高考数学难点突破总汇
集合思想及应用
集合是高中数学的基本知识，为历年必考内容之一，主要考查对集合基本概念的认识和
理解，以及作为工具，考查集合语言和集合思想的运用.本节主要是帮助考生运用集合的观
点，不断加深对集合概念、集合语言、集合思想的理解与应用.
●难点磁场
(★★★★★)已知集合 A={(x,y)|x2+mx－y+2=0},B={(x,y)|x－y+1=0,且 0≤x≤2},如果 A∩
B≠ ,求实数 m 的取值范围.
●案例探究
［例 1］设 A={(x,y)|y2－x－1=0},B={(x,y)|4x2+2x－2y+5=0},C={(x,y)|y=kx+b},是否存在 k、
b∈N,使得(A∪B)∩C= ，证明此结论.
命题意图：本题主要考查考生对集合及其符号的分析转化能力，即能从集合符号上分辨
出所考查的知识点，进而解决问题.属★★★★★级题目.
知识依托：解决此题的闪光点是将条件(A∪B)∩C= 转化为 A∩C= 且 B∩C= ，这
样难度就降低了.
错解分析：此题难点在于考生对符号的不理解，对题目所给出的条件不能认清其实质内
涵，因而可能感觉无从下手.
技巧与方法：由集合 A 与集合 B 中的方程联立构成方程组，用判别式对根的情况进行
限制，可得到 b、k 的范围，又因 b、k∈N,进而可得值.
解：∵(A∪B)∩C= ，∴A∩C= 且 B∩C=
∵
bkxy
xy 12
∴k2x2+(2bk－1)x+b2－1=0
∵A∩C=
∴Δ 1=(2bk－1)2－4k2(b2－1)<0
∴4k2－4bk+1<0,此不等式有解，其充要条件是 16b2－16>0,即 b2>1 ①
∵
bkxy
yxx 05224 2
∴4x2+(2－2k)x+(5+2b)=0
∵B∩C= ,∴Δ 2=(1－k)2－4(5－2b)<0
∴k2－2k+8b－19<0,从而 8b<20,即 b<2.5 ②
由①②及 b∈N,得 b=2 代入由Δ 1<0 和Δ 2<0 组成的不等式组，得
032
,0184
2
2
kk
kk
∴k=1,故存在自然数 k=1,b=2,使得(A∪B)∩C= .
［例 2］向 50 名学生调查对 A、B 两事件的态度，有如下结果：赞成 A 的人数是全体
的五分之三，其余的不赞成，赞成 B 的比赞成 A 的多 3 人，其余的不赞成；另外，对 A、B
都不赞成的学生数比对 A、B 都赞成的学生数的三分之一多 1 人.问对 A、B 都赞成的学生和
都不赞成的学生各有多少人？
命题意图：在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，韦恩图法等，需要考
生切实掌握.本题主要强化学生的这种能力.属★★★★级题目.
知识依托：解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件，想到用韦恩图直观地表示出来.
错解分析：本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂，一时理不清头绪，不好找线索.
技巧与方法：画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系.
解：赞成 A 的人数为 50×
5
3 =30，赞成 B 的人数为 30+3=33，如上图，记 50 名学生组
成的集合为 U，赞成事件 A 的学生全体为集合 A；赞成事件 B 的学生全体为集合 B.
设对事件 A、B 都赞成的学生人数为 x,则对 A、B 都不赞成的学生人数为
3
x +1,赞成 A 而
不赞成 B 的人数为 30－x，赞成 B 而不赞成 A 的人数为 33－x.
依题意(30－x)+(33－x)+x+( +1)=50,解得 x=21.
所以对 A、B 都赞成的同学有 21 人，都不赞成的有 8 人.
●锦囊妙计
1.解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用
描述法给出的集合{x|x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素 x 以及它所具有的性质 P；要重
视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题.
2.注意空集 的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，
如 A B,则有 A= 或 A≠ 两种可能，此时应分类讨论.
●歼灭难点训练
一、选择题
1.(★★★★)集合 M={x|x= 42
kx ,k∈Z},N={x|x= 22
k ,k∈Z},则( )
A.M=N B.M N C.M N D.M∩N=
2.(★★★★)已知集合 A={x|－2≤x≤7},B={x|m+1
0,b>0},当 A∩B 只有一个元
素时，a,b 的关系式是_________.
三、解答题
5.(★★★★★)集合 A={x|x2－ax+a2－19=0},B={x|log2(x2－5x+8)=1}，C={x|x2+2x－8=0},
求当 a 取什么实数时，A∩B 和 A∩C= 同时成立.
6.(★★★★★)已知{an}是等差数列，d 为公差且不为 0，a1 和 d 均为实数，它的前 n 项
和记作 Sn,设集合 A={(an, n
Sn )|n∈N*},B={(x,y)| 4
1 x2－y2=1,x,y∈R}.
试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明.
(1)若以集合 A 中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上；
(2)A∩B 至多有一个元素；
(3)当 a1≠0 时，一定有 A∩B≠ .
7.(★★★★)已知集合 A={z||z－2|≤2,z∈C},集合 B={w|w= 2
1 zi+b,b∈R},当 A∩B=B 时，
求 b 的值.
8.(★★★★)设 f(x)=x2+px+q,A={x|x=f(x)},B={x|f［f(x)］=x}.
(1)求证：A B;
(2)如果 A={－1，3}，求 B.
参考答案
难点磁场
解：由
)20(01
022
xyx
ymxx 得 x2+(m－1)x+1=0 ①
∵A∩B≠
∴方程①在区间［0，2］上至少有一个实数解.
首先，由Δ =(m－1)2－4≥0,得 m≥3 或 m≤－1,当 m≥3 时，由 x1+x2=－(m－1)＜0 及
x1x2=1>0 知，方程①只有负根，不符合要求.
当 m≤－1 时，由 x1+x2=－(m－1)>0 及 x1x2=1>0 知，方程①只有正根，且必有一根在区
间(0，1］内，从而方程①至少有一个根在区间［0，2］内.
故所求 m 的取值范围是 m≤－1.
歼灭难点训练
一、1.解析：对 M 将 k 分成两类：k=2n 或 k=2n+1(n∈Z),M={x|x=nπ + 4
,n∈Z}∪{x|x=
nπ + 4
3 ,n∈Z},对 N 将 k 分成四类，k=4n 或 k=4n+1,k=4n+2,k=4n+3(n∈Z),N={x|x=nπ + 2
,n
∈Z}∪{x|x=nπ + ,n∈Z}∪{x|x=nπ +π ,n∈Z}∪{x|x=nπ + 4
5 ,n∈Z}.
答案：C
2.解析：∵A∪B=A，∴B A,又 B≠ ,
∴
121
712
21
mm
m
m
即 2＜m≤4.
答案：D
二、3.a=0 或 a≥
8
9
4.解析：由 A∩B 只有 1 个交点知，圆 x2+y2=1 与直线
b
y
a
x =1 相切，则 1=
22 ba
ab
,
即 ab= 22 ba .
答案：ab= 22 ba
三、5.解：log2(x2－5x+8)=1,由此得 x2－5x+8=2，∴B={2,3}.由 x2+2x－8=0，∴C={2,－
4},又 A∩C= ，∴2 和－4 都不是关于 x 的方程 x2－ax+a2－19=0 的解，而 A∩B ,即 A
∩B≠ ,
∴3 是关于 x 的方程 x2－ax+a2－19=0 的解，∴可得 a=5 或 a=－2.
当 a=5 时，得 A={2，3}，∴A∩C={2}，这与 A∩C= 不符合，所以 a=5(舍去)；当 a=
－2 时，可以求得 A={3，－5}，符合 A∩C= ，A∩B ，∴a=－2.
6.解：(1)正确.在等差数列{an}中，Sn= 2
)( 1 naan ,则
2
1n
Sn (a1+an),这表明点(an, n
Sn ）
的坐标适合方程 y 2
1 (x+a1),于是点(an, )均在直线 y= 2
1 x+ 2
1 a1 上.
(2)正确.设(x,y)∈A∩B,则(x,y)中的坐标 x,y 应是方程组
14
1
2
1
2
1
22
1
yx
axy
的解，由方程组消
去 y 得：2a1x+a1
2=－4(*)，当 a1=0 时，方程(*)无解，此时 A∩B= ；当 a1≠0 时，方程(*)
只有一个解 x=
1
2
1
2
4
a
a ,此时，方程组也只有一解
1
2
1
1
2
1
4
4
2
4
a
ay
a
ay
,故上述方程组至多有一解.
∴A∩B 至多有一个元素.
(3）不正确.取 a1=1,d=1,对一切的 x∈N*,有 an=a1+(n－1)d=n>0, n
Sn >0,这时集合 A 中的
元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于 a1=1≠0.如果 A∩B≠ ,那么据(2）
的结论，A∩B 中至多有一个元素(x0,y0）,而 x0= 5
2
2
4
1
2
1
a
a ＜0,y0= 4
3
2
01 xa ＜0,这样
的(x0,y0）A,产生矛盾，故 a1=1,d=1 时 A∩B= ，所以 a1≠0 时，一定有 A∩B≠ 是不正
确的.
7.解：由 w= 2
1 zi+b 得 z= i
bw 22 ,
∵z∈A,∴|z－2|≤2,代入得| i
bw 22 －2|≤2,化简得|w－(b+i)|≤1.
∴集合 A、B 在复平面内对应的点的集合是两个圆面，集合 A 表示以点(2，0）为圆心，
半径为 2 的圆面，集合 B 表示以点(b,1)为圆心，半径为 1 的圆面.
又 A∩B=B，即 B A，∴两圆内含.
因此 22 )01()2( b ≤2－1,即(b－2)2≤0，∴b=2.
8.(1)证明：设 x0 是集合 A 中的任一元素，即有 x0∈A.
∵A={x|x=f(x)},∴x0=f(x0).
即有 f［f(x0)］=f(x0)=x0,∴x0∈B,故 A B.
(2)证明：∵A={－1,3}={x|x2+px+q=x},
∴方程 x2+(p－1)x+q=0 有两根－1 和 3，应用韦达定理，得
3
1
3)1(
),1(31
q
p
q
p
∴f(x)=x2－x－3.
于是集合 B 的元素是方程 f［f(x)］=x,也即(x2－x－3)2－(x2－x－3)－3=x(*)的根.
将方程(*)变形，得(x2－x－3）2－x2=0
解得 x=1,3, 3 ,－ 3 .
故 B={－ ，－1， ，3}.
充要条件的判定
充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件 p 和结论
q 之间的关系.本节主要是通过不同的知识点来剖析充分必要条件的意义，让考生能准确判定
给定的两个命题的充要关系.
●难点磁场
(★★★★★)已知关于 x 的实系数二次方程 x2+ax+b=0 有两个实数根α 、β ，证明：|
α |<2 且|β |<2 是 2|a|<4+b 且|b|<4 的充要条件.
●案例探究
［例 1］已知 p：|1－
3
1x |≤2,q:x2－2x+1－m2≤0(m>0),若⌐p 是⌐q 的必要而不充分条件，
求实数 m 的取值范围.
命题意图：本题以含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法为考查对象，同时考查了
充分必要条件及四种命题中等价命题的应用，强调了知识点的灵活性.
知识依托：本题解题的闪光点是利用等价命题对题目的文字表述方式进行转化，使考生
对充要条件的难理解变得简单明了.
错解分析：对四种命题以及充要条件的定义实质理解不清晰是解此题的难点，对否命题，
学生本身存在着语言理解上的困难.
技巧与方法：利用等价命题先进行命题的等价转化，搞清晰命题中条件与结论的关系，
再去解不等式，找解集间的包含关系，进而使问题解决.
解：由题意知：
命题：若⌐p 是⌐q 的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为：p 是 q 的充分不必要
条件.
p:|1－ |≤2 －2≤ －1≤2 －1≤ ≤3 －2≤x≤10
q:x2－2x+1－m2≤0 ［x－(1－m)］［ x－(1+m)］≤0 *
∵p 是 q 的充分不必要条件，
∴不等式|1－ |≤2 的解集是 x2－2x+1－m2≤0(m>0)解集的子集.
又∵m>0
∴不等式*的解集为 1－m≤x≤1+m
∴
9
1
101
21
m
m
m
m ，∴m≥9，
∴实数 m 的取值范围是［9，+∞ ) .
［例 2］已知数列{an}的前 n 项 Sn=pn+q(p≠0,p≠1),求数列{an}是等比数列的充要条件.
命题意图：本题重点考查充要条件的概念及考生解答充要条件命题时的思维的严谨性.
知识依托：以等比数列的判定为主线，使本题的闪光点在于抓住数列前 n 项和与通项之
间的递推关系，严格利用定义去判定.
错解分析：因为题目是求的充要条件，即有充分性和必要性两层含义，考生很容易忽视
充分性的证明.
技巧与方法：由 an=
)2(
)1(
1
1
nSS
nS
nn
关系式去寻找 an 与 an+1 的比值，但同时要注意充
分性的证明.
解：a1=S1=p+q.
当 n≥2 时，an=Sn－Sn－1=pn－1(p－1)
∵p≠0,p≠1,∴
)1(
)1(
1
pp
pp
n
n
=p
若{an}为等比数列，则
n
n
a
a
a
a 1
1
2 =p
∴
qp
pp
)1( =p,
∵p≠0，∴p－1=p+q，∴q=－1
这是{an}为等比数列的必要条件.
下面证明 q=－1 是{an}为等比数列的充分条件.
当 q=－1 时，∴Sn=pn－1(p≠0,p≠1)，a1=S1=p－1
当 n≥2 时，an=Sn－Sn－1=pn－pn－1=pn－1(p－1)
∴an=(p－1)pn－1 (p≠0,p≠1)
2
1
1 )1(
)1(
n
n
n
n
pp
pp
a
a =p 为常数
∴q=－1 时，数列{an}为等比数列.即数列{an}是等比数列的充要条件为 q=－1.
●锦囊妙计
本难点所涉及的问题及解决方法主要有：
(1)要理解“充分条件”“必要条件”的概念：当“若 p 则 q”形式的命题为真时，就记
作 p q，称 p 是 q 的充分条件，同时称 q 是 p 的必要条件，因此判断充分条件或必要条件
就归结为判断命题的真假.
