2020-2021成都市高中必修三数学上期中第一次模拟试题(含答案)

2020-2021成都市高中必修三数学上期中第一次模拟试题(含答案)

2020-2021 成都市高中必修三数学上期中第一次模拟试题 ( 含答案 ) 一、选择题 1．某学校为了解 1 000 名新生的身体素质，将这些学生编号为 1， 2，⋯， 1 000，从这些 新生中用系统抽样方法等距抽取 100 名学生进行体质测验，若 46 号学生被抽到，则下面 4 名学生中被抽到的是 A．8 号学生 B．200 号学生 C．616 号学生 D．815 号学生 2．汽车的 “燃油效率 ”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽 车在不同速度下的燃油效率情况 . 下列叙述中正确的是（ ） A．消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米 B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C．甲车以 80 千米 /小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油 D．某城市机动车最高限速 80 千米 /小时 . 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 3．设样本数据 1 2 10, , ,x x xL 的均值和方差分别为 1 和 4，若 (i iy x a a 为非零常数， 1,2, ,10)i L ，则 1 2 10, , ,y y yL 的均值和方差分别为（ ） A．1 ,4a B．1 ,4a a C． 1,4 D． 1,4 a 4．如图 1 为某省 2019 年 1~4 月快递义务量统计图，图 2 是该省 2019 年 1~4 月快递业务收 入统计图，下列对统计图理解错误的是 ( ) A．2019 年 1~4 月的业务量， 3 月最高， 2 月最低，差值接近 2000 万件 B．2019 年 1~4 月的业务量同比增长率超过 50%，在 3 月最高 C．从两图来看 2019 年 1~4 月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致 D．从 1~4 月来看，该省在 2019 年快递业务收入同比增长率逐月增长 5．某商场为了了解毛衣的月销售量 y （件）与月平均气温 x （ C ）之间的关系，随机统 计了某 4 个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表： 月平均气温 x C 17 13 8 2 月销售量 y （件） 24 33 40 55 由表中数据算出线性回归方程 y bx a$ $ $ 中的 2b$ ，气象部门预测下个月的平均气温为 6 C ，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为（ ） A．58 件 B．40 件 C．38 件 D．46 件 6．将 20 名学生任意分成甲、乙两组，每组 10 人，其中 2 名学生干部恰好被分在不同组内 的概率为 ( ) A． 1 9 2 18 10 20 C C C B． 1 9 2 18 10 20 2C C C C． 1 9 2 19 10 20 2C C C D． 1 9 2 19 10 20 C C C 7．用秦九韶算法求多项式 5 4 2 27 5 3 2f x x x x x x 在 2x 的值时，令 0 5v a ， 1 0 5v v x ，⋯， 5 4 2v v x ，则 3v 的值为（ ） A．83 B．82 C．166 D．167 8．微信中有个“微信运动”，记录一天行走的步数，小王的“微信步数排行榜”里有 120 个人，今天，他发现步数最少的有 0.85 万步，最多的有 1.79 万步．于是，他做了个统计， 作出下表，请问这天大家平均走了多少万步？（ ） A．1.19 B．1.23 C．1.26 D．1.31 9．设点 (a,b)为区域 4 0 0 0 x y x y 内任意一点，则使函数 f(x)= 2ax 2bx 3 在区间 [ 1 2 ，+ ）上是增函数的概率为 A． 1 3 B． 2 3 C． 1 2 D． 1 4 10． 采用系统抽样方法从 960人中抽取 32人做问卷调查，为此将他们随机编号为 1， 2 ， ...， 960，分组后某组抽到的号码为 41．抽到的 32人中，编号落入区间 401,755 的人 数为（ ） A．10 B．11 C．12 D．13 11． 某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表： 广告费用 （万元） 4 2 3 5 销售额 （万元） 49 26 39 54 根据上表可得回归方程 ?? ?y bx a 中的 ?b 为 9.4，据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额 为 A．