2017-2018学年河北安平中学高二下学期第三次月考理科数学试题-解析版

2017-2018学年河北安平中学高二下学期第三次月考理科数学试题-解析版

绝密★启用前 河北安平中学2017-2018学年高二下学期第三次月考理科数学试题 注意事项：‎ ‎1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题）‎ 请点击修改第I卷的文字说明 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．设集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：利用并集定义、不等式性质直接求解．‎ 详解：∵集合，‎ ‎∴‎ 故选B.‎ 点睛：本题考查集合的并集运算，掌握交集的定义是解题的关键，属于容易题.‎ ‎2．已知等比数列满足，则的值为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵等比数列满足，∴，又偶数项同号，∴‎ ‎∴，∴‎ 故选：A ‎3．将参数方程(θ为参数)化为普通方程是(　　)‎ A. y＝x－2 B. y＝x＋2‎ C. y＝x－2(2≤x≤3) D. y＝x＋2(0≤y≤1)‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：先根据代入消元法消参数，再根据三角函数有界性确定范围.‎ 详解：因为，所以y＝x－2，‎ 因为，所以2≤x≤3,‎ 因此选C.‎ 点睛：1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换法． 2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响．‎ ‎4．在极坐标系中，过点(2，)且与极轴平行的直线的方程是(　　)‎ A. ρcosθ＝ B. ρsinθ＝‎ C. ρ＝cosθ D. ρ＝sinθ ‎【答案】B ‎【解析】分析：先根据直角坐标系求出直线方程，再化为极坐标方程.‎ 详解：因为直线过点(2，) 且与极轴平行的，所以直线过点(1，) 且斜率为0‎ 所以直线方程为y＝‎ 因此直线极坐标方程为ρsinθ＝，‎ 选B.‎ 点睛：(1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式及直接代入并化简即可； (2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.‎ ‎5．下列不等式一定成立的是(　　)‎ A. () B. ()‎ C. () D. ()‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：首先需要对四个选项逐一分析，结合基本不等式成立的条件，再者就是结合二次函数的性质，从而求得正确的结果.‎ 详解：对于A，当时成立；‎ 对于B，，当且仅当时等号成立；‎ 对于C，应为；‎ 对于D，；‎ 综上所述，故选B.‎ 点睛：该题考查的是有关基本不等式成立的条件，在解题的过程中，紧紧咬住一正、二定、三相等，结合题意，求得结果.‎ ‎6．设， 满足，则（ ）．‎ A. 有最小值，最大值 B. 有最小值，无最大值 C. 有最大值，无最小值 D. 既无最小值，也无最大值 ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：画出可行域如下图所示，由图可知,目标函数在点处取得最小值为,无最大值.‎ 考点：线性规划.‎ 视频 ‎7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：由题意首先确定几何体的空间结构，然后结合三棱锥的体积公式整理计算即可求得最终结果.‎ 详解：如图所示，在长宽高分别为的长方体中，‎ 该三视图对应的几何体为三棱锥，‎ 其中为其所在棱的中点，该几何体的体积：‎ ‎.‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．‎ ‎8．已知，，，则在方向上的投影为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：应用首先求得的值，然后求得两向量夹角的余弦值，最后求解在方向上的投影即可.‎ 详解：由题意可得：，‎ 则，设向量的夹角为，则，‎ 则在方向上的投影为.‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：本题主要考查平面向量数量积的运算法则，向量投影的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎9．已知[x]表示不超过x的最大整数．执行如图所示的程序框图，若输入x的值为2，则输出z的值为(　　)‎ A. 1 B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.‎ 详解：若输入的值为2，则，满足继续循环的条件，；‎ 再次执行循环体，，满足继续循环的条件，；‎ 再次执行循环体，，不满足继续循环的条件，‎ 故，故选B.‎ 点睛：该题考查的是有关程序框图的问题，在解题的过程中，需要认真分析框图中涉及到的量的关系，注意循环体执行的条件，模拟程序的运行过程，求得结果.‎ ‎10．已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】令g（x）=，因为函数在区间上是增函数，从复合函数的角度分析，外层是递增的，所以转化为内层函数g（x）=在区间上是增函数，且g（x）>0在上恒成立； ‎ ‎ 故选D ‎11．P是椭圆(α为参数)上一点，且在第一象限，OP(O为原点)的倾斜角为，则点P的坐标为(　　)‎ A. (2，3) B. C. D. (4，3)‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：先根据OP斜率求参数，代入即得P的坐标.‎ 详解：因为OP(O为原点)的倾斜角为，，所以OP斜率为，‎ 因为P是椭圆(α为参数)上一点，所以，,‎ 因为P在第一象限，所以因此点P的坐标为 ‎ 选B.‎ 点睛：利用曲线的参数方程来求解两曲线间的交点问题非常简捷方便，是我们解决这类问题的好方法.椭圆参数方程：， 圆参数方程：，直线参数方程：‎ ‎12．