(2)要理解“充要条件”的概念，对于符号“ ”要熟悉它的各种同义词语：“等价于”，
“当且仅当”，“必须并且只需”，“……，反之也真”等.
(3)数学概念的定义具有相称性，即数学概念的定义都可以看成是充要条件，既是概念
的判断依据，又是概念所具有的性质.
(4)从集合观点看，若 A B，则 A 是 B 的充分条件，B 是 A 的必要条件；若 A=B，则 A、
B 互为充要条件.
(5)证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆
命题成立(即条件的必要性).
●歼灭难点训练
一、选择题
1.(★★★★)函数 f(x)=x|x+a|+b 是奇函数的充要条件是( )
A.ab=0 B.a+b=0 C.a=b D.a2+b2=0
2.(★★★★)“a=1”是函数 y=cos2ax－sin2ax 的最小正周期为“π ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既非充分条件也不是必要条件
二、填空题
3.(★★★★)a=3 是直线 ax+2y+3a=0 和直线 3x+(a－1)y=a－7 平行且不重合的
_________.
4.(★★★★)命题 A：两曲线 F(x,y)=0 和 G(x,y)=0 相交于点 P(x0,y0),命题 B：曲线 F(x,y)+
λ G(x,y)=0(λ 为常数)过点 P(x0,y0),则 A 是 B 的__________条件.
三、解答题
5.(★★★★★)设α ，β 是方程 x2－ax+b=0 的两个实根，试分析 a>2 且 b>1 是两根α 、
β 均大于 1 的什么条件？
6.(★★★★★)已知数列{an}、{bn}满足：bn= n
naaa n
321
2 21 ,求证：数列{an}成等差
数列的充要条件是数列{bn}也是等差数列.
7.(★★★★★)已知抛物线 C：y=－x2+mx－1 和点 A(3，0)，B(0，3)，求抛物线 C 与线
段 AB 有两个不同交点的充要条件.
8.(★★★★★)p:－20.
即有
024
024
ba
ba 4+b>2a>－(4+b)
又|b|＜4 4+b>0 2|a|＜4+b
(2)必要性：
由 2|a|＜4+b f(±2)>0 且 f(x)的图象是开口向上的抛物线.
∴方程 f(x)=0 的两根α ，β 同在(－2，2）内或无实根.
∵α ，β 是方程 f(x)=0 的实根，
∴α ，β 同在(－2，2）内，即|α |＜2 且|β |＜2.
歼灭难点训练
一、1.解析：若 a2+b2=0,即 a=b=0,此时 f(－x)=(－x)|x+0|+0=－x·|x|=－(x|x+0|+b)
=－(x|x+a|+b)=－f(x).
∴a2+b2=0 是 f(x)为奇函数的充分条件，又若 f(x)=x|x+a|+b 是奇函数，即 f(－x)=
(－x)|(－x)+a|+b=－f(x),则必有 a=b=0,即 a2+b2=0.
∴a2+b2=0 是 f(x)为奇函数的必要条件.
答案：D
2.解析：若 a=1,则 y=cos2x－sin2x=cos2x,此时 y 的最小正周期为π .故 a=1 是充分条件，
反过来，由 y=cos2ax－sin2ax=cos2ax.故函数 y 的最小正周期为π ,则 a=±1,故 a=1 不是必要
条件.
答案：A
二、3.解析：当 a=3 时，直线 l1:3x+2y+9=0;直线 l2:3x+2y+4=0.∵l1 与 l2 的 A1∶A2=B1∶B2=1∶
1，而 C1∶C2=9∶4≠1,即 C1≠C2,∴a=3 l1∥l2.
答案：充要条件
4.解析：若 P(x0,y0)是 F(x,y)=0 和 G(x,y)=0 的交点，则 F(x0,y0)+λ G(x0,y0)=0，即 F(x,y)+
λ G(x,y)=0，过 P(x0,y0);反之不成立.
答案：充分不必要
三、5.解：根据韦达定理得 a=α +β ,b=αβ.判定的条件是 p:
1
2
b
a 结论是 q:
1
1
(注
意 p 中 a、b 满足的前提是Δ =a2－4b≥0)
(1)由 ，得 a=α +β >2,b=αβ>1,∴q p
(2)为证明 p q,可以举出反例：取α =4,β = 2
1 ,它满足 a=α +β =4+ 2
1 >2,b=αβ=4×
=2>1,但 q 不成立.
综上讨论可知 a>2,b>1 是α >1,β >1 的必要但不充分条件.
6.证明：①必要性：
设{an}成等差数列，公差为 d,∵{an}成等差数列.
dnann
nndna
n
naaab n
n 3
2)1(1
])1(3221[)21(
321
2
1
121
从而 bn+1－bn=a1+n·
3
2 d－a1－(n－1)
3
2 d= d 为常数.
故{bn}是等差数列，公差为 d.
②充分性:
设{bn}是等差数列，公差为 d′,则 bn=(n－1)d
∵bn(1+2+…+n)=a1+2a2+…+nan ①
bn－1(1+2+…+n－1)=a1+2a2+…+(n－1)an ②
①－②得：nan= 2
)1(
2
)1( nnbnn
n bn－1
∴ an= dnbdnbndnbnbnbn
nn
2
3)1(])2([2
1])1([2
1
2
1
2
1
1111 ,
从而得 an+1－an= 2
3 d′为常数，故{an}是等差数列.
综上所述，数列{an}成等差数列的充要条件是数列{bn}也是等差数列.
7.解：①必要性：
由已知得，线段 AB 的方程为 y=－x+3(0≤x≤3)
由于抛物线 C 和线段 AB 有两个不同的交点，
所以方程组
)30(3
12
xxy
mxxy *有两个不同的实数解.
消元得：x2－(m+1)x+4=0(0≤x≤3)
设 f(x)=x2－(m+1)x+4,则有
32
10
3
10304)1(39)3(
04)0(
044)1( 2
m
mmf
f
m
②充分性：
当 3＜x≤
3
10 时，
x1= 2
)1(1
2
16)1(1 22 mmmm >0
32
16)13
10(13
10
2
16)1(1
2
2
2
mmx
∴方程 x2－(m+1)x+4=0 有两个不等的实根 x1,x2,且 0＜x1＜x2≤3,方程组*有两组不同的
实数解.
因此，抛物线 y=－x2+mx－1 和线段 AB 有两个不同交点的充要条件 3＜m≤
3
10 .
8.解：若关于 x 的方程 x2+mx+n=0 有 2 个小于 1 的正根，设为 x1,x2.
则 0＜x1＜1,0＜x2＜1,有 0＜x1+x2＜2 且 0＜x1x2＜1,
根据韦达定理：
10
20
21
21
n
m
nxx
mxx 得
有－2＜m＜0;0＜n＜1 即有 q p.
反之，取 m=－
2
149
1,02
1
3
1,2
1,3
1 2 xxn ＜0
方程 x2+mx+n=0 无实根，所以 p q
综上所述，p 是 q 的必要不充分条件.
运用向量法解题
平面向量是新教材改革增加的内容之一，近几年的全国使
用新教材的高考试题逐渐加大了对这部分内容的考查力度，本
节内容主要是帮助考生运用向量法来分析，解决一些相关问题.
●难点磁场
(★★★★★)三角形 ABC 中，A(5，－1)、B(－1，7)、C(1，
2)，求：(1)BC 边上的中线
AM 的长；(2)∠CAB 的平分线 AD 的长；(3)cosABC 的值.
●案例探究
［例 1］如图，已知平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 ABCD 是菱形，且∠C1CB=
∠C1CD=∠BCD.
(1)求证：C1C⊥BD.
(2)当
1CC
CD 的值为多少时，能使 A1C⊥平面 C1BD？请给出证明.
命题意图：本题主要考查考生应用向量法解决向量垂直，夹角等问题以及对立体几何图
形的解读能力.
知识依托：解答本题的闪光点是以向量来论证立体几何中的垂直问题，这就使几何问题
代数化，使繁琐的论证变得简单.
错解分析：本题难点是考生理不清题目中的线面位置关系和数量关系的相互转化，再就
是要清楚已知条件中提供的角与向量夹角的区别与联系.
技巧与方法：利用 a⊥b a·b=0 来证明两直线垂直，只要证明两直线对应的向量的数
量积为零即可.
(1)证明：设CD =a, CB =b, 1CC =c,依题意，|a|=|b|， CD 、 中两两所成夹
角为θ ，于是 DBCDBD =a－b， BDCC 1 =c(a－b)=c·a－c·b=|c|·|a|cosθ －|c|·|b|cos
θ =0,∴C1C⊥BD.
(2)解：若使 A1C⊥平面 C1BD，只须证 A1C⊥BD，A1C⊥DC1，
由 )()( 1111 CCCDAACADCCA
=(a+b+c)·(a－c)=|a|2+a·b－b·c－|c|2=|a|2－|c|2+|b|·|a|cosθ －|b|·|c|·cosθ =0,得
当|a|=|c|时，A1C⊥DC1，同理可证当|a|=|c|时，A1C⊥BD，
∴
1CC
CD =1 时，A1C⊥平面 C1BD.
［例 2］如图，直三棱柱 ABC—A1B1C1，底面△ABC 中，
CA=CB=1，∠BCA=90°，AA1=2，M、N 分别是 A1B1、A1A 的中
点.
(1)求 BN 的长；
(2)求 cos< 11,CBBA >的值；
(3)求证：A1B⊥C1M.
命题意图：本题主要考查考生运用向量法中的坐标运算的方法来解决立体几何问题.属
★★★★级题目.
知识依托：解答本题的闪光点是建立恰当的空间直角坐标系 O－xyz,进而找到点的坐标
和求出向量的坐标.
错解分析：本题的难点是建系后，考生不能正确找到点的坐标.
技巧与方法：可以先找到底面坐标面 xOy 内的 A、B、C 点坐标，然后利用向量的模及
方向来找出其他的点的坐标.
(1)解：如图，以 C 为原点建立空间直角坐标系 O－xyz.
依题意得：B(0，1，0)，N(1，0，1)
∴| BN |= 3)01()10()01( 222 .
(2)解：依题意得：A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2).
∴ 1BA = 1),2,1,1( CB =(0，1，2)
11 CBBA =1×0+(－1)×1+2×2=3
| 1BA |= 6)02()10()01( 222
5)02()01()00(|| 222
1 CB
.10
30
56
3
||||
,cos
11
11
11
CBBC
CBBACBBA
(3)证明：依题意得：C1(0，0，2)，M( 2,2
1,2
1 )
)2,1,1(),0,2
1,2
1( 11 BAMC
∴ ,,00)2(2
112
1)1( 1111 MCBAMCBA
∴A1B⊥C1M.
●锦囊妙计
1.解决关于向量问题时，一要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地
进行向量的各种运算，加深对向量的本质的认识.二是向量的坐标运算体现了数与形互相转
化和密切结合的思想.
2.向量的数量积常用于有关向量相等，两向量垂直、射影、夹角等问题中.常用向量的直
角坐标运算来证明向量的垂直和平行问题；利用向量的夹角公式和距离公式求解空间两条直
线的夹角和两点间距离的问题.
3.用空间向量解决立体几何问题一般可按以下过程进行思考：
(1)要解决的问题可用什么向量知识来解决？需要用到哪些向量？
(2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表示？
(3)所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示，则它们分别最易用哪个未
知向量表示？这些未知向量与由已知条件转化的向量有何关系？
(4)怎样对已经表示出来的所需向量进行运算，才能得到需要的结论？
●歼灭难点训练
一、选择题
1.(★★★★)设 A、B、C、D 四点坐标依次是(－1，0)，(0，2)，(4，3)，(3，1)，则四
边形 ABCD 为( )
A.正方形 B.矩形
C.菱形 D.平行四边形
2.(★★★★)已知△ABC AB=a， AC =b，a·b<0，S△ABC= 4
15,|a|=3,|b|=5,则 a 与 b
的夹角是( )
A.30° B.－150° C.150° D.30°或 150°
二、填空题
3.(★★★★★)将二次函数 y=x2 的图象按向量 a 平移后得到的图象与一次函数 y=2x－5
的图象只有一个公共点(3，1)，则向量 a=_________.
4.(★★★★)等腰△ABC 和等腰 Rt△ABD 有公共的底边 AB，它们所在的平面成 60°角，
若 AB=16 cm,AC=17 cm,则 CD=_________.
三、解答题
5.(★★★★★)如图，在△ABC 中，设 AB=a，AC =b，AP =c,
AD =λ a,(0<λ <1), AE =μ b(0<μ <1),试用向量 a，b 表示 c.
6.(★★★★)正三棱柱 ABC—A1B1C1 的底面边长为 a,侧棱长为
2 a.
(1)建立适当的坐标系，并写出 A、B、A1、C1 的坐标；
(2)求 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角.
7.(★★★★★)已知两点 M(－1，0)，N(1，0)，且点 P 使 NPNMPNPMMNMP ,, 成
公差小于零的等差数列.
(1)点 P 的轨迹是什么曲线？
(2)若点 P 坐标为(x0,y0),Q 为 PM 与 PN 的夹角，求 tanθ .
8.(★★★★★)已知 E、F、G、H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 的
.
(1)用向量法证明 E、F、G、H 四点共面；
(2)用向量法证明：BD∥平面 EFGH；
(3)设 M 是 EG 和 FH 的交点，求证：对空间任一点 O，有 )(4
1 ODOCOBOAOM .
参考答案
难点磁场
解：(1)点 M 的坐标为 xM= )2
9,0(,2
9
2
27;02
11 MyM
.2
221)2
91()05(|| 22 AM
5)21()15(||,10)71()15(||)2( 2222 ACAB
D 点分 BC 的比为 2.
∴xD= 3
11
21
227,3
1
21
121
Dy
.23
14)3
111()3
15(|| 22 AD
(3)∠ABC 是 BA与 BC 的夹角，而 =(6，8）， =(2，－5）.