63.6 万元 B．65.5 万元 C．67.7 万元 D．72.0 万元 12． 已知 P是 △ABC所在平面内﹣点， 2 0PB PC PA uuur uuur uuur r ，现将一粒黄豆随机撒在 △ABC 内，则黄豆落在 △PBC内的概率是（ ） A． 2 3 B． 1 2 C． 1 3 D． 1 4 二、填空题 13． 从分别写有 1，2，3，4，5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，则 抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 ___________． 14． 已知 a，b， c 分别是△ ABC的三个内角 A，B，C所对的边，若 3b ，三内角 A，B， C成等差数列，则该三角形的外接圆半径等于 ______________； 15．如图所示，在边长为 1 的正方形 OABC中任取一点 M ．则点 M 恰好取自阴影部分的概 率是 ． 16． 如图所示，正六边形 ABCDEF中，线段 AD与线段 BE交于点 G，圆 O1，O2 分别是△ ABG 与△ DEG的内切圆，圆 O3，O4分别是四边形 BCDG与四边形 AGEF的内切圆，则往六边形 ABCDEF中任意投掷一点，该点落在图中阴影区域内的概率为 _________． 17． 甲乙两人一起去游“西安世园会”，他们约定，各自独立地从 1 到 6 号景点中任选 4 个进行游览，每个 景点参观 1 小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是 ________. 18． 某单位为了了解用电量 y（度）与气温 x（℃之间的关系，随机统计了某 4 天的用电量 与当天气温（如表），并求得线性回归方程 ? 3 60y x 为: x c 9 14 -1 y 18 48 30 d 不小心丢失表中数据 c， d，那么由现有数据知 3c d ____________． 19． 某学生每次投篮的命中概率都为 40% ．现采用随机模拟的方法求事件的概率：先由计 算器产生 0 到 9 之间的整数值随机数，制定 1、2、3、 4 表示命中， 5、6、 7、8、9、0 表 示不命中；再以每 3 个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生如下 20 组随 机数： 989 537 113 730 488 556 027 393 257 431 683 569 458 812 932 271 925 191 966 907 ，据此统计，该学生三次投篮中恰有一次命中的概率约为 __________． 20． 已知 ,x y 之间的一组数据不小心丢失一个，但已知回归直线过点 1.5,4 ，则丢失的数 据是 __________． x 0 1 2 3 y 1 3 5 三、解答题 21． 某小卖部为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数 y 与 当天气温（平均温度） /℃x 的对比表： x 0 1 3 4 y 140 136 129 125 （1）请在图中画出上表数据的散点图； （2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 ?? ?y bx a ； （3）如果某天的气温是 5℃，试根据（ 2）求出的线性回归方程预测这天大约可以卖出的 热饮杯数． 参考公式：最小二乘法求线性回归方程系数公式： 1 2 2 1 ? n i i i n i i x y nxy b x nx ， ??a y bx ． 参考数据： 0 140 1 136 3 129 4 125 1023,(140 136 129 125) 4 132.5 ． 22． 甲与乙午觉醒来后，发现自己的手表因故停止转动，于是他们想借助收音机，利用电 台整点报时确认时间． (1) 求甲等待的时间不多于 10 分钟的概率； (2) 求甲比乙多等待 10 分钟以上的概率． 23． 某企业生产一种产品，质量测试分为：指标不小于 90 为一等品，不小于 80 小于 90 为 二等品，小于 80 为三等品，每件一等品盈利 50 元，每件二等品盈利 30 元，每件三等品亏 损 10 元，现对学徒工甲和正式工人乙生产的产品各 100 件的检测结果统计如下： 测试指标 [70,75) [75,80) [80,85) [85,90) [90,95) [95,100) 甲 5 15 35 35 7 3 乙 3 7 20 40 20 10 根据上表统计得到甲、乙生产产品等级的频率分别估计为他们生产产品等级的概率． （1）求出乙生产三等品的概率； （2）求出甲生产一件产品，盈利不小于 30 元的概率； （3）若甲、乙一天生产产品分别为 40 件和 30 件，估计甲、乙两人一天共为企业创收多少 元？ 