贵州省铜仁市第一中学2019-2020学年高二上学期入学考试数学（文）试题 含解析

贵州省铜仁市第一中学2019-2020学年高二上学期入学考试数学（文）试题 含解析

www.ks5u.com 铜仁一中2019—2020学年度第一学期高二开学考试 数 学 试 卷 （文 科）‎ 第I卷（选择题)‎ 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.已知全集，集合，，则是(　　 )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．‎ ‎【详解】解：，‎ ‎，‎ 则，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的基本运算，根据条件求出集合的等价条件是解决本题的关键．属于基础题.‎ ‎2.在等差数列中，若，则值是 ( )‎ A. 10 B. 0 C. 15 D. 12‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件利用等差数列通项公式求出首项与公差，将改写成首项与公差的形式即可计算.‎ ‎【详解】因为 ，所以 ，又，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】等差数列通项公式：；‎ 等差数列求和公式：.‎ ‎3.已知直线的倾斜角为，在轴上的截距为2，则此直线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得直线的斜率和截距，由斜截式可得答案．‎ ‎【详解】解：∵直线的倾斜角为45°，∴直线的斜率为k＝tan45°＝1，‎ 由斜截式可得方程为：y＝x+2，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查直线的斜截式方程，属基础题．‎ ‎4.的内角,,的对边分别为,,，若 ,则等于（ ）‎ A. B. C. D. 或 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理求出的值，根据边的大小关系对进行取舍.‎ ‎【详解】由正弦定理可得：，又，所以，则（舍） ，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】利用正弦定理求解边或者角的时候，如果出现多解的情况，一定要去判断多个解是否都合适，这里常用的判断依据“大边对大角，小边对小角”.‎ ‎5.如图，在正方体中，M， N分别为棱的中点，以下四个结论：①直线DM与是相交直线；②直线AM与NB是平行直线；③直线BN与是异面直线；④直线AM与是异面直线．其中正确的个数为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正方体的几何特征，可通过判断每个选项中的两条直线字母表示的点是否共面；如果共面，则可能是相交或者平行；若不共面，则是异面.‎ ‎【详解】①：与是共面的，且不平行，所以必定相交，故正确；‎ ‎②：若平行，又平行且，所以平面平面，明显不正确，故错误；‎ ‎③：不共面，所以是异面直线，故正确；‎ ‎④：不共面，所以是异面直线，故正确；‎ 故选：C ‎【点睛】异面直线的判断方法：一条直线上两点与另外一条直线上两点不共面，那么两条直线异面；反之则为共面直线，可能是平行也可能是相交.‎ ‎6.已知数列是等比数列，且，则（ 　）‎ A. 8 B. 4 C. 2 D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等比数列的性质可知，a2a6＝a3a5＝，结合已知可求a4，进而可求a3a5‎ ‎【详解】解：∵a2a6＝2a4，‎ 由等比数列的性质可知，a2a6＝a3a5＝‎ ‎∴＝2a4，‎ ‎∴a4＝2‎ ‎∴a3a5＝4‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查了等比数列的性质的简单应用，属于基础试题 ‎7.已知圆上的一动点到直线的最短距离为,则值为( )‎ A. 1 B. 3 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 最短距离：即为圆心到直线的距离减去半径.‎ ‎【详解】圆心到直线的距离，圆的半径，则.‎ ‎【点睛】圆上点到直线的最小距离和最大距离：‎ 记圆心到直线的距离为，圆的半径为，则最小距离为：，最大距离为：.‎ ‎8.已知正数满足，则的最小值是 (　 　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为为定值，所以可以借助基本不等式求的最小值.‎ ‎【详解】解：因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.‎ 故答案为：C.‎ ‎【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题.‎ ‎9.已知,,,且向量与向量垂直,则的值为( )‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. -2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量的坐标运算计算出向量与向量，然后利用向量垂直的坐标运算计算m的取值即可.