145
2629
2910
52
)5(2)8(6
)5()8(26
||||
cos
2222
BCBA
BCBAABC
歼灭难点训练
一、1.解析： AB =(1，2）， DC =(1，2），∴ AB= DC ，∴ ∥ ，又线段 AB 与
线段 DC 无公共点，∴AB∥DC 且|AB|=|DC|，∴ ABCD 是平行四边形，又| |= 5 ，AC =(5，
3）， | |= 34 ，∴| |≠| AC }, ABCD 不是菱形，更不是正方形；又 BC =(4，1），
∴1·4+2·1=6≠0,∴ 不垂直于 BC ，∴ABCD 也不是矩形，故选 D.
答案：D
2.解析：∵
2
1
4
15 ·3·5sinα 得 sinα = 2
1 ,则α =30°或α =150°.
又∵a·b＜0,∴α =150°.
答案：C
二、3.(2,0) 4.13 cm
三、5.解：∵ BP 与 BE 共线，∴ BP =m BE =m( AE － AB)=m(μ b－a),
∴ AP= + =a+m(μ b－a)=(1－m)a+mμ b ①
又CP 与CD 共线，∴CP =nCD =n( AD － AC )=n(λ a－b),
∴ = AC + =b+n(λ a－b)=nλ a+(1－n)b ②
由①②，得(1－m）a+μ mb=λ na+(1－n)b.
∵a 与 b 不共线，∴
01
01
1
1
mn
mn
nm
am
即 ③
解方程组③得：m=
1
1,1
1 n 代入①式得 c=(1－m)a+mμ b= 1
1 ［λ (1－μ )a+
μ (1－λ )b］.
6.解：(1)以点 A 为坐标原点 O，以 AB 所在直线为 Oy 轴，以 AA1 所在直线为 Oz 轴，以
经过原点且与平面 ABB1A1 垂直的直线为 Ox 轴，建立空间直角坐标系.
由已知，得 A(0，0，0）， B(0，a,0）,A1(0,0, 2 a),C1(－ ,2,2
3 aa 2 a).
(2)取 A1B1 的中点 M，于是有 M(0， 2,2
a a），连 AM，MC1，有 1MC =(－
2
3 a,0,0）,
且 AB=(0，a,0）, 1AA =(0,0 2 a)
由于 1MC · AB=0， · =0，所以 MC1⊥面 ABB1A1，∴AC1 与 AM 所成的角就
是 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角.
∵ 1AC = ),2,2,0(),2,2,2
3( aaAMaaa
aaaAMAC 4
9240 2
2
1
aaaAMaaaaAC 2
324||,324
1
4
3||
2
222
1 而
2
3
2
33
4
9
,cos
2
1
aa
a
AMAC
所以 AMAC 与1 所成的角，即 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角为 30°.
7.解：(1)设 P(x,y）,由 M(－1，0）， N(1，0）得，PM =－ MP =(－1－x,－y）, NPPN
=(1－x,－y), MN =－ NM =(2,0),∴ · =2(1+x), ·PN =x2+y2－1, NPNM =2(1
－x).于是， NPNMPNPMMNMP ,, 是公差小于零的等差数列，等价于
0
3
0)1(2)1(2
)]1(2)1(2[2
11 222
x
yx
xx
xxyx 即
所以，点 P 的轨迹是以原点为圆心， 3 为半径的右半圆.
(2)点 P 的坐标为(x0,y0)
,30,1cos2
1,30
4
1
||
cos
42)24)(24(
)1()1(||||,21
0
2
0
2
000
2
0
2
0
2
0
22
0
2
0
x
xPNPM
PNPM
xxx
yxyxPNPMyxPNPM
||3cos
sintan,
4
11cos1sin 0
2
02
0
2 yx
x
8.证明：(1）连结 BG，则 EHEFEHBFEBBDBCEBBGEBEG )(2
1
由共面向量定理的推论知：E、F、G、H 四点共面，(其中
2
1 BD = EH ）
(2）因为 BDABADABADAEAHEH 2
1)(2
1
2
1
2
1 .
所以 EH∥BD，又 EH 面 EFGH，BD 面 EFGH
所以 BD∥平面 EFGH.
(3）连 OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG
由(2）知 BDEH 2
1 ，同理 BDFG 2
1 ，所以 FGEH ，EH FG,所以 EG、FH 交
于一点 M 且被 M 平分，所以
).(4
1
)](2
1[2
1)](2
1[2
1
2
1
2
1)(2
1
ODOCOBOA
ODOCOBOAOGOEOGOEOM
.
三个“二次”及关系
三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，
具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具.高考试
题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关.本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及
联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法.
●难点磁场
已知对于 x 的所有实数值，二次函数 f(x)=x2－4ax+2a+12(a∈R)的值都是非负的，求关
于 x 的方程
2a
x =|a－1|+2 的根的取值范围.
●案例探究
［例 1］已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c 和一次函数 g(x)=－bx，其中 a、b、c 满足
a>b>c,a+b+c=0,(a,b,c∈R).
(1)求证：两函数的图象交于不同的两点 A、B；
(2)求线段 AB 在 x 轴上的射影 A1B1 的长的取值范围.
命题意图：本题主要考查考生对函数中函数与方程思想的运用能力.属于★★★★★题
目.
知识依托：解答本题的闪光点是熟练应用方程的知识来解决问题及数与形的完美结合.
错解分析：由于此题表面上重在“形”，因而本题难点就是一些考生可能走入误区，老
是想在“形”上找解问题的突破口，而忽略了“数”.
技巧与方法：利用方程思想巧妙转化.
(1)证明：由
bxy
cbxaxy 2
消去 y 得 ax2+2bx+c=0
Δ =4b2－4ac=4(－a－c)2－4ac=4(a2+ac+c2)=4［(a+ 4
3)2
2 c c2］
∵a+b+c=0,a>b>c,∴a>0,c<0
∴
4
3 c2>0,∴Δ >0,即两函数的图象交于不同的两点.
(2)解：设方程 ax2+bx+c=0 的两根为 x1 和 x2,则 x1+x2=－
a
b2 ,x1x2= a
c .
|A1B1|2=(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2
]4
3)2
1[(4]1)[(4
4)(4444)2(
22
2
2
2
2
2
a
c
a
c
a
c
a
acca
a
acb
a
c
a
b
∵a>b>c,a+b+c=0,a>0,c<0
∴a>－a－c>c,解得
a
c ∈(－2,－
2
1 )
∵ ]1)[(4)( 2 a
c
a
c
a
cf 的对称轴方程是
2
1a
c .
a
c ∈(－2,－
2
1 )时，为减函数
∴|A1B1|2∈(3,12),故|A1B1|∈( 32,3 ).
［例 2］已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0.
(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求 m 的范围.
(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求 m 的范围.
命题意图：本题重点考查方程的根的分布问题，属★★★★级题目.
知识依托：解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义.
错解分析：用二次函数的性质对方程的根进行限制时，条件不
严谨是解答本题的难点.
技巧与方法：设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，
然后用函数性质加以限制.
解：(1)条件说明抛物线 f(x)=x2+2mx+2m+1 与 x 轴的交点分别在
区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图，得
6
5
,2
1
,
2
1
056)2(
,024)1(
,02)1(
,012)0(
m
m
Rm
m
mf
mf
f
mf
∴
2
1
6
5 m .
(2)据抛物线与 x 轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组
10
,0
,0)1(
,0)0(
m
f
f
.01
,2121
,2
1
,2
1
m
mm
m
m
或
(这里 0<－m<1 是因为对称轴 x=－m 应在区间(0，1)内通过)
●锦囊妙计
1.二次函数的基本性质
(1)二次函数的三种表示法：
y=ax2+bx+c;y=a(x－x1)(x－x2);y=a(x－x0)2+n.
(2)当 a>0,f(x)在区间［p,q］上的最大值 M，最小值 m,令 x0= 2
1 (p+q).
若－
a
b
2 0 时，f(α )
|β + |;
(3) 当 a>0 时 ， 二 次 不 等 式 f(x)>0 在［p,q ］ 恒 成 立
,0)(
,2
pf
pa
b
或
;0)(
;2
,0)2(
,2
qf
pa
b
a
bf
qa
bp
或
(4)f(x)>0 恒成立
.0
0
,0
,00)(;0
,0
,0
,0
c
baaxfc
baa 或恒成立或
●歼灭难点训练
一、选择题
1.(★★★★)若不等式(a－2)x2+2(a－2)x－4<0 对一切 x∈R 恒成立，则 a 的取值范围是
( )
A.(－∞,2 ] B.[ －2,2 C.(－2,2 D.(－∞,－2)
2.(★★★★)设二次函数 f(x)=x2－x+a(a>0),若 f(m)<0,则 f(m－1)的值为( )
A.正数 B.负数
C.非负数 D.正数、负数和零都有可能
二、填空题
3.(★★★★★)已知二次函数 f(x)=4x2－2(p－2)x－2p2－p+1,若在区间［－1，1］内至少
存在一个实数 c,使 f(c)>0,则实数 p 的取值范围是_________.
4.(★★★★★)二次函数 f(x)的二次项系数为正，且对任意实数 x 恒有 f(2+x)=f(2－x),若
f(1－2x2)0 且 a≠1)
(1)令 t=ax,求 y=f(x)的表达式；
(2)若 x∈(0,2 时，y 有最小值 8，求 a 和 x 的值.
6.(★★★★)如果二次函数 y=mx2+(m－3)x+1 的图象与 x 轴的交点至少有一个在原点的
右侧，试求 m 的取值范围.
7.(★★★★★)二次函数 f(x)=px2+qx+r 中实数 p、q、r 满足
m
r
m
q
m
p 12 =0,其中
m>0,求证：
(1)pf( 1m
m )<0;
(2)方程 f(x)=0 在(0，1)内恒有解.
8.(★★★★)一个小服装厂生产某种风衣，月销售量 x(件)与售价 P(元/件)之间的关系为
P=160－2x,生产 x 件的成本 R=500+30x 元.
(1)该厂的月产量多大时，月获得的利润不少于 1300 元？
(2)当月产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少元？
参考答案
难点磁场
解：由条件知Δ ≤0,即(－4a）2－4(2a+12)≤0,∴－
2
3 ≤a≤2
(1)当－ ≤a＜1 时，原方程化为：x=－a2+a+6,∵－a2+a+6=－(a－
2
1 )2+ 4
25.
∴a=－
2
3 时，xmin= 4
9 ,a= 2
1 时，xmax= 4
25.
∴
4
9 ≤x≤
4
25.
(2)当 1≤a≤2 时，x=a2+3a+2=(a+ 2
3 )2－
4
1
∴当 a=1 时，xmin=6,当 a=2 时，xmax=12,∴6≤x≤12.
综上所述, 4
9 ≤x≤12.
歼灭难点训练
一、1.解析：当 a－2=0 即 a=2 时,不等式为－4＜0,恒成立.∴a=2,当 a－2≠0 时，则 a
满足
0
02a ,解得－2＜a＜2,所以 a 的范围是－2＜a≤2.
答案：C
2.解析：∵f(x)=x2－x+a 的对称轴为 x= 2
1 ,且 f(1)>0,则 f(0)>0,而 f(m)＜0,∴m∈(0,1),
∴m－1＜0,∴f(m－1)>0.
答案：A
二、3.解析：只需 f(1)=－2p2－3p+9>0 或 f(－1)=－2p2+p+1>0 即－3＜p＜
2
3 或－
2
1 ＜p
＜1.∴p∈(－3,
2
3 ).
答案：(－3， ）
4.解析：由 f(2+x)=f(2－x)知 x=2 为对称轴，由于距对称轴较近的点的纵坐标较小，
∴|1－2x2－2|＜|1+2x－x2－2|,∴－2＜x＜0.
答案：－2＜x＜0
三、5.解：(1）由 loga 33 log
a
y
a
t
t 得 logat－3=logty－3logta
由 t=ax 知 x=logat，代入上式得 x－3= xx
ya 3log ,
∴logay=x2－3x+3，即 y=a 332 xx (x≠0).
(2)令 u=x2－3x+3=(x－
2
3 )2+ 4
3 (x≠0),则 y=au
①若 0＜a＜1,要使 y=au 有最小值 8，
则 u=(x－ )2+ 在(0，2 ] 上应有最大值，但 u 在(0，2 上不存在最大值.
②若 a>1,要使 y=au 有最小值 8，则 u=(x－
2
3 )2+ ,x∈(0,2 应有最小值
∴当 x= 时，umin= ,ymin= 4
3
a
由 4
3
a =8 得 a=16.∴所求 a=16,x= 2
3 .
6.解：∵f(0)=1>0
(1)当 m＜0 时，二次函数图象与 x 轴有两个交点且分别在 y 轴两侧，符合题意.
(2）当 m>0 时，则
03
0
m
m 解得 0＜m≤1
综上所述，m 的取值范围是{m|m≤1 且 m≠0}.
7.证明：(1) ])1()1([)1( 2 rm
mqm
mppm
mpf
]
)2()1(
)1()2([
]2)1(
[]1)1(
[
2
2
2
22
mm
mmmmp
m
p
m
pmpmm
r
m
q
m
pmpm
)2()1(
1
2
2
mm
pm ,由于 f(x)是二次函数，故 p≠0,又 m>0,所以，pf( 1m
m )＜0.
(2)由题意，得 f(0)=r,f(1)=p+q+r
①当 p＜0 时，由(1）知 f( )＜0
若 r>0,则 f(0)>0,又 f( )＜0,所以 f(x)=0 在(0， )内有解;
若 r≤0,则 f(1)=p+q+r=p+(m+1)=(－
m
r
m
p 2 )+r= m
r
m
p 2 >0,
又 f( )＜0,所以 f(x)=0 在( ,1)内有解.
②当 p＜0 时同理可证.
求解函数解析式
求解函数解析式是高考重点考查内容之一，需引起重视.本节主要帮助考生在深刻理解
函数定义的基础上，掌握求函数解析式的几种方法，并形成能力，并培养考生的创新能力和
解决实际问题的能力.
●难点磁场
(★★★★)已知 f(2－cosx)=cos2x+cosx,求 f(x－1).
●案例探究
［例 1］(1)已知函数 f(x)满足 f(logax)= )1(
12 xx
a
a
(其中 a>0,a≠1,x>0),求 f(x)的表达
式.
(2)已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c 满足|f(1)|=|f(－1)|=|f(0)|=1, f(x) .