24． 设 ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ， tana b A，且 B 为钝角 . （1）证明： 2 B A ； （2）求 sin sinA C 的取值范围 . 25．某校从高一年级学生中随机抽取 40 名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分 100 分，成绩均为不低于 40 分的整数）分成六段： ， ，⋯， 后得到如 图的频率分布直方图． （1）求图中实数 a 的值； （2）若该校高一年级共有学生 640 人，试估计该校高一年级 期中考试数学成绩不低于 60 分的人数； （3）若从数学成绩在 40,50 与 90,100 两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这 两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 的概率． 26． 2019 年，河北等 8 省公布了高考改革综合方案将采取“ 3+1+2”模式，即语文、数 学、英语必考，然后考生先在物理、历史中选择 1 门，再在思想政治、地理、化学、生物 中选择 2 门 . 为了更好进行生涯规划，甲同学对高一一年来的七次考试成绩进行统计分析， 其中物理、历史成绩的茎叶图如图所示 . (1) 若甲同学随机选择 3 门功课，求他选到物理、地理两门功课的概率； (2) 试根据茎叶图分析甲同学应在物理和历史中选择哪一门学科？并说明理由； (3) 甲同学发现，其物理考试成绩 y ( 分) 与班级平均分 x ( 分) 具有线性相关关系，统计数据 如下表所示，试求当班级平均分为 50 分时，其物理考试成绩 . 参考数据 : 7 2 1 34840i i x ， 7 2 1 50767i i y ， 7 1 41964i i i x y ， 7 1 ( )( ) 314i i i x x y y . 参考公式： y bx a$ $ $ ， 1 1 22 2 1 1 ( )( ) ( ) n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y n x y b x x x n x $ ， $a y b x$ (计算 $a b$，时精确到 0.01). 【参考答案】 *** 试卷处理标记，请不要删除 一、选择题 1．C 解析： C 【解析】 【分析】 等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案． 【详解】 详解：由已知将 1000 名学生分成 100 个组，每组 10 名学生，用系统抽样， 46 号学生被抽 到， 所以第一组抽到 6 号，且每组抽到的学生号构成等差数列 { }na ，公差 10d ， 所以 6 10na n ( )n N ， 若 8 6 10n，则 1 5 n ，不合题意；若 200 6 10n，则 19.4n ，不合题意； 若 616 6 10n，则 61n ，符合题意；若 815 6 10n ，则 80.9n ，不合题意．故 选 C． 【点睛】 本题主要考查系统抽样 . 2．D 解析： D 【解析】 【分析】 【详解】 解：对于 A，由图象可知当速度大于 40km/h 时，乙车的燃油效率大于 5km/L， ∴当速度大于 40km/h 时，消耗 1 升汽油，乙车的行驶距离大于 5km，故 A 错误； 对于 B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗 1 升汽 油，甲车的行驶路程最远， ∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故 B 错误； 对于 C，由图象可知当速度为 80km/h 时，甲车的燃油效率为 10km/L， 即甲车行驶 10km 时，耗油 1 升，故行驶 1 小时，路程为 80km，燃油为 8 升，故 C 错误； 对于 D，由图象可知当速度小于 80km/h 时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率， ∴用丙车比用乙车更省油，故 D 正确 故选 D． 考点： 1、数学建模能力； 2、阅读能力及化归思想 . 3．A 解析： A 【解析】 试题分析：因为样本数据 1 2 10, , ,x x xL 的平均数是 1,所以 1 2 10, ,...y y y 的平均数是 1 2 10 1 2 10 1 2 10... ... ... 