已知直线l：(t为参数)和抛物线C：y2＝2x，l与C分别交于点P1，P2，则点A(0，2)到P1，P2两点距离之和是(　　)‎ A. 4＋ B. 2(2＋) C. 4(2＋) D. 8＋‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：先将直线参数方程化为标准方程，再代入抛物线方程，根据参数几何意义求点A(0，2)到P1，P2两点距离之和.‎ 详解：因为直线l：(t为参数)，所以直线l：(m为参数)‎ 代入抛物线方程得，‎ 因此点A(0，2)到P1，P2两点距离之和是 选C.‎ 点睛：直线的参数方程的标准形式的应用 过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是.(t是参数，t可正、可负、可为0)‎ 若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则 ‎(1)M1，M2两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0＋t2cos α，y0＋t2sin α).‎ ‎(2)|M1M2|＝|t1－t2|.‎ ‎(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝，中点M到定点M0的距离|MM0|＝|t|＝.‎ ‎(4)若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：根据图形的对称性求出黑色图形的面积，即为圆的面积的一半，利用几何概型的概率公式进行计算即可.‎ 详解：根据图形的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，‎ 设圆的半径为1，则正方形的边长为2，‎ 所以黑色部分的面积为，‎ 则所求的概率为，‎ 故答案为.‎ 点睛：该题考查的是有关几何概型的概率求解问题，在解题的过程中，需要分析得出黑色图形的面积等于圆的面积的一半，之后应用相关的公式求得结果.‎ ‎14．在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线l与曲线C： (α为参数)交于A，B两点，且|AB|＝2.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：先消参数得曲线C的普通方程，再根据弦长确定直线过圆心，根据点斜式求直线方程，最后化为极坐标方程.‎ 详解：因为C：，所以 因为|AB|＝2，所以直线l恰好过圆心C，‎ 因此直线l方程为 .‎ 点睛：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，经常用到公式：.不要忘了参数的范围.‎ ‎15．在极坐标系中，点到曲线ρcos＝2上的点的距离的最小值为________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】分析：先将曲线极坐标方程化为直角坐标方程，再根据点到直线距离公式求最小值.‎ 详解：因为ρcos＝2，所以 因为点，所以 因此点到曲线ρcos＝2上的点的距离的最小值为点到直线的距离，为，‎ 点睛：(1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式及直接代入并化简即可； (2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.‎ ‎16．已知一个四面体的每个顶点都在表面积为的球的表面上，且， ，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得，该四面体的四个顶点位于一个长方体的四个顶点上，‎ 设长方体的长宽高为，由题意可得：‎ ‎，据此可得： ，‎ 则球的表面积： ，‎ 结合解得： .‎ 点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC(acosB＋bcosA)＝c.‎ ‎(1)求C；‎ ‎(2)若，△ABC的面积为，求△ABC的周长．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】分析：(1)利用正弦定理以及两角和与两角差的三角函数转化求解C.‎ ‎(2)通过三角形的面积以及余弦定理转化求解即可.‎ 详解：（1）由已知及正弦定理得2cosC(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinC，‎ ‎2cosCsin(A＋B)＝sinC，故2sinCcosC＝sinC.‎ 可得cosC＝，因为，所以C＝.‎ ‎（2）由已知S△ABC＝absinC＝，又C＝，所以ab＝6，‎ 由已知及余弦定理得a2＋b2-2abcosC＝7，故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25，‎ 所以a＋b＝5.所以△ABC的周长为5＋.‎ 点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理、两角和的正弦公式、诱导公式、三角形的面积公式、余弦定理等，在解题的过程中，注意对公式的正确使用，从而求得结果.‎ ‎18．极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2(cosθ＋sinθ)．‎ ‎(1)求C的直角坐标方程；‎ ‎(2)直线l： (t为参数)与曲线C交于A，B两点，与y轴交于E，求|EA|＋|EB|.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】分析：（1）根据将极坐标方程化为直角坐标方程（2）将直线参数方程代入圆方程，根据参数几何意义以及韦达定理求结果.‎ 详解： (1)在ρ＝2(cosθ＋sinθ)中，‎ 两边同乘ρ，得ρ2＝2(ρcosθ＋ρsinθ)，‎ 则C的直角坐标方程为x2＋y2＝2x＋2y，‎ 即(x－1)2＋(y－1)2＝2.‎ ‎(2)将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，化简得t2－t－1＝0，‎ 点E所对的参数t＝0，设点A，B对应的参数分别为t1，t2，‎ 则t1＋t2＝1，t1t2＝－1，‎ 所以|EA|＋|EB|＝|t1|＋|t2|＝|t1－t2|＝＝.