命题意图：本题主要考查函数概念中的三要素：定义域、值域和对应法则，以及计算能
力和综合运用知识的能力.属★★★★题目.
知识依托：利用函数基础知识，特别是对“f”的理解，用好等价转化，注意定义域.
错解分析：本题对思维能力要求较高，对定义域的考查、等价转化易出错.
技巧与方法：(1)用换元法；(2)用待定系数法.
解：(1)令 t=logax(a>1,t>0;01,x>0;01
时 f(x)等于( )
A.f(x)=(x+3)2－1 B.f(x)=(x－3)2－1
C.f(x)=(x－3)2+1 D.f(x)=(x－1)2－1
二、填空题
3.(★★★★★)已知 f(x)+2f( x
1 )=3x,求 f(x)的解析式为_________.
4.(★★★★★)已知 f(x)=ax2+bx+c,若 f(0)=0 且 f(x+1)=f(x)+x+1,则 f(x)=_________.
三、解答题
5.(★★★★)设二次函数 f(x)满足 f(x－2)=f(－x－2),且其图象在 y 轴上的截距为 1，在 x
轴上截得的线段长为 2 ，求 f(x)的解析式.
6.(★★★★)设 f(x)是在(－∞,+∞)上以 4 为周期的函数，且 f(x)是偶函数，在区间［2，
3］上时，f(x)=－2(x－3)2+4，求当 x∈［1,2］时 f(x)的解析式.若矩形 ABCD 的两个顶点 A、
B 在 x 轴上，C、D 在 y=f(x)(0≤x≤2)的图象上，求这个矩形面积的最大值.
7.(★★★★★)动点 P 从边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A 出
发顺次经过 B、C、D 再回到 A，设 x 表示 P 点的行程，f(x)表示 PA
的长，g(x)表示△ABP 的面积，求 f(x)和 g(x),并作出 g(x)的简图.
8.(★★★★★)已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的周期函数，周
期 T=5，函数 y=f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，又知 y=f(x)在［0，1］
上是一次函数，在［1，4］上是二次函数，且在 x=2 时，函数取得
最小值，最小值为－5.
(1)证明：f(1)+f(4)=0;
(2)试求 y=f(x),x∈［1,4］的解析式；
(3)试求 y=f(x)在［4，9］上的解析式.
参考答案
难点磁场
解法一：(换元法）
∵f(2－cosx)=cos2x－cosx=2cos2x－cosx－1
令 u=2－cosx(1≤u≤3),则 cosx=2－u
∴f(2－cosx)=f(u)=2(2－u)2－(2－u)－1=2u2－7u+5(1≤u≤3)
∴f(x－1)=2(x－1)2－7(x－1)+5=2x2－11x+4(2≤x≤4)
解法二：(配凑法）
f(2－cosx)=2cos2x－cosx－1=2(2－cosx)2－7(2－cosx）+5
∴f(x)=2x2－7x－5(1≤x≤3),即 f(x－1)=2(x－1)2－7(x－1)+5=2x2－11x+14(2≤x≤4).
歼灭难点训练
一、1.解析：∵f(x)= 34 x
mx .
∴f［f(x)］=
3344
34
x
mx
x
mxm
=x,整理比较系数得 m=3.
答案：A
2.解析：利用数形结合，x≤1 时，f(x)=(x+1)2－1 的对称轴为 x=－1,最小值为－1，又 y=f(x)
关于 x=1 对称，故在 x>1 上，f(x)的对称轴为 x=3 且最小值为－1.
答案：B
二、3.解析：由 f(x)+2f( x
1 )=3x 知 f( x
1 )+2f(x)=3 .由上面两式联立消去 f( )可得 f(x)= x
2
－x.
答案：f(x)=
x
2 －x
4.解析：∵f(x)=ax2+bx+c,f(0)=0,可知 c=0.又 f(x+1)=f(x)+x+1,
∴a(x+1)2+b(x+1)+0=ax2+bx+x+1,即(2a+b）x+a+b=bx+x+1.
故 2a+b=b+1 且 a+b=1,解得 a= 2
1 ,b= ,∴f(x)= x2+ x.
答案： x2+ x
三、5.解：利用待定系数法，设 f(x)=ax2+bx+c,然后找关于 a、b、c 的方程组求解，
f(x)= 17
8
7
2 2 xx .
6.解：(1)设 x∈［1,2］,则 4－x∈［2,3］,∵f(x)是偶函数，∴f(x)=f(－x),又因为 4 是 f(x)
的周期，∴f(x)=f(－x)=f(4－x)=－2(x－1)2+4.
(2)设 x∈［0，1］，则 2≤x+2≤3,f(x)=f(x+2)=－2(x－1)2+4,又由(1）可知 x∈［0,2］时，
f(x)=－2(x－1)2+4,设 A、B 坐标分别为(1－t,0）,(1+t,0)(0＜t≤1 ) ,则|AB|=2t,|AD|=－2t2+4,S 矩形
=2t(－2t2+4)=4t(2－t2),令 S 矩=S，∴
8
2S =2t2(2－t2)·(2－t2)≤( 3
222 222 ttt )3= 27
64 ,当
且仅当 2t2=2－t2,即 t= 3
6 时取等号.∴S2≤
27
864 即 S≤
9
616 ,∴Smax= 9
616 .
7.解：(1)如原题图，当 P 在 AB 上运动时，PA=x;当 P 点在 BC 上运动时，由 Rt△ABD
PA= 2)1(1 x ;当 P 点在 CD 上运动时，由 Rt△ADP 易得 PA= 2)3(1 x ;当 P
点在 DA 上运动时，PA=4－x,故 f(x)的表达式为：
f(x)=
)43( 4
)32( 106
)21( 22
)10(
2
2
xx
xxx
xxx
xx
(2)由于 P 点在折线 ABCD 上不同位置时，△ABP 的形状各有特征，计算它们的面积也
有不同的方法，因此同样必须对 P 点的位置进行分类求解.
如原题图，当 P 在线段 AB 上时，△ABP 的面积 S=0；当 P 在 BC 上时，即 1＜x≤2 时，
S△ABP= 2
1 AB·BP= 2
1 (x－1）；当 P 在 CD 上时，即 2＜x≤3 时，S△ABP= ·1·1= ；当 P
在 DA 上时，即 3＜x≤4 时，S△ABP= (4－x).
故 g(x)=
)43( )4(2
1
)32( 2
1
)21( )1(2
1
)10( 0
xx
x
xx
x
8.(1)证明：∵y=f(x)是以 5 为周期的周期函数，∴f(4)=f(4－5)=f(－1),又 y=f(x)(－1≤x≤
1)是奇函数，∴f(1)=－f(－1)=－f(4),∴f(1)+f(4)=0.
(2)解：当 x∈［1,4］时，由题意，可设 f(x)=a(x－2)2－5(a≠0),由 f(1)+f(4)=0 得 a(1－2)2
－5+a(4－2)2－5=0，解得 a=2,∴f(x)=2(x－2)2－5(1≤x≤4).
(3)解：∵y=f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，∴f(0)=－f(－0),∴f(0)=0,又 y=f(x) (0≤x≤1)是一
次函数，∴可设 f(x)=kx(0≤x≤1),∵f(1)=2(1－2)2－5=－3,又 f(1)=k·1=k,∴k=－3.∴当 0≤x
≤1 时，f(x) =－3x,当－1≤x＜0 时，f(x)=－3x,当 4≤x≤6 时，－1≤x－5≤1,∴f(x)=f(x－5)=
－3(x－5)=－3x+15, 6＜x≤9 时，1＜x－5≤4,f(x)=f(x－5)=2［(x－5)－2］2－5=2(x－7)2
－5.∴f(x)=
)96( 5)7(2
)64( 153
2 xx
xx
.
函数值域及求法
函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.本节主要帮助考生灵活掌握求
值域的各种方法，并会用函数的值域解决实际应用问题.
●难点磁场
(★★★★★)设 m 是实数，记 M={m|m>1},f(x)=log3(x2－4mx+4m2+m+ 1
1
m ).
(1)证明：当 m∈M 时，f(x)对所有实数都有意义；反之，若 f(x)对所有实数 x 都有意义，
则 m∈M.
(2)当 m∈M 时，求函数 f(x)的最小值.
(3)求证：对每个 m∈M,函数 f(x)的最小值都不小于 1.
●案例探究
［例 1］设计一幅宣传画，要求画面面积为 4840 cm2,画面的宽与高的比为λ (λ <1),画面
的上、下各留 8 cm 的空白，左右各留 5 cm 空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，才能使宣传
画所用纸张面积最小？如果要求λ ∈［
4
3,3
2 ］，那么λ 为何值时，能使宣传画所用纸张面积
最小？
命题意图：本题主要考查建立函数关系式和求函数最小值问题，同时考查运用所学知识
解决实际问题的能力，属★★★★★级题目.
知识依托：主要依据函数概念、奇偶性和最小值等基础知识.
错解分析：证明 S(λ )在区间［
4
3,3
2 ］上的单调性容易出错，其次不易把应用问题转化
为函数的最值问题来解决.
技巧与方法：本题属于应用问题，关键是建立数学模型，并把问题转化为函数的最值问
题来解决.
解：设画面高为 x cm,宽为λ x cm,则λ x2=4840,设纸张面积为 S cm2,则 S=(x+16)(λ x+10)=
λ x2+(16λ +10)x+160,将 x=
1022 代入上式得：S=5000+44 10 (8 +
5 ),当 8 =
5 ,
即λ = 8
5(8
5 <1)时 S 取得最小值.此时高：x=
4840 =88 cm,宽：λ x= 8
5 ×88=55 cm.
如果λ ∈［
4
3,3
2 ］可设
3
2 ≤λ 1<λ 2≤
4
3 ,则由 S 的表达式得：
)58)((1044
)5858(1044)()(
21
21
2
2
1
121
SS
又 21 ≥
8
5
3
2 ,故 8－
21
5
>0,
∴S(λ 1)－S(λ 2)<0,∴S(λ )在区间［ ］内单调递增.
从而对于λ ∈［ ］,当λ = 3
2 时，S(λ )取得最小值.
答：画面高为 88 cm,宽为 55 cm 时，所用纸张面积最小.如果要求λ ∈［ ］,当λ =
时，所用纸张面积最小.
［例 2］已知函数 f(x)= x
axx 22
,x∈［1,+∞ )
(1)当 a= 2
1 时，求函数 f(x)的最小值.
(2)若对任意 x∈［1,+∞ ,f(x)>0 恒成立，试求实数 a 的取值范围.
命题意图：本题主要考查函数的最小值以及单调性问题，着重于学生的综合分析能力以
及运算能力，属★★★★级题目.
知识依托：本题主要通过求 f(x)的最值问题来求 a 的取值范围，体现了转化的思想与分
类讨论的思想.
错解分析：考生不易考虑把求 a 的取值范围的问题转化为函数的最值问题来解决.
技巧与方法：解法一运用转化思想把 f(x)>0 转化为关于 x 的二次不等式；解法二运用分
类讨论思想解得.
(1)解：当 a= 2
1 时，f(x)=x+ x2
1 +2
∵f(x)在区间［1，+∞ ) 上为增函数，
∴f(x)在区间［1，+∞ 上的最小值为 f(1)= 2
7 .
(2)解法一：在区间［1，+∞ ) 上，f(x)= x
axx 22
>0 恒成立 x2+2x+a>0 恒成立.
设 y=x2+2x+a,x∈［1,+∞
∵y=x2+2x+a=(x+1)2+a－1 递增，
∴当 x=1 时，ymin=3+a,当且仅当 ymin=3+a>0 时，函数 f(x)>0 恒成立，故 a>－3.
解法二：f(x)=x+ x
a +2,x∈［1,+∞
当 a≥0 时，函数 f(x)的值恒为正；
当 a<0 时，函数 f(x)递增，故当 x=1 时，f(x)min=3+a,
当且仅当 f(x)min=3+a>0 时，函数 f(x)>0 恒成立，故 a>－3.
●锦囊妙计
本难点所涉及的问题及解决的方法主要有：
(1)求函数的值域
此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、
换元法、不等式法等.无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域.
(2)函数的综合性题目
此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目.
此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力.在今
后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强.
(3)运用函数的值域解决实际问题
此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决.此类题要求考
生具有较强的分析能力和数学建模能力.
●歼灭难点训练
一、选择题
1.(★★★★)函数 y=x2+ x
1 (x≤－
2
1 )的值域是( )
A.(－∞,－
4
7 ] B.［－ ,+∞ )
C.［
2
233
,+∞ ) D.(－∞,－ 3 22
3 ］
2.(★★★★)函数 y=x+ x21 的值域是( )
A.(－∞,1 ] B.(－∞,－1
C.R D.［1,+∞ )
二、填空题
3.(★★★★★)一批货物随 17 列货车从 A 市以 V 千米/小时匀速直达 B 市，已知两地铁
路线长 400 千米，为了安全，两列货车间距离不得小于( 20
V )2 千米 ，那么这批物资全部运
到 B 市，最快需要_________小时(不计货车的车身长).
4.(★★★★★)设 x1、x2 为方程 4x2－4mx+m+2=0 的两个实根，当 m=_________时，x1
2+x2
2
有最小值_________.
三、解答题
5.(★★★★★)某企业生产一种产品时，固定成本为 5000 元，而每生产 100 台产品时直
接消耗成本要增加 2500 元，市场对此商品年需求量为 500 台，销售的收入函数为 R(x)=5x
－
2
1 x2(万元)(0≤x≤5),其中 x 是产品售出的数量(单位：百台)
(1)把利润表示为年产量的函数；
(2)年产量多少时，企业所得的利润最大？
(3)年产量多少时，企业才不亏本？
6.(★★★★)已知函数 f(x)=lg［(a2－1)x2+(a+1)x+1］
(1)若 f(x)的定义域为(－∞,+∞)，求实数 a 的取值范围；
(2)若 f(x)的值域为(－∞,+∞),求实数 a 的取值范围.