1 10 10 10 y y y x a x a x a x x x a a ；根据 i iy x a （ a 为非零常数， 1,2, ,10i L ），以及数据 1 2 10, , ,x x xL 的方差为 4 可知数 据 1 2 10, , ,y y yL 的方差为 21 4 4，综上故选 A. 考点：样本数据的方差和平均数． 4．D 解析： D 【解析】 【分析】 由题意结合所给的统计图确定选项中的说法是否正确即可 . 【详解】 对于选项 A： 2018 年 1～4 月的业务量， 3 月最高， 2 月最低， 差值为 4397 2411 1986，接近 2000 万件，所以 A 是正确的； 对于选项 B： 2018 年 1～4 月的业务量同比增长率分别为 55%,53%,62%,58% ，均超过 50%，在 3 月最高，所以 B 是正确的； 对于选项 C：2 月份业务量同比增长率为 53%，而收入的同比增长率为 30%，所以 C 是正 确的； 对于选项 D，1，2， 3，4 月收入的同比增长率分别为 55%，30%，60%，42%，并不是逐 月增长， D 错误 . 本题选择 D 选项 . 【点睛】 本题主要考查统计图及其应用，新知识的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求 解能力 . 5．D 解析： D 【解析】 试题分析：由表格得 ,x y 为： 10,38 ，因为 ,x y 在回归方程 y bx a$ $ $ 上且 2b$ ， 38 10 2 a ，解得 58a 2? 58y x ，当 6x 时， 2 6? 58 46y ，故选 D. 考点： 1、线性回归方程的性质； 2、回归方程的应用 . 6．A 解析： A 【解析】 【分析】 由题意知本题是一个古典概型，先求出事件发生的总个数，再求出满足要求的事件个数， 再根据古典概型的概率公式即可得出结果 . 【详解】 由题意知本题是一个古典概型， 试验发生的所有事件是 20 名学生平均分成两组共有 10 20C 种结果， 而满足条件的事件是 2 名学生干部恰好被分在不同组内共有 1 9 2 18C C 中结果， 根据古典概型的概率公式得 1 9 2 18 10 20 C CP C . 故选： A. 【点睛】 本题主要考查古典概型和组合问题，属于基础题 . 7．A 解析： A 【解析】 【分析】 利用秦九韶算法，求解即可 . 【详解】 利用秦九韶算法，把多项式改写为如下形式： ( ) ((((7 5) 3) 1) 1) 2f x x x x x 按照从里到外的顺序，依次计算一次多项式当 2x 时的值： 0 7v 1 7 2 5 19v 2 19 2 3 41v 3 41 2 1 83v 故选： A 【点睛】 本题主要考查了秦九韶算法的应用，属于中档题 . 8．C 解析： C 【解析】 【分析】 根据频率分布直方图中平均数的计算方法求解即可 . 【详解】 由题 ,区间 0.8,1.0 , 1.0,1.2 , 1.2,1.4 , 1.6,1.8 所占频率分别为： 0.2 0.5 0.1,0.2 1.25 0.25,0.2 2.25 0.45,0.2 0.25 0.05, 故区间 1.4,1.6 所占频率为 1 0.1 0.25 0.45 0.05 0.15 . 故 0.9 0.1 1.1 0.25 1.3 0.45 1.5 0.15 1.7 0.05 1.26x . 故选： C 【点睛】 本题主要考查了补全频率分布直方图的方法以及根据频率分布直方图计算平均数的问题 .属 于中档题 . 9．A 解析： A 【解析】 作出不等式组对应的平面区域如图所示： 若 f（x）= 2ax 2bx 3 在区间 [ 1 2 ，+ ）上是增函数， 则 0 2 1 2 2 a b a ，即 0 2 0 a a b ， 则 A （0，4）， B（4，0），由 4 0 2 0 a b a b 得 8 3 4 3 a b ， 即 C（ 8 3 ， 4 3 ）， 则△ OBC 的面积 S= 1 44 2 3 = 8 3 ． △OAB 的面积 S= 1 4 4 8 2 ． 则使函数 f(x)= 2ax 2bx 3 在区间 [ 1 2 ，+ ）上是增函数的概率为 P= OBC OAB S S n n = 1 3 ， 故选： A． 10．C 解析： C 【解析】 【分析】 由题意可得抽到的号码构成以 11 为首项、以 30 为公差的等差数列，求得此等差数列的通 项公式为 an＝30n﹣19，由 401≤ 30n﹣21≤ 755，求得正整数 n 的个数，即可得出结论． 【详解】 ∵960÷32＝30，∴每组 30 人，∴由题意可得抽到的号码构成以 30 为公差的等差数列， 又某组抽到的号码为 41，可知第一组抽到的号码为 11， ∴由题意可得抽到的号码构成以 11 为首项、以 30 为公差的等差数列， ∴等差数列的通项公式为 an＝11+（n﹣1） 30＝30n﹣19， 由 401≤30n﹣19≤755， n 为正整数可得 14≤n≤25， ∴做问卷 C 的人数为 25﹣14+1＝12， 故选 C． 