‎ ‎【详解】解：，，因为向量与向量垂直，所以，解得m=-2.‎ 故答案为：D.‎ ‎【点睛】本题考查向量的坐标运算以及向量垂直的坐标运算，属于基础题.‎ ‎10.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是 A. ，则 B. ，则 C. ，则 D. ，则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据空间中直线与平面的位置关系的相关定理依次判断各个选项即可.‎ ‎【详解】两平行平面内的直线的位置关系为：平行或异面，可知错误；‎ 且，此时或，可知错误；‎ ‎，，，此时或，可知错误；‎ 两平行线中一条垂直于一个平面，则另一条必垂直于该平面，正确.‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查空间中直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查学生对于定理的掌握程度，属于基础题.‎ ‎11.在平面直角坐标系中，不等式组 为正常数)表示平面区域的面积是4，则的最大值为（ ）‎ A. 8 B. 6 C. 4 D. 0‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先画出约束条件的可行域，再分析不等式组（a为常数）表示的平面区域面积是4，我们可以构造一个关于a的方程，解方程即可求出实数a的值，最后利用几何意义求出最大值．‎ ‎【详解】解：由题意画出不等式组表示的平面区域，如图所示．‎ 解得三角形的三个顶点为A（0，0），B（a，﹣a），C（a，a）‎ 所以S△ABC＝×2a×a＝4，‎ 解得a＝2或a＝﹣2（舍去）．‎ 在△ABC中满足z＝x-3y的最大值是点B（2，-2），代入得最大值等于8．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查线性规划求最值的问题，解题的关键先根据可行域的面积计算a的值，属于基础题.‎ ‎12.著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．‎ 结合上述观点，可得的最小值为(　　 )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题设观点将变形为点与点距离之和，然后再求解最小值.‎ ‎【详解】据题意有：，表示轴上点到点、的距离之和，则.‎ ‎【点睛】本题考查点到直线的距离公式的运用，难度一般.要注意到平面上到两个定点距离最小的点必定位于两定点连线的线段上.‎ 第II卷（非选择题)‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）‎ ‎13.已知的顶点为，则AB边的中线所在直线的斜率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出中点坐标，再利用的坐标和中点坐标求斜率.‎ ‎【详解】因为，所以中点坐标，又，所以的中线斜率为：‎ ‎【点睛】本题考查中点坐标以及斜率的计算公式，难度容易.‎ ‎14.某几何体的三视图如图所示, 则其体积为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由三视图还原几何体为半个圆锥，高为2，底面半圆的半径r＝1.‎ ‎∴体积V＝×(π×12×2)＝.‎ ‎15.不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先讨论a=0的情况成立，然后当时，根据一元二次不等式大于等于0‎ 恒成立的条件列出关系式，然后对a求解即可.‎ ‎【详解】解：当a=0时，不等式等价于，恒成立，所以a=0符合条件.‎ 当时，不等式等价于，即 ，解得：，‎ 所以a的范围为.‎ 故答案为： .‎ ‎【点睛】本题考查一元二次型函数最高项系数的讨论，考查一元二次不等式恒成立的条件，属于基础题.‎ ‎16.如图，，平面ABC外有一点，点P到角的两边AC，BC的距离都等于，则PC与平面ABC所成角的正切值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设P点在ABC平面投影点为O，过P点作BC边的垂线垂足为F，连接OP，OC，OF，根据，∠ACB＝60°，平面ABC外一点P满足PC＝4，P到两边AC，BC的距离都是2cm，我们分别求出CF，OF，OP的长，进而解出∠PCO的大小，即可得到PC与平面ABC所成角的大小．‎ ‎【详解】解：设P点在ABC平面投影点为O，过P点作BC边的垂线垂足为F，‎ 连接OP，OC，OF，如图所示：‎ 则∠PCO即为PC与平面ABC所成角的平面角 ‎∵P到两边AC，BC的距离都是2cm，‎ 故O点在∠ACB的角平分线上，即∠OCF＝30°‎ 由于PC为4cm，PF为2cm，则CF为2cm．‎ 则在直角三角形OCF中，‎ 则OF＝，OC＝，‎ 根据勾股定理得PO＝，‎ ‎∴.‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是直线与平面所成的角，解题的关键是将线面角问题转化到三角形中解决，属于基础题.‎ 三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)‎ ‎17.‎ 已知数列是公差不为零的等差数列，＝1，且成等比数列．