7.(★★★★★)某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周
(按 120 个工时计算)生产空调器、彩电、冰箱共 360 台，且冰箱至少生产 60 台.已知生产家
电产品每台所需工时和每台产值如下表：
家电名称 空调器 彩电 冰箱
工时 2
1 3
1
4
1
产值(千元) 4 3 2
问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少？(以
千元为单位)
8.(★★★★)在 Rt△ABC 中，∠C=90°，以斜边 AB 所在直线为轴将△ABC 旋转一周生
成两个圆锥，设这两个圆锥的侧面积之积为 S1，△ABC 的内切圆面积为 S2，记
AB
CABC =x.
(1)求函数 f(x)=
2
1
S
S 的解析式并求 f(x)的定义域.
(2)求函数 f(x)的最小值.
参考答案
难点磁场
(1)证明：先将 f(x)变形：f(x)=log3［(x－2m)2+m+ 1
1
m
］,
当 m∈M 时，m>1,∴(x－m)2+m+ >0 恒成立，故 f(x)的定义域为 R.
反之，若 f(x)对所有实数 x 都有意义，则只须 x2－4mx+4m2+m+ >0,令Δ ＜0,即 16m2
－4(4m2+m+ )＜0,解得 m>1,故 m∈M.
(2)解析：设 u=x2－4mx+4m2+m+ ,∵y=log3u 是增函数，∴当 u 最小时，f(x)最小.
u=(x－2m)2+m+ 1
1
m ,显然，当 x=m 时，u 取最小值为 m+ ,此时 f(2m)=log3(m+ )
为最小值.
(3)证明：当 m∈M 时，m+ =(m－1)+ +1≥3,当且仅当 m=2 时等号成立.
∴log3(m+ )≥log33=1.
歼灭难点训练
一、1.解析：∵m1=x2 在(－∞,－
2
1 ）上是减函数，m2= x
1 在(－∞,－
2
1 ）上是减函数，
∴y=x2+ x
1 在 x∈(－∞,－ )上为减函数,
∴y=x2+ (x≤－ )的值域为［－
4
7 ，+∞ ) .
答案：B
2.解析：令 x21 =t(t≥0),则 x= 2
1 2t .
∵y= +t=－
2
1 (t－1)2+1≤1
∴值域为(－∞,1 ] .
答案：A
二、3.解析：t= V
400+16×( 20
V )2/V= + 400
16V ≥2 16 =8.
答案：8
4.解析：由韦达定理知：x1+x2=m,x1x2= 4
2m ,∴x1
2+x2
2=(x1+x2)2－2x1x2=m2－
2
2m =(m
－
4
1 )2－
16
17 ,又 x1,x2 为实根，∴Δ ≥0.∴m≤－1 或 m≥2，y=(m－
4
1 )2－
16
17 在区间(－∞,1）
上是减函数，在［2，+∞ ) 上是增函数又抛物线 y 开口向上且以 m= 4
1 为对称轴.故 m=1 时，
ymin= 2
1 .
答案：－1
三、5.解：(1）利润 y 是指生产数量 x 的产品售出后的总收入 R(x)与其总成本 C(x)
差，由题意，当 x≤5 时，产品能全部售出，当 x>5 时，只能销售 500 台，所以
y=
)1( 25.012
)50(5.02
175.4
)5)(25.05.0()52
155(
)50)(25.05.0(2
15 2
2
2
xx
xxx
xx
xxxx
(2）在 0≤x≤5 时，y=－
2
1 x2+4.75x－0.5,当 x=－
a
b
2 =4.75(百台）时，ymax=10.78125(万
元），当 x>5(百台）时，y＜12－0.25×5=10.75(
所以当生产 475 台时，利润最大.
(3）要使企业不亏本，即要求
025.012
5
05.075.42
1
50
2 x
x
xx
x
或
解得 5≥x≥4.75－ 5625.21 ≈0.1(百台）或 5＜x＜48(百台）时，即企业年产量在 10
台到 4800 台之间时，企业不亏本.
6.解：(1）依题意(a2－1）x2+(a+1)x+1>0 对一切 x∈R 恒成立，当 a2－1≠0 时，其充要
条件是
13
5
11
,
0)1(4)1(
01
22
2
aa
aa
aa
a
或
或
即 ，
∴a＜－1 或 a> 3
5 .又 a=－1 时，f(x)=0 满足题意，a=1 时不合题意.故 a≤－1 或 a>为
所求.
(2）依题意只要 t=(a2－1)x2+(a+1)x+1 能取到(0，+∞）上的任何值，则 f(x)的值域为 R，
故有
0
012a ,解得 1＜a≤
3
5 ,又当 a2－1=0 即 a=1 时，t=2x+1 符合题意而 a=－1 时不合题
意，∴1≤a≤ 为所求.
7.解：设每周生产空调器、彩电、冰箱分别为 x 台、y 台、z 台，由题意得：
x+y+z=360 ①
1204
1
3
1
2
1 zyx ②
x>0,y>0,z≥60.
假定每周总产值为 S 千元，则 S=4x+3y+2z,在限制条件①②③之下，为求目标函数 S 的
最大值，由①②消去 z,得 y=360－3x. ④
将④代入①得：x+(360－3x)+z=360,∴z=2x ⑤
∵z≥60,∴x≥30. ⑥
再将④⑤代入 S 中，得 S=4x+3(360－3x)+2·2x,即 S=－x+1080.由条件⑥及上式知，当
x=30 时，产值 S 最大，最大值为 S=－30+1080=1050(千元）.得 x=30 分别代入④和⑤得 y=360
－90=270,z=2×30=60.
∴每周应生产空调器 30 台，彩电 270 台，冰箱 60 台，才能使产值最大，最大产值为
1050 千元.
8.解：(1）如图所示：设BC=a,CA=b,AB=c,则斜边AB上的高 h= c
ab ,
∴S1=π ah+π bh= ,)2(),( 2
2
cbaSbac
ab ,
∴f(x)= 2
2
1
)(
)(4
cbac
baab
S
S
①
又
)1(2
2
2
222 xcab
cxba
cba
xc
ba
代入①消 c，得 f(x)= 1
)(2 2
x
xx .
在 Rt△ABC 中，有 a=csinA,b=ccosA(0＜A＜
2
) ,则
x= c
ba =sinA+cosA= 2 sin(A+ 4
).∴1＜x≤ 2 .
(2)f(x)= ]1
2)1[(21
)(2 2
xxx
xx +6,设 t=x－1,则 t∈(0, －1),y=2(t+ t
2 )+6 在(0，
－1 ] 上是减函数，∴当 x=( －1)+1= 时，f(x)的最小值为 6 +8.
奇偶性与单调性(一)
函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.本节主要帮助考生
深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象.
●难点磁场
(★★★★)设 a>0,f(x)= x
x
e
a
a
e 是 R 上的偶函数，(1)求 a 的值；(2)证明： f(x)在(0，+
∞)上是增函数.
●案例探究
［例 1］已知函数 f(x)在(－1，1)上有定义，f( 2
1 )=－1,当且仅当 00,1－x1x2>0，∴
12
12
1 xx
xx
>0,
又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0
∴x2－x1<1－x2x1,
∴0<
12
12
1 xx
xx
<1,由题意知 f(
21
12
1 xx
xx
)<0
即 f(x2)3a2－2a+1.解之，得 01).
(1)证明：函数 f(x)在(－1，+∞)上为增函数.
(2)用反证法证明方程 f(x)=0 没有负数根.
6.(★★★★★)求证函数 f(x)= 22
3
)1( x
x 在区间(1，+∞)上是减函数.
7.(★★★★)设函数 f(x)的定义域关于原点对称且满足：(i)f(x1－x2)= )()(
1)()(
12
21
xfxf
xfxf
；
(ii)存在正常数 a 使 f(a)=1.求证：
(1)f(x)是奇函数.
(2)f(x)是周期函数，且有一个周期是 4a.
8.(★★★★★)已知函数 f(x)的定义域为 R，且对 m、n∈R,恒有 f(m+n)=f(m)+f(n)－1,且
f(－
2
1 )=0,当 x>－ 时，f(x)>0.
(1)求证：f(x)是单调递增函数；
(2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证.
参考答案
难点磁场
(1)解：依题意，对一切 x∈R,有 f(x)=f(－x),即 xx
x
aee
a
a
e 1 +aex.整理，得(a－
a
1 )
(ex－ xe
1 )=0.因此，有 a－
a
1 =0,即 a2=1,又 a>0,∴a=1
(2)证法一：设 0＜x1＜x2,则 f(x1)－f(x2)= )11)((11
21
12
21
21 xx
xx
xx
xx
e
ee
ee
ee
21
21
121 1)1( xx
xx
xxx
e
eee
由 x1>0,x2>0,x2>x1,∴ 112 xxe >0,1－e 21 xx ＜0,
∴f(x1)－f(x2)＜0,即 f(x1)＜f(x2)
∴f(x)在(0,+∞)上是增函数
证法二：由 f(x)=ex+e－x，得 f′(x)=ex－e－x=e－x·(e2x－1).当 x∈(0,+∞)时，e－x>0,e2x－1>0.
此时 f′(x)>0,所以 f(x)在［0，+∞)上是增函数.
歼灭难点训练
一、1.解析：f(－x)=
)0( )(
)0( )(
)0(
)0(
2
2
2
2
xxx
xxx
xxx
xxx =－f(x)，故 f(x)
为奇函数.
答案：C
2.解析：f(－x)=－f(x),f(x)是奇函数，图象关于原点对称.
答案：C
二、3.解析：令 t=|x+1|,则 t 在(－∞,－1 ] 上递减，又 y=f(x)在 R 上单调递增，∴y=f(|x+1|)
在(－∞,－1 上递减.
答案：(－∞,－1
4.解析：∵f(0)=f(x1)=f(x2)=0,∴f(0)=d=0.f(x)=ax(x－x1)(x－x2)=ax3－a(x1+x2)x2+ax1x2x，
∴b=－a(x1+x2),又 f(x)在［x2,+∞ ) 单调递增，故 a>0.又知 0＜x1＜x,得 x1+x2>0,
∴b=－a(x1+x2)＜0.
答案：(－∞,0）
三、5.证明：(1）设－1＜x1＜x2＜+∞,则 x2－x1>0, 12 xxa >1 且 1xa >0,
∴ )1( 12112 xxxxx aaaa >0,又 x1+1>0,x2+1>0
∴
)1)(1(
)(3
)1)(1(
)1)(2()1)(2(
1
2
1
2
21
12
21
2112
1
1
2
2
xx
xx
xx
xxxx
x
x
x
x >0,
于是 f(x2)－f(x1)= 12 xx aa + 1
2
1
2
1
1
2
2
x
x
x
x >0
∴f(x)在(－1，+∞）上为递增函数.
(2）证法一：设存在 x0＜0(x0≠－1)满足 f(x0)=0,则
1
2
0
00
x
xa x 且由 0＜ 0xa ＜1 得 0＜
－
1
2
0
0
x
x ＜1,即
2
1 ＜x0＜2 与 x0＜0 矛盾，故 f(x)=0 没有负数根.
证法二：设存在 x0＜0(x0≠－1)使 f(x0)=0,若－1＜x0＜0,则
1
2
0
0
x
x ＜－2, 0xa ＜1,∴f(x0)＜
－1 与 f(x0)=0 矛盾，若 x0＜－1,则 >0, >0，∴ f(x0)>0 与 f(x0)=0 矛盾，故方程 f(x)=0
没有负数根.
6.证明：∵x≠0,∴f(x)=
2
24
22
3
22
)11(
1
)1(
1
)1(
1
x
x
x
xx
x
x
,
设 1＜x1＜x2＜+∞,则 01111,111
2
1
2
2
2
1
2
2
xxxx
.
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
)11(
1
)11(
1.0)11()11(
x
x
x
xx
x
x
x
∴f(x1)>f(x2), f(x)在(1，+∞）上是减函数.(本题也可用求导方法解决）
7.证明：(1）不妨令 x=x1－x2,则 f(－x)=f(x2－x1)=
)()(
1)()(
)()(
1)()(
12
21
21
12
xfxf
xfxf
xfxf
xfxf
=－f(x1－x2)=－f(x).∴f(x)是奇函数.
(2）要证 f(x+4a)=f(x),可先计算 f(x+a),f(x+2a).
∵f(x+a)=f［x－(－a)］= )1)((1)(
1)(
)()(
1)()(
)()(
1)()(
afxf
xf
xfaf
xfaf
xfaf
xfaf .
).(
1
11)(
1)(
11)(
1)(
1)(
1)(])[()2( xf
xf
xf
xf
xf
axf
axfaaxfaxf
∴f(x+4a)=f［(x+2a)+2a］= )2(
1
axf =f(x),故 f(x)是以 4a 为周期的周期函数.
8.(1）证明：设 x1＜x2,则 x2－x1－
2
1 >－
2
1 ,由题意 f(x2－x1－ )>0,
∵f(x2)－f(x1)=f［(x2－x1)+x1］－ f(x1)=f(x2－x1)+f(x1)－1－f(x1)=f(x2－x1)－1=f(x2－x1)+f(－
)－1=f［(x2－x1)－ ］>0,
∴f(x)是单调递增函数.
(2)解：f(x)=2x+1.验证过程略.
奇偶性与单调性(二)
函数的单调性、奇偶性是高考的重点和热点内容之一，特别是两性质的应用更加突出.
本节主要帮助考生学会怎样利用两性质解题，掌握基本方法，形成应用意识.
●难点磁场
(★★★★★)已知偶函数 f(x)在(0，+∞)上为增函数，且 f(2)=0,解不等式 f［log2(x2+5x+4)］
≥0.
●案例探究
［例 1］已知奇函数 f(x)是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式 f(x－3)+f(x2－3)<0,
设不等式解集为 A，B=A∪{x|1≤x≤ 5 },求函数 g(x)=－3x2+3x－4(x∈B)的最大值.
命题意图：本题属于函数性质的综合性题目，考生必须具有综合运用知识分析和解决问
题的能力，属★★★★级题目.
知识依托：主要依据函数的性质去解决问题.
错解分析：题目不等式中的“f”号如何去掉是难点，在求二次函数在给定区间上的最
值问题时，学生容易漏掉定义域.
技巧与方法：借助奇偶性脱去“f”号，转化为 xcos 不等式，利用数形结合进行集合运
算和求最值.