【点睛】 本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，根据系统抽样的定义转化为 等差数列是解决本题的关键，比较基础． 11．B 解析： B 【解析】 【分析】 【详解】 试题分析： 4 2 3 5 49 26 39 543.5, 42 4 4 x yQ ， ∵数据的样本中心点在线性回归直线上， 回归方程 ?? ?y bx a 中的 ?b 为 9.4， ∴42=9．4×3．5+a， ∴ ?a =9．1， ∴线性回归方程是 y=9．4x+9．1， ∴广告费用为 6 万元时销售额为 9．4×6+9．1=65．5 考点：线性回归方程 12．B 解析： B 【解析】 【分析】 推导出点 P到 BC的距离等于 A 到 BC的距离的 1 2 ．从而 S△PBC= 1 2 S△ABC ．由此能求出将一 粒黄豆随机撒在 △ABC内，黄豆落在 △PBC内的概率． 【详解】 以 PB、PC为邻边作平行四边形 PBDC， 则 PB PC uuur uuur = PD uuur ， ∵ 2 0PB PC PA uuur uuur uuur r ，∴ 2PB PC PA uuur uuur uuur ， ∴ 2PD PA uuur uuur ，∴ P 是 △ABC边 BC上的中线 AO的中点， ∴点 P 到 BC的距离等于 A 到 BC的距离的 1 2 ． ∴S△PBC= 1 2 S△ABC ． ∴将一粒黄豆随机撒在 △ABC内，黄豆落在 △PBC内的概率为： P= PBC ABC S S V V = 1 2 ． 故选 B． 【点睛】 本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考运算求解能力，考查化归与转化思 想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题． 二、填空题 13．【解析】从分别写有 12345 的 5 张卡片中随机抽取 1 张放回后再随机抽取 1 张 基本事件总数 n=5×5=25 抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有： （21）（ 31）（ 32）（41） 解析： 2 5 【解析】 从分别写有 1，2，3，4，5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张， 基本事件总数 n=5×5=25， 抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有： （2，1），（ 3，1），（ 3，2），（ 4，1），（ 4，2），（ 4，3），（ 5， 1），（ 5， 2），（ 5，3），（ 5，4）， 共有 m=10 个基本事件， ∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率 p= 2 . 5 故答案为 2 5 . 14．1【解析】 ABC成等差数列所以 解析： 1 【解析】 A，B，C成等差数列，所以 32 2 1 3 sin sin 3 bB R R B 15．【解析】试题分析：根据题意正方形的面积为而阴影部分由函数与围成其 面积为则正方形中任取一点点取自阴影部分的概率为则正方形中任取一点点取 自阴影部分的概率为考点：定积分在求面积中的应用几何概型点评 : 本题考 解析： 【解析】 试题分析：根据题意，正方形 的面积为 而阴影部分由函数 与 围成，其面积为 ， 则正方形 中任取一点 ,点 取自阴影部分的概率为 . 则正方形中任取一点，点取自阴影部分的概率为 考点：定积分在求面积中的应用 几何概型 点评 :本题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影部 分的面积 . 16．【解析】【分析】不妨设小圆与正三角形相切小圆的半径为大圆与菱形相 切大圆直径是菱形的高也等于正三角形的高圆半径为由几何概型概率公式可得 结果【详解】依题意不妨设小圆与正三角形相切小圆的半径为大圆与菱形相 解析： 13 3 108 【解析】 【分析】 不妨设 2AB ，小圆与正三角形相切，小圆的半径为 3 3 6 3 AB ，大圆与菱形相切， 大圆直径是菱形的高，也等于正三角形的高，圆半径为 1 3 3 2 2 2 AB ，由几何概型概 率公式可得结果 . 【详解】 依题意，不妨设 2AB ， 小圆与正三角形相切，小圆的半径为 3 3 6 3 AB ， 大圆与菱形相切，大圆直径是菱形的高，也等于正三角形的高， 可得大圆半径为 1 3 3 2 2 2 AB ， 由几何概型概率公式可得 该点落在图中阴影区域内的概率为： 2 2 2 3 32 2 3 2 13 3 10836 2 4 P ，故答案为 13 3 108 . 