【数学】云南省昆明市官渡区第一中学2019-2020学年高二下学期期中考试（理）试题

【数学】云南省昆明市官渡区第一中学2019-2020学年高二下学期期中考试（理）试题

www.ks5u.com 云南省昆明市官渡区第一中学2019-2020学年 高二下学期期中考试（理）试题 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1. 是虚数单位，复数 的虚部是( ) ‎ A．0    B．－1    C．1    D．－ ‎ ‎2.已知,，满足，则p 与q的关系为( )‎ A.    B.   C.    D. ‎ ‎3.在正项等比数列中，，，数列满足 ，则数列的前6项和是( )‎ A．0    B．2 C．3    D．5 ‎ ‎4.函数(，， 为常数，，)的部分图象如图所示，‎ 则的值（ ）‎ A．   B．   C．0    D．‎ ‎5．根据如图所示的程序框图，若输出的值为4，则输入的值为( )‎ A． B．1 C．或 D．或1‎ ‎6. 一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有下列结论: ①; ②与所成的角为; ③与是异面直线; ④. 其中正确的是(  )‎ A.①②        B.③④       ‎ C.②③        D.①③‎ ‎7. 函数有且只有一个零点的充分不必要条件是( )‎ A. B. C. D.或 ‎8.已知函数 是定义在 R 上的奇函数，且当时，，则函数在 x ＝1处的切线方程为( )‎ A．        B． ‎ C．   D．‎ ‎9. 中，分别是角的对边，向量,， ‎ ‎∥ 且 ，则 ＝( )‎ A．30°    B．60°   C．120°    D．150° ‎ ‎10. 已知双曲线 ( ＞0， ＞0)，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于 ， 两点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为( )‎ ‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎11. 设 ，若当 时，恒成立，则实数 m 的取值范围是( ) ‎ A．   B．∪ ‎ C． D．∪ ‎ ‎12. 函数的定义域为 ，若满足① 在 内是单调函数；②存在 使 在上的值域为，那么就称为“成功函数”，若函数 是“成功函数”，则 t 的取值范围为( ) ‎ A．(0，+∞)   B．   C．   D． ‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13. 展开式中的常数项为__________． ‎ ‎14. 已知的面积为，，则_______.‎ ‎15.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次,至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组,代表射击4次的结果,经随机模拟产生了20组随机数:‎ ‎7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 ‎ ‎0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281‎ 根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为__________.‎ ‎16. 已知球面上有四点, ,,,,且 ‎⊥平面,则此球的体积为______________.‎ 三、解答题（第17题10分，其它题12分，共70分）‎ ‎17．(本小题满分10分)‎ 已知，，其中，若函数，且的对称中心到对称轴的最近距离不小于． ‎ ‎（1）求 的取值范围； ‎ ‎（2）在 中，分别是角 的对边，且， ，当取最大 值时，，求 的面积． ‎ ‎18．(本小题满分12分)‎ 正项数列的前项和满足：‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，数列的前项和为.证明：对于任意的，‎ 都有.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于小时的社区服务才合格．教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据，按时间段，，，，（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．‎ ‎（1）求抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数，并估计从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率；‎ ‎（2）从全市高中学生（人数很多）中任意选取3位学生，记为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数．试求随机变量的分布列和数学期望.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 正的边长为4， 是 边上的高， ，分别是， 的中点，现将沿 翻折成直二面角，如图2.在图2中： ‎ ‎（1）求二面角 的余弦值； ‎ ‎（2）在线段上找一点，使 ‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知椭圆 的上顶点为，右焦点为，直线与圆相切 ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若不过点的动直线与椭圆交于两点，且，求证：直线过定点，并求该定点坐标. ‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知函数 ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）当时，，求实数的取值范围.‎ ‎【参考答案】‎ 一、选择题（本题满分60分，每小题5分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B D C A D D A B ‎ A C D C 二、填空题（本题满分20分，每小题5分）‎ ‎13、84 14、7 15、 16、‎ 三、解答题（本题满分70分）‎ ‎17（本题满分10分）‎ 解：（1） ‎ ‎．   ‎ ‎∵ ω ＞0，∴ ， ‎ 由题意知 ，即 ，∴0＜ ω ≤1． ‎ 故 ω 的取值范围是(0，1]．  ‎ ‎（2）由（Ⅰ）知 ω 的最大值为1，所以 ， ‎ ‎∵ f ( A )＝1且0＜ A ＜π． ∴ ，∴ ，   ‎ 由余弦定理 ， ∴ b 2 + c 2 － bc ＝ a 2 ．   ‎ 又 b + c ＝2， a ＝1，∴ bc ＝1，∴ ． ‎ ‎18（本题满分12分）‎ (1) 解：由－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0，‎ 得[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0.‎ 由于{an}是正项数列，所以Sn>0，Sn＝n2＋n.‎ 于是a1＝S1＝2，n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n.‎ 综上，数列{an}的通项an＝2n.‎ ‎(2)证明：由于an＝2n，，‎ 则.‎ ‎19（本题满分12分）‎ 解：（1）根据题意，‎ 参加社区服务时间在时间段小时的学生人数为（人），‎ 参加社区服务时间在时间段小时的学生人数为（人）．‎ 所以抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为人． ‎ 所以从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于 ‎90小时的概率估计为 ‎ ‎ （2）由（Ⅰ）可知，从全市高中生中任意选取1人，‎ 其参加社区服务时间不少于90小时的概率为 由已知得，随机变量的可能取值为．‎ 所以；；‎ ‎；．‎ 随机变量的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 因为～，所以 ‎20、（本小题满分12分）‎ 解： （1）以点 D 为坐标原点，直线 DB ， DC ， DA 分别为 x 轴、 y 轴、 x 轴建 空间直角坐标系，则 D (0，0，0)， A (0，0，2)， B (2，0，0)， ‎ ‎． ． ． ‎ 平面 CDF 的法向量为 ． ‎ 设平面 EDF 的法向量为 n ＝( x ， y ， z )，‎ 则 即 可取 ． ‎ ‎， ‎ 所以，二面角 E － DF － C 的余弦值为 ．  ‎ ‎（2）在平面坐标系 xDy 中，直线 BC 的方程为 ． ‎ 设 ，则 ，所以 ‎ ‎． ‎ 所以， P 是 BC 上的一个三等分点且| PC |＝2| BP |． ‎ ‎21（本题满分12分）‎ 解：圆的圆心为,半径.‎ 由题意知，，直线的方程为，‎ 即，由直线与圆相切，得，‎ 解得，，故椭圆的方程为.‎ 证明：法一 由知，从而直线与坐标轴不垂直，‎ 故可设直线的方程为，直线的方程为.‎ 联立方程组整理得，‎ 解得或，故点的坐标为，‎ 同理，点的坐标为.‎ 所以直线的斜率为，‎ 所以直线的方程为，‎ 即，所以直线过定点.‎ 法二 由知，从而直线与轴不垂直，‎ 故可设直线的方程为，‎ 联立得整理得.‎ 设，，则 由得.‎ 由，‎ 得，‎ 将代入，得，所以直线过定点.‎ ‎22（本小题满分12分）‎ 解：（1），‎ 令当单增，‎ 单减 ‎（2）令，即恒成立，‎ 而，‎ 令 在上单调递增，，‎ 当时，在上单调递增，，符合题意；‎ 当时，在上单调递减，，与题意不合；‎ 当时，为一个单调递增的函数，而，‎ 由零点存在性定理，必存在一个零点，使得，‎ 当时，从而在上单调递减，‎ 从而，与题意不合，‎ 综上所述：的取值范围为