解：由
66
60
333
333
2 x
x
x
x 得 且 x≠0,故 03－x2,即 x2+x－6>0,解得 x>2 或 x<－3,综上得 2f(0)对所有θ ∈［0, 2
］都成立？若存在，求出符合条件
的所有实数 m 的范围，若不存在，说明理由.
命题意图：本题属于探索性问题，主要考查考生的综合分析能力和逻辑思维能力以及运
算能力，属★★★★★题目.
知识依托：主要依据函数的单调性和奇偶性，利用等价转化的思想方法把问题转化为二
次函数在给定区间上的最值问题.
错解分析：考生不易运用函数的综合性质去解决问题，特别不易考虑运用等价转化的思
想方法.
技巧与方法：主要运用等价转化的思想和分类讨论的思想来解决问题.
解：∵f(x)是 R 上的奇函数，且在［0，+∞)上是增函数，∴f(x)是 R 上的增函数.于是不
等式可等价地转化为 f(cos2θ －3)>f(2mcosθ －4m),
即 cos2θ －3>2mcosθ －4m,即 cos2θ －mcosθ +2m－2>0.
设t=cosθ ,则问题等价地转化为函数g(t) =t2－mt+2m－2=(t－
2
m )2－
4
2m +2m－2在［ 0，
1］上的值恒为正，又转化为函数 g(t)在［0，1］上的最小值为正.
∴当
2
m <0,即 m<0 时，g(0)=2m－2>0 m>1 与 m<0 不符；
当 0≤
2
m ≤1 时，即 0≤m≤2 时，g(m)=－ +2m－2>0
4－2 2 1,即 m>2 时，g(1)=m－1>0 m>1.∴m>2
综上，符合题目要求的 m 的值存在，其取值范围是 m>4－2 2 .
●锦囊妙计
本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：
(1)运用奇偶性和单调性去解决有关函数的综合性题目.此类题目要求考生必须具有驾驭
知识的能力，并具有综合分析问题和解决问题的能力.
(2)应用问题.在利用函数的奇偶性和单调性解决实际问题的过程中，往往还要用到等价
转化和数形结合的思想方法，把问题中较复杂、抽象的式子转化为基本的简单的式子去解决.
特别是：往往利用函数的单调性求实际应用题中的最值问题.
●歼灭难点训练
一、选择题
1.(★★★★)设 f(x)是(－∞,+∞)上的奇函数，f(x+2)=－f(x),当 0≤x≤1 时，f(x)=x,则 f(7.5)
等于( )
A.0.5 B.－0.5 C.1.5 D.－1.5
2.(★★★★)已知定义域为(－1，1)的奇函数 y=f(x)又是减函数，且 f(a－3)+f(9－a2)<0,
a 的取值范围是( )
A.(2 2 ，3) B.(3， 10 )
C.(2 ，4) D.(－2，3)
二、填空题
3.(★★★★)若 f(x)为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又 f(－3)=0,则 xf(x)<0 的解集
为_________.
4.(★★★★)如果函数 f(x)在 R 上为奇函数，在(－1，0)上是增函数，且 f(x+2)=－f(x),
试比较 f( 3
1 ),f( 3
2 ),f(1)的大小关系_________.
三、解答题
5.(★★★★★)已知 f(x)是偶函数而且在(0，+∞)上是减函数，判断 f(x)在(－∞,0)上的增
减性并加以证明.
6.(★★★★)已知 f(x)= x
xa
21
12
(a∈R)是 R 上的奇函数，
(1)求 a 的值；
(2)求 f(x)的反函数 f－1(x);
(3)对任意给定的 k∈R+,解不等式 f－1(x)>lg k
x1 .
7.(★★★★)定义在(－∞,4］上的减函数 f(x)满足 f(m－sinx)≤f( m21 －
4
7 +cos2x)对
任意 x∈R 都成立，求实数 m 的取值范围.
8.(★★★★★)已知函数 y=f(x)= cbx
ax
12
(a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函数，当 x>0 时，f(x)
有最小值 2，其中 b∈N 且 f(1)< 2
5 .
(1)试求函数 f(x)的解析式；
(2)问函数 f(x)图象上是否存在关于点(1，0)对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不
存在，说明理由.
参考答案
难点磁场
解：∵f(2)=0,∴原不等式可化为 f［log2(x2+5x+4)］≥f(2).
又∵f(x)为偶函数，且 f(x)在(0，+∞)上为增函数，
∴f(x)在(－∞,0）上为减函数且 f(－2)=f(2)=0
∴不等式可化为 log2(x2+5x+4)≥2 ①
或 log2(x2+5x+4)≤－2 ②
由①得 x2+5x+4≥4
∴x≤－5 或 x≥0 ③
由②得 0＜x2+5x+4≤
4
1 得
2
105 ≤x＜－4 或－1＜x≤
2
105 ④
由③④得原不等式的解集为
{x|x≤－5 或 ≤x≤－4 或－1＜x≤ 或 x≥0}
歼灭难点训练
一、1.解析：f(7.5)=f(5.5+2)=－f(5.5)=－f(3.5+2)=f(3.5)=f(1.5+2)=－f(1.5)=－f(－0.5+2)=
f(－0.5)=－f(0.5)=－0.5.
答案：B
2.解析：∵f(x)是定义在(－1，1）上的奇函数又是减函数，且 f(a－3)+f(9－a2)＜0.
∴f(a－3)＜f(a2－9).
∴
93
191
131
2
2
aa
a
a
∴a∈(2 2 ,3).
答案：A
二、3.解析：由题意可知：xf(x)＜0
0)(
0
0)(
0
xf
x
xf
x 或
3
0
3
0 )3()(
0 )3()(
0
x
x
x
x
fxf
x
fxf
x 或或
∴x∈(－3,0)∪(0,3)
答案：(－3，0）∪(0，3）
4.解析：∵f(x)为 R 上的奇函数
∴f( 3
1 )=－f(－
3
1 ),f( 3
2 )=－f(－
3
2 ),f(1)=－f(－1),又 f(x)在(－1，0)上是增函数且－ >
－ >－1.
∴f(－
3
1 )>f(－
3
2 )>f(－1),∴f( )＜f( )＜f(1).
答案：f( )＜f( )＜f(1)
三、5.解：函数 f(x)在(－∞,0）上是增函数，设 x1＜x2＜0,因为 f(x)是偶函数，所以
f(－x1)=f(x1),f(－x2)=f(x2),由假设可知－x1>－x2>0,又已知 f(x) (0，+∞)上是减函数，于是
有 f(－x1)＜f(－x2),即 f(x1)＜f(x2),由此可知，函数 f(x)在(－∞,0)上是增函数.
6.解：(1）a=1.
(2)f(x)=
12
12
x
x
(x∈R)f－-1(x)=log2
x
x
1
1 (－1＜x＜1 ) .
(3)由 log2
x
x
1
1 >log2 k
x1 log2(1－x)＜log2k,∴当 0＜k＜2 时，不等式解集为{x|1－k
＜x＜1} ;当 k≥2 时，不等式解集为{x|－1＜x＜1 .
7.解：
1sinsin4
721
sin4
cos4
721sin
4cos4
721
4sin
2
2
2
xxmm
xm
xmxm
xm
xm
即 ，对 x
∈R 恒成立,
2
1
2
3
3
mm
m
或 ∴m∈［
2
3 ,3］∪{ 2
1 }.
8.解：(1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)=－f(x),即 cbxcbxcbx
ax
cbx
ax
11 22
∴c=0,∵a>0,b>0,x>0,∴f(x)= bxxb
a
bx
ax 112
≥2 2b
a ，当且仅当 x= a
1 时等号成立，
于是 2 2b
a =2,∴a=b2,由 f(1)＜
2
5 得
b
a 1 ＜ 即
b
b 12 ＜ ,∴2b2－5b+2＜0,解得
2
1 ＜b＜2，
又 b∈N,∴b=1,∴a=1,∴f(x)=x+ x
1 .
(2)设存在一点(x0,y0)在 y=f(x)的图象上，并且关于(1，0）的对称点(2－x0,－y0)也在 y=f(x)
图象上，则
0
0
2
0
0
0
2
0
2
1)2(
1
yx
x
yx
x
消去 y0 得 x0
2－2x0－1=0,x0=1± 2 .
∴y=f(x)图象上存在两点(1+ ,2 ),(1－ ,－2 )关于(1，0)对称.
指数函数、对数函数问题
指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一，本节主要帮助考生掌握两种函数的概
念、图象和性质并会用它们去解决某些简单的实际问题.
●难点磁场
(★★★★★)设 f(x)=log2
x
x
1
1 ,F(x)= x2
1 +f(x).
(1)试判断函数 f(x)的单调性，并用函数单调性定义，给出证明；
(2)若 f(x)的反函数为 f－1(x),证明：对任意的自然数 n(n≥3),都有 f－1(n)> 1n
n ;
(3)若 F(x)的反函数 F－1(x),证明：方程 F－1(x)=0 有惟一解.
●案例探究
［例 1］已知过原点 O 的一条直线与函数 y=log8x 的图象交于 A、B 两点，分别过点 A、
B 作 y 轴的平行线与函数 y=log2x 的图象交于 C、D 两点.
(1)证明：点 C、D 和原点 O 在同一条直线上；
(2)当 BC 平行于 x 轴时，求点 A 的坐标.
命题意图：本题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知
识，考查学生的分析能力和运算能力.属★★★★级题目.
知识依托：(1)证明三点共线的方法：kOC=kOD.
(2)第(2)问的解答中蕴涵着方程思想，只要得到方程(1)，即可求得 A 点坐标.
错解分析：不易考虑运用方程思想去解决实际问题.
技巧与方法：本题第一问运用斜率相等去证明三点共线；第二问运用方程思想去求得点
A 的坐标.
(1)证明：设点 A、B 的横坐标分别为 x1、x2,由题意知：x1>1,x2>1,则 A、B 纵坐标分别为
log8x1,log8x2.因为 A、B 在过点 O 的直线上，所以
2
28
1
18 loglog
x
x
x
x ,点 C、D 坐标分别为
(x1,log2x1),(x2,log2x2),由于 log2x1= 2log
log
8
18 x = 2log
loglog,log3
8
28
2218
xxx 3log8x2,所以 OC 的斜
率：k1=
1
18
2
12 log3log
x
x
x
x ,
OD 的斜率：k2=
2
28
2
22 log3log
x
x
x
x ，由此可知：k1=k2,即 O、C、D 在同一条直线上.
(2)解：由 BC 平行于 x 轴知：log2x1=log8x2 即：log2x1= 3
1 log2x2,代入 x2log8x1=x1log8x2
得：x1
3log8x1=3x1log8x1,由于 x1>1 知 log8x1≠0,∴x1
3=3x1.又 x1>1,∴x1= 3 ,则点 A 的坐标为
( 3 ，log8 ).
［例 2］在 xOy 平面上有一点列 P1(a1,b1),P2(a2,b2),…,Pn(an,bn)…,对每个自然数 n 点 Pn
位于函数 y=2000( 10
a )x(0bn+1>bn+2.则以 bn,bn+1,bn+2
为边长能构成一个三角形的充要条件是 bn+2+bn+1>bn,即( )2+( )－1>0,解得 a<－5(1+ 2 )
或 a>5( 5 －1).∴5( 5 －1)1 时，函数 y=logax 和 y=(1－a)x 的图象只可能是( )
二、填空题
3.( ★★★★★) 已知函数
f(x)=
)02( )(log
)0( 2
2 xx
xx
.则 f-－1(x－1)=_________.
4.(★★★★★)如图，开始时，桶 1 中有 a L 水，t 分
钟后剩余的水符合指数衰减曲线 y=
ae－nt,那么桶 2 中水就是 y2=a－ae－nt,假设过 5 分钟时，桶
1 和桶 2 的水相等，则再过_________分钟桶 1 中的水只有
8
a .
三、解答题
5.(★★★★)设函数f(x)=loga(x－3a)(a>0且a≠1),当点P(x,y)是函数y=f(x)图象上的点时，
点 Q(x－2a,－y)是函数 y=g(x)图象上的点.
(1)写出函数 y=g(x)的解析式；
(2)若当 x∈［a+2,a+3］时，恒有|f(x)－g(x)|≤1,试确定 a 的取值范围.
6.(★★★★)已知函数 f(x)=logax(a>0 且 a≠1),(x∈(0,+∞)),若 x1,x2∈(0,+∞),判断
2
1
［f(x1)+f(x2)］与 f( 2
21 xx )的大小，并加以证明.
7.(★★★★★)已知函数 x,y 满足 x≥1,y≥1.loga
2x+loga
2y=loga(ax2)+loga(ay2)(a>0 且 a≠
1),求 loga(xy)的取值范围.
8.(★★★★)设不等式 2(log
2
1 x)2+9(log x)+9≤0 的解集为 M，求当 x∈M 时函数
f(x)=(log2
2
x )(log2
8
x )的最大、最小值.
参考答案
难点磁场
解：(1)由
x
x
1
1 >0,且 2－x≠0 得 F(x)的定义域为(－1，1)，设－1＜x1＜x2＜1,则
F(x2)－F(x1)=(
12 2
1
2
1
xx )+(
1
1
2
2
2
2 1
1log1
1log x
x
x
x
)
)1)(1(
)1)(1(log)2)(2( 21
21
2
21
12
xx
xx
xx
xx
,
∵x2－x1>0,2－x1>0,2－x2>0,∴上式第 2 项中对数的真数大于 1.
因此 F(x2)－F(x1)>0,F(x2)>F(x1),∴F(x)在(－1，1）上是增函数.
(2)证明：由 y=f(x)= x
x
1
1log2 得：2y=
12
12,1
1
y
y
xx
x ,
∴f－1(x)=
12
12
x
x
,∵f(x)的值域为 R，∴f-－1(x)的定义域为 R.
当 n≥3 时，f-1(n)> 1221
11
12
21112
12
1
nnn
n
n
n n
nn
n
.
用数学归纳法易证 2n>2n+1(n≥3),证略.
(3)证明：∵F(0)= 2
1 ,∴F－1( 2
1 )=0,∴x= 是 F－1(x)=0 的一个根.假设 F－1(x)=0 还有一个解
x0(x0≠ ),则 F-1(x0)=0,于是 F(0)=x0(x0≠ ).这是不可能的，故 F-1(x)=0 有惟一解.