【点睛】 本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题 . 解决几何概型问题常见类型有：长度 型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以 及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（ 1）不 能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（ 2）基本事件对应的区域测度把握不 准导致错误 ；（ 3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误 . 17．【解析】【分析】所有的游览情况共有种则最后一小时他们同在一个景点 的游览方法共有种由此求得最后一小时他们同在一个景点的概率【详解】所有 的游览情况共有 种则最后一小时他们同在一个景点的游览方法共有 种 解析： 1 6 【解析】 【分析】 所有的游览情况共有 4 4 6 6A A 种，则最后一小时他们同在一个景点的游览方法共有 3 3 5 56 A A 种，由此求得最后一小时他们同在一个景点的概率． 【详解】 所有的游览情况共有 4 4 6 6A A 种，则最后一小时他们同在一个景点的游览方法共有 3 3 5 56 A A 种， 故则最后一小时他们同在一个景点的概率为 3 3 5 5 4 4 6 6 6 1 6 A A A A ， 故答案为 1 6 ． 【点睛】 本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题． 18．【解析】分析：由题意首先确定样本中心点然后结合回归方程过样本中心 点整理计算即可求得最终结果详解：由题意可得：回归方程过样本中心点则： 即：整理可得：故答案为： 270 点睛： (1) 正确理解计算的公式和准确 解析： 【解析】 分析：由题意首先确定样本中心点，然后结合回归方程过样本中心点整理计算即可求得最 终结果 . 详解：由题意可得： 9 14 1 22 4 4 c cx ， 18 48 30 96 4 4 d dy ， 回归方程过样本中心点，则： 96 223 60 4 4 d c ， 即： 96 3 22 240d c ， 整理可得： 3 270c d . 故答案为： 270． 点睛： (1)正确理解计算 $,b a$ 的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键． (2)回归直线方程 y bx a$ $ $ 必过样本点中心 ,x y ． (3)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具 有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程来估计和预测． 19．【解析】这 20 组随机数中该学生三次投篮中恰有一次命中的有 537730488027257683458925共 8 组则该学生三次投篮中恰有一次命中的概率约 为故填 解析： 2 5 【解析】 这 20 组随机数中 , 该学生三次投篮中恰有一次命中的有 537,730,488,027,257,683,458,925 共 8 组 , 则该学生三次投篮中恰有一次命中的概率约为 8 2 20 5 ,故填 2 5 . 20．7【解析】设丢失的数据是点睛：函数关系是一种确定的关系相关关系是一 种非确定的关系事实上函数关系是两个非随机变量的关系而相关关系是非随机 变量与随机变量的关系如果线性相关则直接根据用公式求写出回归方程回 解析： 7 【解析】设丢失的数据是 ,m 3 4 4 4 1 3 5 7 2 x y m mQ 点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系 . 事实上，函数关系是两 个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系 . 如果线性相关，则直接 根据用公式求 ??,a b，写出回归方程，回归直线方程恒过点 ,x y . 三、解答题 21． （1）散点图见解析；（ 2） ? 3.7 139.9y x ；（ 3）121 杯 . 【解析】 【分析】 （1）根据表中数据，画出散点图即可； （2）根据表中数据，计算 4 4 2 1 1 , , ,i i i i i x y x y x ，代入公式求出 , ^ ^ b a ，写出回归方程； （3）根据回归方程计算 5x 时 ^ y 的值即可 . 