所以选择C ‎【点睛】‎ 本题考查了两角和正切、倍角公式及齐次式.难度较小.‎ ‎8．的内角的对边分别为，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】运用正弦定理公式，可以求出另一边的对角正弦值，最后还要根据三角形的特点：“大角对大边”进行合理排除.‎ ‎【详解】‎ A. ,由所以不存在这样的三角形.‎ B. ,由且所以只有一个角B C. 中，同理也只有一个三角形.‎ D. 中此时，所以出现两个角符合题意，即存在两个三角形.‎ 所以选择D ‎【点睛】‎ 在直接用正弦定理求另外一角中，求出后，记得一定要去判断是否会出现两个角.‎ ‎9．函数的图象与函数的图象交点的个数为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】通过对两函数的表达式进行化简，变成我们熟悉的函数模型，比如反比例、一次函数、指数、对数及三角函数,看图直接判断 ‎【详解】‎ 由 ，作图如下：‎ 共6个交点，所以答案选择D ‎【点睛】‎ 函数图象交点个数问题与函数零点、方程根可以作相应等价，用函数零点及方程根本题不现实，所以我们更多去考虑分别作图象，直接看交点个数.‎ ‎10．函数的图像与函数，的图像的交点个数为（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】在同一坐标系中画出两函数的图象，根据图象得到交点个数.‎ ‎【详解】‎ 可得两函数图象如下图所示：‎ 两函数共有个交点 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数交点个数的求解，关键是能够根据两函数的解析式，通过平移和翻折变换等知识得到函数的图象，采用数形结合的方式得到结果.‎ ‎11．的内角的对边分别为，面积为，若，则外接圆的半径为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】出现面积，可转化为观察，和余弦定理很相似，但是有差别，差别就是条件是形式，而余弦定理中是形式，但是我们可以注意到：,所以可以完成本题.‎ ‎【详解】‎ 由，‎ 所以在三角形中,‎ 再由正弦定理所以答案选择A.‎ ‎【点睛】‎ 本题很灵活，在常数4的处理问题上有点巧妙，然后再借助余弦定理及正弦定理，难度较大.‎ 二、多选题 ‎12．设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）‎ A.若，则点是边的中点 B.若，则点在边的延长线上 C.若，则点是的重心 D.若，且，则的面积是的面积的 ‎【答案】ACD ‎【解析】判断命题真假；将前面条件进行化简，去判断点M的位置（D中若能判断M位置也是一定得出面积比值）.‎ ‎【详解】‎ A中：,即：‎ ‎,则点是边的中点 B. ,则点在边的延长线上，所以B错误.‎ C. ‎ 设中点D,则,，由重心性质可知C成立.‎ D．且设 所以，可知三点共线，所以的面积是面积的 故选择ACD ‎【点睛】‎ 通过向量加减运算，进行化简去判断点M的位置，难度较大.‎ ‎13．对于任意的平面向量，下列说法错误的是（ ）‎ A.若且，则 B.‎ C.若，且，则 D.‎ ‎【答案】ACD ‎【解析】A．与任何向量都共线,这里没有传递性；B中是向量数量积的分配律，所以成立.而没有结合律所以D错误，向量和数是有差别，不能两边除同一向量.‎ ‎【详解】‎ A. ,命题不成立；C.若和都垂直，显然最少在模长方面没有任何关系，所以命题不成立；‎ D.‎ ‎ ‎ 很多时候是不成立的，如上图：‎ 若则与是一个分别和、共线的向量，显然命题不成立 B是分配律显然成立的.‎ 所以答案是ACD ‎【点睛】‎ 考查向量的运算法则，不可忽略，向量运算不能乱套用.‎ ‎14．已知函数，则下列说法中正确的是（ ）‎ A.函数的图象关于点对称 B.函数图象的-条对称轴是 C.若，则函数的最小值为 D.若，则 ‎【答案】BC ‎【解析】的性质的研究，我们更多去考虑的性质，利用整体思想能解决本题.‎ ‎【详解】‎ A. 函数令知关于点对称,所以A不成立；‎ B. 函数令知关于轴对称,所以B成立；‎ C. 若时，则函数的最小值为，C成立 D. 由于当，不单调，所以不成立 故答案选择BC ‎【点睛】‎ 研究三角函数性质，我们只需牢记的图象及性质，其他都可以通过整体思想进行类比完成.‎ ‎15．在中，，在边上分别取两点，沿将翻折，若顶点正好可以落在边上，则的长可以为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】ABD ‎【解析】通过等腰直角三角形，把三角形边算出，在翻折过程中，一直保持 着,,所以且通过三角形中正弦定理去计算的表达式.‎ ‎【详解】‎ 在中，，所以，如上图，在翻折过程中有，设，，所以设，则，在中由正弦定理可得：‎ 即 ‎，‎ ‎，即 只有不在范围内，所以答案选择ABD ‎【点睛】‎ 在等腰直角三角形中，已知斜边，我们能求出直角边，，则我们希望能搭建起两者关系，所以我们一定要把条件翻折的特点梳理清楚，因为翻折过程中相应的角度，边长不变，所以我们放到一个同时含有两者，并且能建立起等量关系的三角形中进行.