歼灭难点训练
一、1.解析：由题意：g(x)+h(x)=lg(10x+1) ①
又 g(－x)+h(－x)=lg(10－x+1).即－g(x)+h(x)=lg(10－x+1) ②
由①②得：g(x)= 2
x ,h(x)=lg(10x+1)－
2
x .
答案：C
2.解析：当 a>1 时，函数 y=logax 的图象只能在 A 和 C 中选，又 a>1 时，y=(1－a)x 为
减函数.
答案：B
二、3.解析：容易求得 f- －1(x)=
)1( 2
)1( log2
x
xx
x ,从而：
f－1(x－1)=
).2( ,2
)2(),1(log
1
2
x
xx
x
答案：
)2( ,2
)2(),1(log
1
2
x
xx
x
4.解析：由题意，5 分钟后，y1=ae－nt,y2=a－ae－nt,y1=y2.∴n= 5
1 ln2.设再过 t 分钟桶 1 中的
水只有
8
a ,则 y1=ae－n(5+t)= ,解得 t=10.
答案：10
三、5.解：(1)设点 Q 的坐标为(x′,y′),则 x′=x－2a,y′=－y.即 x=x′+2a,y=－y′.
∵点 P(x,y)在函数 y=loga(x－3a)的图象上，∴－y′=loga(x′+2a－3a),即 y′=loga
ax 2
1 ,
∴g(x)=loga ax
1 .
(2)由题意得 x－3a=(a+2)－3a=－2a+2>0; = aa )3(
1 >0,又 a>0 且 a≠1,∴0＜a＜
1,∵|f(x)－g(x)|=|loga(x－3a)－loga |=|loga(x2－4ax+3a2)|·|f(x)－g(x)|≤1,∴－1≤loga(x2
－4ax+3a2)≤1,∵0＜a＜1,∴a+2>2a.f(x)=x2－4ax+3a2 在［a+2,a+3］上为减函数，∴μ
(x)=loga(x2－4ax+3a2)在［a+2,a+3］上为减函数，从而［μ (x)］max=μ (a+2)=loga(4－4a),［μ
(x)］min=μ (a+3)=loga(9－6a),于是所求问题转化为求不等式组
1)44(log
1)69(log
10
a
a
a
a
a 的解.
由 loga(9－6a)≥－1 解得 0＜a≤
12
579 ,由 loga(4－4a)≤1 解得 0＜a≤
5
4 ,
∴所求 a 的取值范围是 0＜a≤ .
6.解：f(x1)+f(x2)=logax1+logax2=logax1x2,
∵x1,x2∈(0,+∞),x1x2≤( 2
21 xx )2(当且仅当 x1=x2 时取“=”号)，
当 a>1 时，有 logax1x2≤loga( )2,
∴
2
1 logax1x2≤loga( )，
2
1 (logax1+logax2)≤loga ,
即 [ f(x1)+f(x2)］≤f( )(当且仅当 x1=x2 时取“=”号)
当 0＜a＜1 时，有 logax1x2≥loga( )2,
∴ (logax1+logax2)≥loga ,即 ［f(x1)+f(x2)］≥ f( )(当且仅当 x1=x2 时取“=”
号）.
7.解：由已知等式得：loga
2x+loga
2y=(1+2logax)+(1+2logay),即(logax－1)2+(logay－1)2=4,
令 u=logax,v=logay,k=logaxy,则(u－1)2+(v－1)2=4(uv≥0),k=u+v.在直角坐标系 uOv 内，圆弧(u
－1)2+(v－1)2=4(uv≥0)与平行直线系 v=－u+k 有公共点，分两类讨论.
(1)当 u≥0,v≥0 时，即 a>1 时，结合判别式法与代点法得 1+ 3 ≤k≤2(1+ 2 );
(2)当 u≤0,v≤0,即 0＜a＜1 时，同理得到 2(1－ )≤k≤1－ 3 .x 综上，当 a>1 时，logaxy
的最大值为 2+2 ，最小值为 1+ 3 ；当 0＜a＜1 时，logaxy 的最大值为 1－ ，最小值
为 2－2 .
8.解：∵2(
2
1log x)2+9(
2
1log x)+9≤0
∴(2 x+3)( x+3)≤0.
∴－3≤ x≤－
2
3 .
即 ( 2
1 )－3≤ x≤ ( ) 2
3
∴( ) ≤x≤( )－3,∴2 2 ≤x≤8
即 M={x|x∈［2 2 ,8］}
又 f(x)=(log2x－1)(log2x－3)=log2
2x－4log2x+3=(log2x－2)2－1.
∵2 ≤x≤8,∴
2
3 ≤log2x≤3
∴当 log2x=2,即 x=4 时 ymin=－1;当 log2x=3,即 x=8 时，ymax=0.
函数图象与图象变换
函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具，
利用它的直观性解题，可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此，考生要掌握绘制函数图
象的一般方法，掌握函数图象变化的一般规律，能利用函数的图象研究函数的性质.
●难点磁场
(★★★★★)已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 的图象如图，求 b 的范围.
●案例探究
［例 1］对函数 y=f(x)定义域中任一个 x 的值均有 f(x+a)=f(a－x),(1)求证 y=f(x)的图象关
于直线 x=a 对称；(2)若函数 f(x)对一切实数 x 都有 f(x+2)=f(2－x),且方程 f(x)=0 恰好有四个
不同实根，求这些实根之和.
命题意图：本题考查函数概念、图象对称问题以及求根问题.属★★★★★级题目.
知识依托：把证明图象对称问题转化到点的对称问题.
错解分析：找不到问题的突破口，对条件不能进行等价转化.
技巧与方法：数形结合、等价转化.
(1)证明：设(x0,y0)是函数 y=f(x)图象上任一点，则 y0=f(x0),又 f(a+x)=f(a－x),∴f(2a－x0)=
f［a+(a－x0)］=f［a－(a－x0)］=f(x0)=y0,∴(2a－x0,y0)也在函数的图象上，而
2
)2( 00 xxa =a,
∴点(x0,y0)与(2a－x0,y0)关于直线 x=a 对称，故 y=f(x)的图象关于直线 x=a 对称.
(2)解：由 f(2+x)=f(2－x)得 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称，若 x0 是 f(x)=0 的根，则 4
－x0 也是 f(x)=0 的根，由对称性，f(x)=0 的四根之和为 8.
［例 2］如图，点 A、B、C 都在函数 y= x 的图象上，它们的横坐标分别是 a、a+1、
a+2.又 A、B、C 在 x 轴上的射影分别是 A′、B′、C′,记△AB′C 的面积为 f(a),△A′BC′
的面积为 g(a).
(1)求函数 f(a)和 g(a)的表达式；
(2)比较 f(a)与 g(a)的大小，并证明你的结论.
命题意图：本题考查函数的解析式、函数图象、识图能力、图形的组合等.属★★★★
★级题目.
知识依托：充分借助图象信息，利用面积问题的拆拼以及等价变形找到问题的突破口.
错解分析：图形面积不会拆拼.
技巧与方法：数形结合、等价转化.
解：(1)连结 AA′、BB′、CC′,则 f(a)=S△AB′C=S 梯形 AA′C′C－S△AA′B′－S△CC′B
= 2
1 (A′A+C′C)= ( 2 aa ),
g(a)=S△A′BC′= A′C′·B′B=B′B= 1a .
0)
1
1
12
1(2
1)]1()12[(2
1
)122(2
1)()()2(
aaaa
aaaa
aaaagaf
∴f(a)1).
(1)若△ABC 面积为 S，求 S=f(m);
(2)判断 S=f(m)的增减性.
5.(★★★★)如图，函数 y= 2
3 |x|在 x∈［－1,1］的图象上有两
点 A、B，AB∥Ox 轴，点 M(1，m)(m∈R 且 m> )是△ABC 的 BC 边
的中点.
(1)写出用 B 点横坐标 t 表示△ABC 面积 S 的函数解析式 S=f(t);
(2)求函数 S=f(t)的最大值，并求出相应的 C 点坐标.
6.(★★★★★)已知函数 f(x)是 y=
110
2
x －1(x∈R)的反函数，函数 g(x)的图象与函数 y=
－
2
1
x
的图象关于 y 轴对称，设 F(x)=f(x)+g(x).
(1)求函数 F(x)的解析式及定义域；
(2)试问在函数 F(x)的图象上是否存在两个不同的点 A、B，使直线 AB 恰好与 y 轴垂直？
若存在，求出 A、B 的坐标；若不存在，说明理由.
7.(★★★★★)已知函数 f1(x)= 21 x ,f2(x)=x+2,
(1)设 y=f(x)=
]1,0[ ),(3
)0,1[ ),(
2
1
xxf
xxf ，试画出 y=f(x)的图象并求 y=f(x)的曲线绕 x 轴旋
转一周所得几何体的表面积；
(2)若方程 f1(x+a)=f2(x)有两个不等的实根，求实数 a 的范围.
(3)若 f1(x)>f2(x－b)的解集为［－1，
2
1 ］，求 b 的值.
8.(★★★★★)设函数 f(x)=x+ x
1 的图象为 C1，C1 关于点 A(2，1)对称的图象为 C2，C2
对应的函数为 g(x).
(1)求 g(x)的解析表达式；
(2)若直线 y=b 与 C2 只有一个交点，求 b 的值，并求出交点坐标；
(3)解不等式 logag(x)0,∴b＜0.
歼灭难点训练
一、1.解析：∵y=bax=(ba)x,∴这是以 ba 为底的指数函数.仔细观察题目中的直线方程可知：
在选择支 B 中 a>0,b>1,∴ba>1,C 中 a＜0,b>1,∴0＜ba＜1,D 中 a＜0,0＜b＜1,∴ba>1.故选择支
B、C、D 均与指数函数 y=(ba)x 的图象不符合.
答案：A
2.解析：由题意可知，当 x=0 时，y 最大，所以排除 A、C.又一开始跑步，所以直线随
着 x 的增大而急剧下降.
答案：D
二、3.解析：g(x)=2log2(x+2)(x>－2)
F(x)=f(x)－g(x)=log2(x+1)－2log2(x+2)
=log2
1
44
1log
44
1log
)2(
1
22222
x
xxxx
x
x
x
)1(
21
11
1log2
x
xx
∵x+1>0,∴F(x)≤
4
1log
21
1)1(2
1log 22
xx
=－2
当且仅当 x+1=
1
1
x ,即 x=0 时取等号.
∴F(x)max=F(0)=－2.
答案：－2
三、4.解：(1)S△ABC=S 梯形 AA′B′B+S 梯形 BB′C′C－S 梯形 AA′C′C.
(2)S=f(m)为减函数.
5.解：(1)依题意，设 B(t, 2
3 t),A(－t,
2
3 t)(t>0),C(x0,y0).
∵M 是 BC 的中点.∴
2
0xt =1, 2
2
3
0yt
=m.
∴x0=2－t,y0=2m－
2
3 t.在△ABC 中，|AB|=2t,AB 边上的高 hAB=y0－ t=2m－3t.
∴S= 2
1 |AB|·hAB=
2
1 ·2t·(2m－3t),即 f(t)=－3t2+2mt,t∈(0,1).
(2)∵S=－3t2+2mt=－3(t－
3
m )2+ 3
2m ,t∈(0,1 ] ,若
2
3
130
m
m
，即
2
3 ＜m≤3,当 t= 3
m 时，
Smax= 3
2m ,相应的 C 点坐标是(2－ ,
2
3 m),若 >1,即 m>3.S=f(t) (0，1］上是增函
数，∴Smax=f(1)=2m－3,相应的 C 点坐标是(1，2m－3).
6.解：(1)y=
110
2
x －1 的反函数为 f(x)=lg x
x
1
1 (－1＜x＜1 ) .
由已知得 g(x)= 2
1
x ,∴F(x)=lg x
x
1
1 + ,定义域为(－1，1).
(2)用定义可证明函数 u= =－1+ 1
2
x
是(－1，1）上的减函数，且 y=lgu 是增函数.
∴f(x)是(－1，1）上的减函数，故不存在符合条件的点 A、B.
7.解：(1）y=f(x)=
]1,0[,1
)0,1[,1 2
xx
xx .图略.
y=f(x)的曲线绕 x 轴旋转一周所得几何体的表面积为(2+ 2 )π .
(2)当 f1(x+a)=f2(x)有两个不等实根时，a 的取值范围为 2－ 2 ＜a≤1.
(3)若 f1(x)>f2(x－b)的解集为［－1，
2
1 ］，则可解得 b= 2
35 .
8.(1)g(x)=x－2+ 4
1
x .(2)b=4 时，交点为(5，4)；b=0 时，交点为(3，0).
(3)不等式的解集为{x|4＜x＜
2
9 或 x>6} .
难点 11 函数中的综合问题
函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一，一般难度较大，考查内容和形式灵活
多样.本节课主要帮助考生在掌握有关函数知识的基础上进一步深化综合运用知识的能力，
掌握基本解题技巧和方法，并培养考生的思维和创新能力.
●难点磁场
(★★★★★)设函数 f(x)的定义域为 R，对任意实数 x、y 都有 f(x+y)=f(x)+f(y),当 x>0 时
f(x)<0 且 f(3)=－4.
(1)求证：f(x)为奇函数；
(2)在区间［－9，9］上，求 f(x)的最值.
●案例探究
［例 1］设 f(x)是定义在 R 上的偶函数，其图象关于直线 x=1 对称，对任意 x1、x2∈［ 0, 2
1 ］,
都有 f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),且 f(1)=a>0.
(1)求 f( 2
1 )、f( 4
1 );
(2)证明 f(x)是周期函数；
(3)记 an=f(n+ n2
1 ),求 ).(lnlim n
n
a
命题意图：本题主要考查函数概念，图象函数的奇偶性和周期性以及数列极限等知识，
还考查运算能力和逻辑思维能力.
知识依托：认真分析处理好各知识的相互联系，抓住条件 f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)找到问题
的突破口.
错解分析：不会利用 f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)进行合理变形.
技巧与方法：由 f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)变形为 )2()2()2()22()( xfxfxfxxfxf 是解决
问题的关键.