【详解】 （1）根据表中数据，画出散点图，如图所示； （2）计算 1 (0 1 3 4) 2 4 x ， 1 (140 136 129 125) 132.5 4 y 又 4 1 1023i i i x y ， 4 2 1 26i i x ， ∴ 2 1023 4 2 132.5? 3.7 26 4 2 b ， ?? 132.5 ( 3.7) 2 139.9a y bx ， 故所求线性回归方程为 ? 3.7 139.9y x ； （3）当 5x 时， ? 3.7 5 139.9 121.4 121y ；预测这天大约可以卖出 121 杯热 饮． 【点睛】 本题考查线性回归方程的实际应用，考查学生的计算能力，属于基础题 . 22． (1) 1 6 (2) 25 72 P 【解析】 【分析】 （1）直接由几何概型中的长度型概率计算公式求解． （2）设甲需要等待的时间为 x ，乙需要等待的时间为 y ，由已知列不等式组，利用几何概 型中的面积型概率计算公式求解． 【详解】 解：（ 1）因为电台每隔 1 小时报时一次， 甲在 0,60 之间任何一个时刻打开收音机是等可能的， 所以他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关， 而与该时间段的位置无关，符合几何概型的条件 . 设事件 A 为“甲等待的时间不多于 10 分钟”， 则事件 A 恰好是打开收音机的时刻位于 50,60 时间段内， 因此由几何概型的概率公式得 60 50 1 60 6 P A ， 所以“甲等待的时间不多于 10 分钟“的概率为 1 6 . （2）因为甲、乙两人起床的时间是任意的， 所以所求事件是一个与两个变量相关的几何概型，且为面积型 . 设甲需要等待的时间为 x ，乙需要等待的时间为 y （ 10 分钟为一个长度单位） . 则由已知可得，对应的基本事件空间为 0 6 , 0 6 x x y y . 甲比乙多等待 10 分钟以上对应的事件为 0 6 , 0 6 1 x M x y y x y . 在平面直角坐标系中作出两个不等式组所表示的平面区域，如图所示 . 显然 表示一个边长为 6 的正方形 OQRS 的内部及线段 OQ ， OS， 其面积 2 1 6 36S . M 表示的是腰长为 5 的等腰直角三角形 QDE 的内部及线段 DQ ， 其面积 2 2 1 255 2 2 S ，故所求事件的概率为 25 252 36 72 P . 【点睛】 本题主要考查了几何概型概率计算，考查转化能力，属于中档题． 23． （1） 1 10 ；（ 2） 4 5 ；（ 3）1920 元． 【解析】 【分析】 （1）求出乙生产三等品的件数，根据古典概型的概率公式进行求解即可； （2）由条件求出甲在一天中测试指标不小于 80 的件数，根据古典概型概率公式，即可求 出； （3）根据条件求出甲、乙一天中生产一等品、二等品、三等品的产品件数，即可得出结论 . 【详解】 （1）依题意，乙生产三等品，即为测试指标小于 80， 所求概率为： 1 3 7 1 3 7 20 40 20 10 10 P ． （2）依题意，甲生产一件产品，盈利不小于 30 元，即为测试指标不小于 80， 2 35 35 7 3 4 5 15 35 35 7 3 5 P ． （3）甲一天生产 40 件产品，其中 三等品的件数为 40(5 15) 8 100 件． 二等品的件数为 40(35 35) 28 100 件． 一等品的件数为 40(7 3) 41 100 件． 乙一天生产 30 件产品，其中： 三等品的件数为 30(3 7) 3 100 件， 二等品的件数为 30(20 40) 18 100 件， 三等品的件数为 30(20 10) 9 100 件． 则 (8 3) ( 10) (28 28) 30 (9 4) 50 1920 元． 估计甲、乙两人一天共为企业创收 1920 元． 【点睛】 本题考查求古典概型概率以及简单应用，考查分析问题解决问题能力，属于中档题 . 24． （1）见解析；（ 2） 2 9( , ] 2 8 . 【解析】 试题分析： (Ⅰ )运用正弦定理将 化简变形 ,再解三角方程即可获解； (Ⅱ)将角 用 表示 ,换元法求函数 的值域即可 . 试题解析： (Ⅰ )由 tana b A及正弦定理，得 sin sin cos sin A a A A b B ，∴ sin cosB A ， 即 sin sin( ) 2 B A ， 又 B 为钝角，因此 ( , ) 2 2 A ， 故 2 B A ，即 2 B A ； (Ⅱ)由（ 1）知， ( )C A B (2 ) 2 0 2 2 A A ，∴ (0, ) 4 A ， 于是 sin sin sin sin( 2 ) 2 A C A A 2 21 9sin cos2 2sin sin 1 2(sin ) 4 8 A A A A A ， ∵ 0 4 A ，∴ 20 sin 2 A ，因此 22 1 9 92(sin ) 2 4 8 8 A ，由此可知 sin sinA C 的取值范围是 2 9( , ] 2 8 ． 