本题难度很大.‎ 三、填空题 ‎16．若函数是奇函数，其中，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】定义域上的奇函数，则 ‎【详解】‎ 函数是奇函数，所以,‎ 又，则 所以填 ‎【点睛】‎ 定义域上的奇函数，我们可以直接搭建方程，若定义域中则不能直接代指.‎ ‎17．《九章算术》是体现我国古代数学成就的杰出著作，其中(方田)章给出的计算弧田面积的经验公式为:弧田面积(弦矢矢2)，弧田(如图阴影部分)由圆弧及其所对的弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦的长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有弧长为米，半径等于米的弧田，则弧所对的弦的长是_____米，按照上述经验公式计算得到的弧田面积是___________平方米.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】在中，由题意可知：，弧长为,即可以求出,则求得的值，根据题意可求矢和弦的值及弦长，利用公式可以完成.‎ ‎【详解】‎ 如上图在中，可得：‎ ‎，可以得：矢=‎ 所以:弧田面积(弦矢矢2)= ‎ 所以填写 (1). (2). ‎ ‎【点睛】‎ 本题是数学文化考题，扇形为载体的新型定义题，求弦长属于简单的解三角形问题，而作为第二空，我们首先知道公式中涉及到了“矢”，所以我们必须把“矢”的定义弄清楚，再借助定义求出它的值，最后只是简单代入公式计算即能完成.‎ ‎18．在等腰中，为底边的中点，为的中点，直线与边交于点，若，则___________．‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】题中已知等腰中，为底边的中点，不妨于为轴，垂直平分线为轴建立直角坐标系，这样，我们能求出点坐标，根据直线与求出交点，求向量的数量积即可.‎ ‎【详解】‎ 如上图，建立直角坐标系，我们可以得出 直线，联立方程求出,‎ ‎,即 填写 ‎【点睛】‎ 本题中因为已知底边及高的长度，所有我们建立直角坐标系，求出相应点坐标，而作为F点的坐标我们可以通过直线交点求出，把向量数量积通过向量坐标运算来的更加直观.‎ ‎19．已知平行四边形的周长为，，则平行四边形的面积是_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，根据条件可以求出，两边平方可以得到关系式，由余弦定理可以表示出，把代入得到的关系式，联立求出的值，过作垂直于，设，则可以表示，利用勾股定理，求出的值，确定长，即求出平行四边形的面积 ‎【详解】‎ 设 又，由余弦定理 将代入，得到将（2）代入（1）得到可以解得：(另一种情况不影响结果)，过作垂直于，设,则，所以填写 ‎【点睛】‎ 几何题如果关系量理清不了，可以尝试作图，引入相邻边的参数，通过方程把参数求出，平行四边形问题可以通过转化变为三角形问题，进而把问题简单化.‎ ‎20．在中，，点在边上，若，的面积为，则___________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由，的面积为可以求解出三角形，再通过，我们可以得出(两三角形等高)再利用正弦形式表示各自面积，即能得出的值.‎ ‎【详解】‎ ‎，的面积为，‎ 所以为等边三角形，又所以（等高），‎ 又 所以填写2‎ ‎【点睛】‎ 已知三角形面积及一边一角，我们能把形成该角的另外一边算出，从而把三角形所有量都能计算出来（如果需要），求两角正弦值的比值，我们更多联想到正弦定理的公式，或面积公式.‎ 四、解答题 ‎21．已知函数.‎ ‎（1）求函数的最小正周期；‎ ‎（2）求函数的最小值及相应的值.‎ ‎【答案】（1）（2）的最小值为，此时.‎ ‎【解析】通过倍角公式，把化成标准形式，研究函数的相关性质(周期性，单调性，奇偶性，对称性，最值及最值相对于的变量)，从而本题能顺利完成 ‎【详解】‎ ‎（1）因为.‎ 所以函数的最小正周期为.‎ ‎（2）当时，，‎ 此时，，，‎ 所以的最小值为，此时.‎ ‎【点睛】‎ 该类型考题关键是将化成性质，只有这样，我们才能很好的去研究他的性质.‎ ‎22．的内角的对边分别为，已知.‎ ‎（1）求;‎ ‎（2）若，求边上的高的长.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1） 首先由正弦定理，我们可以将条件化成角度问题，再通过两角和差的正弦公式，即可以得出的正切值，又因为在三角形中，从而求出的值.‎ ‎（2） 由第一问得出，我们能求出，而,从而求出.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）根据题意 因为，所以 得，即 所以，又因为 所以.‎ ‎（2）因为 所以 又的面积为: ‎ 可得:‎ ‎【点睛】‎ 解三角形题中，我们常根据边的齐次，会利用正弦定理进行边化角，然后通过恒等变形，变成角相关等量关系，作为面积问题，我们初中更多是用底与高的处理，高中能用正弦形式表示，两者统一一起，又能得出相应的等量关系.