‎ ‎(1)求数列的通项；‎ ‎(2)设，求数列的前n项和Sn.‎ ‎【答案】(1)an＝1＋(n－1)×1＝n. (2)Sn＝2n＋1－2.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：(1)由题设知公差d≠0，‎ 由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得＝，‎ 解得d＝1，d＝0(舍去)，故{an}的通项an＝1＋(n－1)×1＝n. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分 ‎(2)由(1)知2an＝2n，由等比数列前n项和公式得 Sn＝2＋22＋23＋…＋2n＝＝2n＋1－2. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分 考点：本题考查了数列的通项公式及前N项和 点评：掌握等差、等比数列的概念及前N项和公式是此类问题的关键。‎ ‎18.已知直线，与直线．‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）1.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据垂直时直线的一般式方程中系数间的关系求解参数；‎ ‎（2）根据平行时直线的一般式方程中系数间的关系求解参数（注意是否重合）.‎ ‎【详解】（1）‎ ‎（2）或 时，重合，舍去，所以.‎ ‎【点睛】已知直线：‎ ‎（1）若两直线垂直，则有：；‎ ‎（2）若两直线平行，则有：且.‎ ‎19.在四边形中，．‎ ‎(1)求；‎ ‎(2)若，求．‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）在中通过正弦定理求解出的值，再利用“平方和为”以及角的范围求解出的值；‎ ‎（2）根据角度间关系得到与的关系，然后利用余弦定理求解长度.‎ ‎【详解】(1)在△ABD中，由正弦定理，得，‎ ‎∴sin∠ADB＝，‎ ‎∵∠ADB＜90°，∴cos∠ADB＝．‎ ‎(2)∠ADB＋∠BDC＝，∴cos∠BDC＝cos(－∠ADB)＝sin∠ADB，∴cos∠BDC＝cos(－∠ADB)＝sin∠ADB，∴cos∠BDC＝．‎ ‎∴＝.∴BC＝．‎ ‎【点睛】解三角形问题中，经常会出现角度和为以及隐含条件内角和为，将这些条件通过三角函数中的诱导公式都可以得到另一种表示形式，要灵活使用：‎ ‎（1）若，则；‎ ‎（2）因为，则.‎ ‎20.已知动点到点与点的距离之比为2，记动点的轨迹为曲线C.‎ ‎ (1)求曲线C的方程；‎ ‎(2)过点作曲线C的切线，求切线方程．‎ ‎【答案】(1)；(2) 或．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据题意设出M点的坐标，然后根据距离之比等于2，化简出x，y的关系式，求出M的轨迹方程.(2)由第一问的结论可判断点在圆外，可知切线方程有两条，设出切线方程，根据圆心到直线的距离公式可求出斜率k的值，从而求出切线方程.‎ ‎【详解】（1）设动点的坐标为，‎ 则， ‎ 所以，化简得，‎ 因此，动点的轨迹方程为；‎ ‎（2）∵圆心(3,0)到点(6,2)的距离为大于半径3，‎ ‎∴点(-2,4)在已知圆外,过该点的圆的切线有两条 不妨设过该点的切线斜率为，‎ 则切线方程为，即，‎ 由圆心到直线的距离等于半径可知，，解得或．‎ 所以，切线方程为或．‎ ‎【点睛】本题考查直接法求点的轨迹方程，考查圆的切线问题，同时考查了学生的计算能力，属于基础题.‎ ‎21.如图，已知在直四棱柱中，，，．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求点到平面距离．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据棱柱为直四棱柱可知，，再根据边长证明，从而证出线面垂直. ‎ ‎（2）将三棱锥-的体积转化为，求得，然后根据体积公式计算点到平面的距离即可．‎ ‎【详解】（1）设是的中点，连结，则四边形为正方形，‎ ‎．故，，，，即．‎ 又，平面，‎ ‎（2）易知，，，，‎ 所以 又,而 故.‎ ‎【点睛】本题考查线面垂直关系的证明，考查利用等体积转化求点到面的距离，属于基础题.‎ ‎22.已知以点为圆心的圆与直线相切.过点的动直线与圆相交于，两点.‎ ‎（1）求圆的方程;‎ ‎（2）若以弦为直径的圆经过原点时，求直线的斜率.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）因为圆与直线相切，所以圆心到直线的距离即为半径，根据距离公式求出半径，即可求出圆的方程.‎ ‎（2）根据题意，弦为直径的圆经过原点可转化，即，又M、N为直线与圆的交点，联立可得： ，，将代入，转化为的关系，代入k，即可解出斜率k的值.‎ ‎【详解】(1)设圆的半径为.圆与直线相切,‎ ‎.‎ 圆的方程为. ‎ ‎（2）设直线的斜率为，则直线方程为，直线与圆A的交点为，,若以弦为直径的圆经过原点时，则，由得 ‎，有 （*）‎ 联立,有 ‎ ‎ 得 ， ‎ 代入（*）式，得：‎ ‎ ‎ 解得 .‎ ‎【点睛】本题考查圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，同时考查了学生的运算求解能力，属于中档题.‎ ‎ ‎