(1) 解：因为对 x1,x2∈［0, 2
1 ］,都有 f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),所以 f(x)= )2()22( xfxxf ≥
0,
x∈［0,1］
又因为 f(1)=f( + )=f( )·f( )=［f( )］2
f( )=f( 4
1 + 4
1 )=f( )·f( )=［f（ ）］2
又 f(1)=a>0
∴f( )=a 2
1
,f( )=a 4
1
(2)证明：依题意设 y=f(x)关于直线 x=1 对称，故 f(x)=f(1+1－x),即 f(x)=f(2－x),x∈R.
又由 f(x)是偶函数知 f(－x)=f(x),x∈R
∴f(－x)=f(2－x),x∈R.
将上式中－x 以 x 代换得 f(x)=f(x+2)，这表明 f(x)是 R 上的周期函数，且 2 是它的一个
周期.
(3)解：由(1)知 f(x)≥0,x∈［0,1］
∵f( 2
1 )=f(n·
n2
1 )=f( +(n－1) )=f( )·f((n－1)· )
=……
=f( )·f( )·……·f( )
=［f( )］n=a 2
1
∴f( n2
1 )=a n2
1
.
又∵f(x)的一个周期是 2
∴f(2n+ )=f( ),因此 an=a
∴ .0)ln2
1(lim)(lnlim
ana
n
n
n
［例 2］甲、乙两地相距 S 千米，汽车从甲地匀速驶到乙地，速度不得超过 c 千米/小时，
已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度
v(km/h)的平方成正比，比例系数为 b,固定部分为 a 元.
(1)把全程运输成本 y(元)表示为 v(km/h)的函数，并指出这个函数的定义域；
(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
命题意图：本题考查建立函数的模型、不等式性质、最值等知识，还考查学生综合运用
所学数学知识解决实际问题的能力.
知识依托：运用建模、函数、数形结合、分类讨论等思想方法.
错解分析：不会将实际问题抽象转化为具体的函数问题，易忽略对参变量的限制条件.
技巧与方法：四步法：(1)读题；(2)建模；(3)求解；(4)评价.
解法一：(1)依题意知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为
v
S ,全程运输成本为
y=a· +bv2· =S( v
a +bv)
∴所求函数及其定义域为 y=S( +bv),v∈(0,c ] .
(2)依题意知，S、a、b、v 均为正数
∴S( +bv)≥2S ab ①
当且仅当 =bv,即 v= b
a 时，①式中等号成立.若 ≤c 则当 v= 时，有 ymin；
若 >c,则当 v∈(0,c ] 时，有 S( v
a +bv)－S( c
a +bc)
=S［( － )+(bv－bc)］= vc
S (c－v)(a－bcv)
∵c－v≥0,且 c>bc2,∴a－bcv≥a－bc2>0
∴S( +bv)≥S( +bc),当且仅当 v=c 时等号成立，也即当 v=c 时，有 ymin；
综上可知，为使全程运输成本 y 最小，当
b
ab ≤c 时，行驶速度应为 v= b
ab ,当 >c
时行驶速度应为 v=c.
解法二：(1)同解法一.
(2)∵函数 y=x+ x
k (k>0),x∈(0,+∞),当 x∈(0, k )时，y 单调减小，当 x∈( k ,+∞)时 y
单调增加，当 x= 时 y 取得最小值，而全程运输成本函数为 y=Sb(v+ v
b
a
),v∈(0,c ] .
∴当
b
a ≤c 时，则当 v= b
a 时，y 最小，若 >c 时，则当 v=c 时，y 最小.结论同上.
●锦囊妙计
在解决函数综合问题时，要认真分析、处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的
知识和方法逐步化归为基本问题来解决，尤其是注意等价转化、分类讨论、数形结合等思想
的综合运用.综合问题的求解往往需要应用多种知识和技能.因此，必须全面掌握有关的函数
知识，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件.
●歼灭难点训练
一、选择题
1.(★★★★)函数 y=x+a 与 y=logax 的图象可能是( )
2.(★★★★★)定义在区间(－∞,+∞)的奇函数 f(x)为增函数，偶函数 g(x)在区间［0，+∞)
的图象与 f(x)的图象重合，设 a>b>0,给出下列不等式：
①f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b) ②f(b)－f(－a)g(b)－g(－a)
④f(a)－f(－b)0.
求证： )2
1()
13
1()11
1()5
1( 2 f
nn
fff
.
7.(★★★★★)某工厂拟建一座平面图(如下图)为矩形且面积为 200 平方米的三级污水
处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过 16 米，如果池外周壁建造单价为每米 400 元，
中间两条隔墙建造单价为每米 248 元，池底建造单价为每平方米 80 元(池壁厚度忽略不计，
且池无盖).
(1)写出总造价 y(元)与污水处理池长 x(米)的函数关系式，并指出其定义域.
(2)求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求最低总造价.
8.(★★★★★)已知函数 f(x)在(－∞,0)∪(0,+∞)上有定义，且在(0,+∞)上是增函数，
f(1)=0,又 g(θ )=sin2θ －mcosθ －2m,θ ∈［0, 2
］,设 M={m|g(θ )<0,m∈R},N={m|f［g(θ )］
<0},求 M∩N.
［学法指导］怎样学好函数
学习函数要重点解决好四个问题：准确深刻地理解函数的有关概念；揭示并认识函数与
其他数学知识的内在联系；把握数形结合的特征和方法；认识函数思想的实质，强化应用意
识.
(一)准确、深刻理解函数的有关概念
概念是数学的基础，而函数是数学中最主要的概念之一，函数概念贯穿在中学代数的始
终.数、式、方程、函数、排列组合、数列极限等是以函数为中心的代数.近十年来，高考试
题中始终贯穿着函数及其性质这条主线.
(二)揭示并认识函数与其他数学知识的内在联系.函数是研究变量及相互联系的数学概
念，是变量数学的基础，利用函数观点可以从较高的角度处理式、方程、不等式、数列、曲
线与方程等内容.在利用函数和方程的思想进行思维中，动与静、变量与常量如此生动的辩
证统一，函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式.
所谓函数观点，实质是将问题放到动态背景上去加以考虑.高考试题涉及 5 个方面：(1)原始
意义上的函数问题；(2)方程、不等式作为函数性质解决；(3)数列作为特殊的函数成为高考
热点；(4)辅助函数法；(5)集合与映射，作为基本语言和工具出现在试题中.
(三)把握数形结合的特征和方法
函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合，有效地揭示了各类函数和定义
域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性，体现了数形结合的特征与方法，为此，既
要从定形、定性、定理、定位各方面精确地观察图形、绘制图形，又要熟练地掌握函数图象
的平移变换、对称变换.
(四)认识函数思想的实质，强化应用意识
函数思想的实质就是用联系与变化的观点提出数学对象，抽象数量特征，建立函数关系，
求得问题的解决.纵观近几年高考题，考查函数思想方法尤其是应用题力度加大，因此一定
要认识函数思想实质，强化应用意识.
参考答案
难点磁场
(1）证明：令 x=y=0,得 f(0)=0
令 y=－x,得 f(0)=f(x)+f(－x),即 f(－x)=－f(x)
∴f(x)是奇函数
(2）解：1°,任取实数 x1、x2∈［－9,9］且 x1＜x2,这时，x2－x1>0,f(x1)－f(x2)=f［(x1－x2)+x2］
－f(x2)=f(x1－x2)+f(x2)－f(x1)=－f(x2－x1)
因为 x>0 时 f(x)＜0,∴f(x1)－f(x2)>0
∴f(x)在［－9，9］上是减函数
故 f(x)的最大值为 f(－9),最小值为 f(9).
而 f(9)=f(3+3+3)=3f(3)=－12,f(－9)=－f(9)=12.
∴f(x)在区间［－9，9］上的最大值为 12，最小值为－12.
歼灭难点训练
一、1.解析：分类讨论当 a>1 时和当 0＜a＜1 时.
答案：C
2.解析：用特值法，根据题意，可设 f(x)=x,g(x)=|x|,又设 a=2,b=1,
则 f(a)=a,g(a)=|a|,f(b)=b,g(b)=|b|,f(a)－f(b)=f(2)－f(－1)=2+1=3.
g(b)－g(－a)=g(1)－g(－2)=1－2=－1.∴f(a)－f(－b)>g(1)－g(－2)=1－2=－1.
又 f(b)－f(－a)=f(1)－f(－2)=1+2=3.
g(a)－g(－b)=g(2)－g(1)=2－1=1,∴f(b)－f(－a)=g(a)－g(－b).
即①与③成立.
答案：C
二、3.解析：设 2x=t>0，则原方程可变为 t2+at+a+1=0 ①
方程①有两个正实根，则
01
0
0)1(4
21
21
2
att
att
aa
解得：a∈(－1,2－2 2 ] .
答案：(－1，2－2 2 ]
三、4.解：(1)当 a=0 时，函数 f(－x)=(－x)2+|－x|+1=f(x),此时 f(x)为偶函数；当 a≠0 时，
f(a)=a2+1,f(－a)=a2+2|a|+1,f(－a)≠f(a),f(－a)≠－f(a).此时函数 f(x)既不是奇函数也不是偶
函数.
(2)①当 x≤a 时，函数 f(x)=x2－x+a+1=(x－
2
1 )2+a+ 4
3 ,若 a≤ ,则函数 f(x)在(－∞,a] 上
单调递减，从而，函数 f(x)在(－∞,a 上的最小值为 f(a)=a2+1.
若 a> ,则函数 f(x)在(－∞,a 上的最小值为 f( )= +a,且 f( )≤f(a).
②当 x≥a 时，函数 f(x)=x2+x－a+1=(x+ )2－a+ ;当 a≤－ 时，则函数 f(x)在［a,+∞
) 上的最小值为 f(－ )= －a,且 f(－ )≤f(a).若 a>－ , f(x)在［a,+∞)上单调递
增，从而，函数 f(x)在［a,+∞］上的最小值为 f(a)=a2+1.
综上，当 a≤－ 时，函数 f(x)的最小值是 －a,当－ ＜a≤ 时，函数 f(x)的最小值
是 a2+1;当 a> 时，函数 f(x)的最小值是 a+ .
5.(1)证明：由
02
01
1
x
x
x
得 f(x)的定义域为(－1，1)，易判断 f(x)在(－1，1)内是减函数.
(2)证明：∵f(0)= 2
1 ,∴f-－1( )=0,即 x= 是方程 f-－1(x)=0 的一个解.若方程 f-－1(x)=0 还有
另一个解 x0≠ ,则 f-－1(x0)=0,由反函数的定义知 f(0)=x0≠ ,与已知矛盾，故方程 f-－1(x)=0
有惟一解.
(3)解：f［x(x－ )］＜ ,即 f［x(x－ )］＜f(0).
.4
151
2
104
151
0)2
1(
1)2
1(1
xx
xx
xx
或
6.证明：对 f(x)+f(y)=f( xy
yx
1 )中的 x,y,令 x=y=0,得 f(0)=0,再令 y=－x,又得 f(x)+f(－
x)=f(0)=0,即 f(－x)=－f(x),∴f(x)在 x∈(－1,1)上是奇函数.设－1＜x1＜x2＜0,则 f(x1)－f(x2)=f(x1)+f(－
x2)=f(
21
21
1 xx
xx
),∵－1＜x1 ＜x2 ＜0,∴x1 －x2 ＜0,1－x1x2>0.∴
21
21
1 xx
xx
＜0,于 是 由 ② 知
f( ) >0,从而f(x1)－f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),故f(x)在x∈(－1,0)上是单调递减函数.根据奇
函数的图象关于原点对称，知 f(x)在 x∈(0,1)上仍是递减函数，且 f(x)＜0.
.),2
1()2
1()2
1(
,0)2
1(,12
10
),2
1()2
1()]2
1()1
1([)]4
1()3
1([)]3
1()2
1([
)
13
1()11
1()5
1(
)2
1()1
1()
2
1
1
11
2
1
1
1
(
]
)2)(1(
11
)2)(1(
1
[]1)2)(1(
1[)
13
1(
2
2
故原结论成立
有时
fnff
nfn
nffnfnfffff
nn
fff
nfnf
nn
nnf
nn
nnfnnf
nn
f
7.解：(1)因污水处理水池的长为 x 米，则宽为
x
200米，总造价 y=400(2x+2×
x
200)+248×
×2+80×200=800(x+ x
324)+1600,由题设条件
162000
,160
x
x
解得 12.5≤x≤16,即函数定义域为［12.5，16］.
(2)先研究函数 y=f(x)=800(x+ )+16000 在［12.5,16］上的单调性，对于任意的 x1,x2
∈［ 12.5,16］,不妨设 x1＜x2,则 f(x2)－f(x1)=800［(x2－x1)+324(
12
11
xx )］=800(x2－x1)(1－
21
324
xx ),
∵12.5≤x1≤x2≤16.∴0＜x1x2＜162＜324,∴ >1,即 1－ ＜0.又 x2－x1>0,∴f(x2)－f(x1)
＜0,即 f(x2)＜f(x1),故函数 y=f(x)在［ 12.5,16］上是减函数.∴当 x=16 时，y 取得最小值，此时，
ymin=800(16+ 16
324)+16000=45000(元)，
16
200200 x =12.5(
综上，当污水处理池的长为 16 米，宽为 12.5 米时，总造价最低，最低为 45000 元.
8.解：∵f(x)是奇函数，且在(0,+∞)上是增函数，∴f(x)在(－∞,0)上也是增函数.
又 f(1)=0,∴f(－1)=－f(1)=0,从而，当 f(x)＜0 时，有 x＜－1 或 0＜x＜1,
则集合 N={m|f［g(θ )］＜θ ＝} ={m|g(θ )＜－1 或 0＜g(θ )＜1} ,
∴M∩N={m|g(θ )＜－1 .由 g(θ )＜－1,得 cos2θ >m(cosθ －2)+2,θ ∈［ 0, 2
］,令 x=cos
θ ,x∈［0,1］得：x2>m(x－2)+2,x∈［0,1］，令①：y1=x2,x∈［0,1］及②y2=m(m－2)+2,显然
①为抛物线一段，②是过(2，2)点的直线系，在同一坐标系内由 x∈［0,1］得 y1>y2.∴m>4
－2 2 ,故 M∩N={m|m>4－2 2 }.