‎ ‎23．已知向量.‎ ‎（1）若向量，且，求的坐标；‎ ‎（2）若向量与互相垂直，求实数的值.‎ ‎【答案】（1）或（2）‎ ‎【解析】（1） 因为，所以可以设求出坐标，根据模长，可以得到参数的方程.‎ ‎（2） 由于已知条件 可以计算出与坐标（含有参数）而两向量垂直，可以得到关于的方程，完成本题.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）法一:设，‎ 则，‎ 所以 解得 所以或 法二:设，‎ 因为，，所以，‎ 因为，所以 解得或，‎ 所以或 ‎（2）因为向量与互相垂直 所以，即 而，，所以，‎ 因此，‎ 解得 ‎【点睛】‎ 考查了向量的线性表示，引入参数，只要我们能建立起引入参数的方程，则就能计算出所求参数值，从而完成本题.‎ ‎24．的内角的对边分别为.‎ ‎（1）求证:；‎ ‎（2）在边上取一点P，若.求证:.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.‎ ‎【解析】（1） 余弦定理的证明其实在课本就直接给出过它向量方法的证明，通过，等向量模长相等就可，当然我们还可以通过坐标的运算完成（如方法二）‎ ‎（2） 通过点P，将三角形分割，这种题中多注意几个相等（公共边相等，）我们可以得到相对应的等量关系，完成本题.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证法一:如图，‎ 即 证法二:已知中所对边分别为，以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，则， ‎ 所以 ‎（2）‎ 令，由余弦定理得:‎ ‎，‎ 因为 所以 所以 所以 ‎【点睛】‎ ‎（1） 向量既有大小又有方向.在几何中是一种很重要的工具，比如三角形中，三边有大小，角度问题我们可以转化为向量夹角相关，所以很容易想到向量方法.‎ ‎（2） 解组合三角形问题，多注重图形中一些恒等关系比如边长、角度问题.‎ ‎25．已知向量，且 ‎（1）当时，求及的值；‎ ‎（2）若函数的最小值是，求实数的值.‎ ‎【答案】（1），（2）.‎ ‎【解析】（1） 以向量为载体求解向量数量积、模长，我们只需要把向量坐标表示出来，最后用公式就能轻松完成；‎ ‎（2） 由（1）可以把表达式求出，最终化成二次复合型函数模式，考虑轴与区间的位置关系，我们就能对函数进行进一步的研究.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，‎ 所以 又因为，所以 ‎（2）‎ ‎，‎ 当时，.‎ 当时， 不满足.‎ 当时，，，不满足.‎ 综上，实数的值为.‎ ‎【点睛】‎ 在研究三角函数相关的性质（值域、对称中心、对称轴、单调性……）我们都是将其化为（或者余弦、正切相对应）的形式，利用整体思想，我们能比较方便的去研究他们相关性质.‎ 第二问中我们其实就是求最小值问题，当然掺杂了二次函数的“轴变区间定”的考点.，综合性较强.‎ ‎26．已知函数.‎ ‎（1）求函数图象的对称轴方程;‎ ‎（2）若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】(1)通过三角恒等变形，化简为的形式，方便我们去研究与其相关的任何问题；‎ ‎（2）恒成立，可转化，我们只需要求出最大值从而完成本题.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ 令得，‎ 所以的对称轴为 ‎（2）当时，，，‎ 因为，即恒成立 故，解得 ‎【点睛】‎ 在研究三角函数相关的性质（值域、对称中心、对称轴、单调性……）我们都是将其化为（或者余弦、正切相对应）的形式，利用整体思想，我们能比较方便的去研究他们相关性质.‎ ‎27．已知为平面内不共线的三点，表示的面积 ‎（1）若求；‎ ‎（2）若，，，证明:；‎ ‎（3）若，，，其中，且坐标原点恰好为的重心，判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析；（3）是定值，值为，理由见解析.‎ ‎【解析】（1） 已知三点坐标，则可以求出三边长度及对应向量，由向量数量积公式可以求出夹角余弦值，从而算出正弦值，利用面积公式完成作答；‎ ‎（2） 和（1）的方法一样，唯独不同在于（1）是具体值，而（2）中是参数，我们可以把参数当做整体（视为已知）能处理；‎ ‎（3） 由恰好为的正心可以获取，而可以借助（2）的公式直接运用，本题也就完成作答.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，‎ 所以，，‎ 所以 因为，所以，‎ 所以 ‎（2）因为，所以 所以 因为 ‎ 所以 所以 所以；‎ ‎（3）因为为的重心，所以 由(1)可知 又因为为的重心，所以，‎ 平方相加得:， 即，‎ 所以 所以，‎ 所以是定值，值为 ‎【点睛】‎ 已知三角形三点，去探究三角形面积问题，通过向量数量积为载体，算出相对应边所在向量的模长、夹角余弦值，进一步算出正弦值，从而算出面积，这三问存在层层递进的过程，从特殊到一般慢慢设问，非常好的一个探究性习题.‎