‎ 点睛：直线的参数方程的标准形式的应用 过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是.(t是参数，t可正、可负、可为0)‎ 若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则 ‎(1)M1，M2两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0＋t2cos α，y0＋t2sin α).‎ ‎(2)|M1M2|＝|t1－t2|.‎ ‎(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝，中点M到定点M0的距离|MM0|＝|t|＝.‎ ‎(4)若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0.‎ ‎19．已知数列为等差数列，，.‎ ‎（1） 求数列的通项公式;‎ ‎（2）求数列的前n项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：利用等差数列通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列的 通项公式；（2）由（1）可得，利用错位相减法及等比数列前项和公式能求出数列的前n项和.‎ 试题解析： (1)设数列的公差为，依题意得方程组解得.‎ 所以的通项公式为. ‎ ‎（2）由（1）可得，‎ ‎  ‎ ‚ －‚得 所以. ‎ ‎【 方法点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的求和公式以及错位相减法求数列的前 项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.‎ ‎20．己知直线l：，曲线C1：(θ为参数)．‎ ‎(1)设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；‎ ‎(2)若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．‎ ‎【答案】（1）1；（2）‎ ‎【解析】分析：(1)先根据加减消元法以及三角函数平方关系，将直线与圆参数方程化为直角坐标方程，再根据垂径定理求弦长，(2)先根据变换得椭圆方程，再根据椭圆参数方程表示点坐标，利用点到直线距离公式表示距离，最后根据三角函数有界性确定最小值.‎ 详解：(1)l的普通方程为y＝ (x－1)，C1的普通方程为x2＋y2＝1.‎ 联立方程组，解得l与C1的交点为A(1,0)，B(，－)，‎ 则|AB|＝1. ‎ ‎(2)C2的参数方程为，(θ为参数)．故点P的坐标是(cosθ， sinθ)，从而点P到直线l的距离是d＝＝ [sin(θ－)＋2]，‎ 由此当sin(θ－)＝－1时， d取得最小值，且最小值为 (－1)．‎ 点睛：利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题非常简捷方便，是我们解决这类问题的好方法.椭圆参数方程：， 圆参数方程：‎ ‎，直线参数方程：‎ ‎21．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（， 为参数），以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，若直线与曲线相切；‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）在曲线上取两点， 与原点构成，且满足，求面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用极坐标与直角坐标的互化公式可得直线的直角坐标方程为， ‎ ‎，消去参数可知曲线是圆心为，半径为的圆，由直线与曲线相切，可得： ；则曲线C的方程为， 再次利用极坐标与直角坐标的互化公式可得 可得曲线C的极坐标方程.‎ ‎(2)由（1）不妨设M（），，（），‎ ‎， ‎ ‎， ‎ 由此可求面积的最大值.‎ 试题解析：（1）由题意可知直线的直角坐标方程为， ‎ 曲线是圆心为，半径为的圆，直线与曲线相切，可得： ；可知曲线C的方程为， ‎ 所以曲线C的极坐标方程为，‎ 即.‎ ‎(2)由（1）不妨设M（），，（），‎ ‎， ‎ ‎， ‎ 当 时， ，‎ 所以△MON面积的最大值为.‎ ‎22．已知曲线C1的参数方程是(θ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝－2cosθ.‎ ‎(1)写出C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)已知点M1、M2的极坐标分别是(1，π)、(2，)，直线M1M2与曲线C2相交于P、Q两点，射线OP与曲线C1相交于点A，射线OQ与曲线C1相交于点B，求的值．‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】分析：(1)先根据三角函数平方关系将曲线C1的参数方程化为普通方程，再根据将普通方程化为极坐标方程，利用将 曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程，(2)先根据直线M1M2过圆心得P、Q为一直径端点，即得OA⊥OB，设A,B极坐标，并代入C1的极坐标方程化简可得结果.‎ 详解：(1)曲线C1的普通方程：x2＋＝1，化为极坐标方程：ρ2cos2θ＋＝1，‎ 曲线C2的直角坐标方程：(x＋1)2＋y2＝1.‎ ‎(2)在直角坐标系下，M1(－1,0)，M2(0,2)，‎ 线段PQ是圆(x＋1)2＋y2＝1的一条直径，‎ ‎∴∠POQ＝90°，由OP⊥OQ，有OA⊥OB，‎ A，B是椭圆x2＋＝1上的两点，在极坐标系下，‎ 设A(ρ1，θ)，B(ρ2，θ＋)，分别代入ρ2cos2θ＋＝1中，‎ 有ρcos2θ＋＝1，ρcos2(θ＋)＋＝1，‎ 解得：＝cos2θ＋，＝sin2θ＋.‎ 则＋＝cos2θ＋＋sin2θ＋＝1＋＝‎ 即＋＝.‎ 点睛：涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决．‎