考点：正弦定理、三角变换，二次函数的有关知识和公式的应用 . 25． （1） 0.03a . （2）544 人. （3） 7 15 P M . 【解析】 试题分析：（ 1）由于图中所有小矩形的面积之和等于 1， 所以 10 (0.005 0.01 0.02 0.025 0.01) 1a ． ⋯⋯2分 解得 0.03a ． ⋯⋯3分 （2）根据频率分布直方图，成绩不低于 60 分的频率 为1 10 (0.005 0.01) 0.85． ⋯⋯5分 由于该校高一年级共有学生 640 人，利用样本估计总体的思想， 可估计该校高一年级数学成绩不低于 60 分的人数约为 640 0.85 544人． ⋯⋯6分 （3）成绩在 40,50 分数段内的人数为 40 0.05 2 人，分别记为 A ， B ． ⋯⋯7分 成绩在 90,100 分数段内的人数为 40 0.1 4 人，分别记为 C ， D ， E ， F ． ⋯⋯8分 若从数学成绩在 40,50 与 90,100 两个分数段内的学生中随机选取两名学生， 则所有的基本事件有： ,A B ， ,A C ， ,A D ， ,A E ， ,A F ， ,B C ， ,B D ， ,B E ， ,B F ， ,C D ， ,C E ， ,C F ， ,D E ， ,D F ， ,E F 共 15 种． ⋯⋯ 10分 如果两名学生的数学成绩都在 40,50 分数段内或都在 90,100 分数段内，那么这两名学 生的数学成绩之差的绝对值一定不大于 10.如果一个成绩在 40,50 分数段内，另一个成绩 在 90,100 分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于 10． 记 “这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10”为事件 M ，则事件 M 包含的基本事件 有： ,A B ， ,C D ， ,C E ， ,C F ， ,D E ， ,D F ， ,E F 共 7 种． ⋯⋯ 11分 所以所求概率为 7 15 P M ． ⋯⋯ 12分 考点：本小题主要考查频率分布直方图的应用和古典概型概率的求解，考查学生识图、用 图的能力和运算求解能力 . 点评：解决与频率分布直方图有关的题目时，要注意到频率分布直方图中纵轴表示的是 频率 /组距，不是频率，图中小矩形的面积才表示频率 . 26． （1） 1 4 ；（ 2）见解析；（ 3）见解析 【解析】 【分析】 (1)列出基本事件的所有情况，然后再列出满足条件的所有情况，利用古典概率公式即可得 到答案 . (2)计算平均值和方差，从而比较甲同学应在物理和历史中选择哪一门学科； （3）先计算 x 和 y ，然后通过公式计算出线性回归方程，然后代入平均值 50 即可得到答 案 . 【详解】 (1) 记物理、历史分别为 1 2,A A ，思想政治、地理、化学、生物分别为 1 2 3 4, , ,B B B B ， 由题意可知考生选择的情形有 1 1 2, ,A B B ， 1 1 3, ,A B B ， 1 1 4, ,A B B ， 1 2 3, ,A B B ， 1 2 4, ,A B B ， 1 3 4, ,A B B ， 2 1 2, ,A B B ， 2 1 3, ,A B B ， 2 1 4, ,A B B ， 2 2 3, ,A B B ， 2 2 4, ,A B B ， 2 3 4, ,A B B ，共 12 种 他选到物理、地理两门功课的满情形有 1 1 2 1 2 3 1 2 4, , , , , ,A B B A B B A B B ，共 3 种 甲同学选到物理、地理两门功课的概率为 3 1 12 4 P (2) 物理成绩的平均分为 76 82 82 85 87 90 93 85 7 x物理 历史成绩的平均分为 69 76 80 82 94 96 98 85 7 x历史 由茎叶图可知物理成绩的方差 2 s 物理 历史成绩的方差 2 s 物理 故从平均分来看，选择物理历史学科均可以；从方差的稳定性来看，应选择物理学科；从 最高分的情况来看，应选择历史学科 ( 答对一点即可 ) (3) 57+61+65+72+74+77+84 70 7 x ， 85y , 7 1 7 22 2 1 7 41964 7 70 85 314 0.58 34840 7 70 540 ? 7 i ii ii x y x y b x x 85 0.58 70 44.? 0? 4a y b x y 关于 x 的回归方程为 0.58 +44.40y x 当 50x 时， 0.58 50+44.40 73y , 当班级平均分为 50 分时，其物理考试成绩为 73 分 【点睛】 本题主要考查古典概型，统计数的相关含义，线性回归方程的计算，意在考查学生的阅读 理解能力，计算能力和分析能力，难度不大 .