2018-2019学年吉林省实验中学高二上学期期末考试数学（文）试题 Word版
吉林省实验中学2017级高二年级上学期期末考试
数学（文科）学科试卷
考试时间 ：120分钟 满分：150分
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．某班有男生36人，女生18人，用分层抽样的方法从该班全体学生中抽取一个容量
为9的样本，则抽取的女生人数为 （ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
2．已知p：a≠0，q：ab≠0，则p是q的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知命题p：∀x>2，x3－8>0，那么p是 （ ）
A．∀x≤2，x3－8≤0 B．∃x≤2，x3－8≤0
C．∀x>2，x3－8≤0 D．∃x>2，x3－8≤0
4．四张卡片上分别写有数字1,2,3,4，若从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为 （ ）
A. B. C. D.
5．已知函数y＝xlnx，则这个函数在点x＝1处的切线方程是 （ ）
A．y＝2x－2 B．y＝2x＋2 C．y＝x－1 D．y＝x＋1
6．已知椭圆与双曲线－＝1的焦点相同，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和
为10，那么椭圆的离心率等于 （ ）
A. B. C. D.
7．已知一组数据按从小到大的顺序排列，得到－1,0,4，x,7,14，中位数为5，则这组数据的平均数和方差分别为 （ ）
A． B． C． D．
8．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则C的渐近线方程为 （ ）
A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x
9．函数f(x)＝，x∈[0,4]的最大值为 （ ）
A．0 B. C. D.
10．在（0，1）之间随机取两个数，则的概率为 （ ）
A. B. C. D.
11．设P是椭圆＋＝1上一点，M，N分别是两圆(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为 （ ）
A．9,12 B．8,11 C．10,12 D．8,12
12．已知偶函数f(x)在定义域内可导，且，设，，，则 （ ）
A．a
b>0)上一点，若，则 ．
15．已知函数有两个零点，则的取值范围是 ．
16．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F(－c,0)(c>0)作圆x2＋y2＝的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若＝(＋)，则双曲线的离心率为________．
三、解答题：（本大题共6小题，其中17小题10分，18~22小题每小题12分；解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）某班抽取20名学生周测物理考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如下：
（1）求频率分布直方图中a的值，并写出众数；
（2）分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数；
（3）从成绩在[50,70)的学生中任选2人，求这2人的成绩都在[60,70)中的概率．
18．（本小题满分12分）已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点A(2,0)，离心率为，直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.
（1）求椭圆C的方程；
（2）当△AMN的面积为时，求实数k的值．
19．（本小题满分12分）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得＝80，＝20，＝184，＝720.
（1）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程；
（2）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；
（3）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．
参考公式：
20．（本小题满分12分）已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点K(－1,0)为直线l与抛物线C准线的交点，直线l与抛物线C相交于A，B两点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设·＝，求直线l的方程．
21．（本小题满分12分）设函数．
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，．
22．（本小题满分12分）已知函数f(x)＝x2＋alnx.
（1）若a＝－1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；
（2）若a＝1，求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；
（3）若a＝1，求证：在区间[1，＋∞)上函数f(x)的图像恒在函数g(x)＝x3的图像的下方．
吉林省实验中学2017级高二年级上学期期末考试
数学（文科）学科答案
一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分）
CBDCC BACBA DB
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）
13. 0.18或 14. 3
15. 16.
三、解答题
17. 解：（1）据直方图知组距＝10，
由(2a＋3a＋6a＋7a＋2a)×10＝1，
解得a＝＝0.005.
众数：75 ………………4分
（2）成绩落在[50,60)中的学生人数为2×0.005×10×20＝2，
成绩落在[60,70)中的学生人数为3×0.005×10×20＝3 .………………6分
（3） 记成绩落在[50,60)中的2人为A1，A2，成绩落在[60,70)中的3人为B1，B2，B3，
则从成绩在[50,70)的学生中任选2人的基本事件共有10个：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，
记“两人成绩都落在[60,70)”为事件C，
则事件C包含的基本事件有3个：(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，
. ………………10分
18. 解：（1）∵a＝2，e＝＝，∴c＝，b＝.
∴椭圆C：＋＝1. ………………4分
（2） 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由消y，
得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.
∵直线y＝k(x－1)恒过椭圆内一点(1,0)，
∴Δ>0恒成立．
由根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝. ………………8分
S△AMN＝×1×|y1－y2|＝×|kx1－kx2| ………………10分
＝＝＝.
即7k4－2k2－5＝0，解得k＝±1. ………………12分
19. 解：（1）由题意知n＝10，＝＝＝8
＝＝＝2，又－＝720－10×82＝80，
又－＝184－10×8×2＝24，
由此得＝0.3， 2－0.3×8＝－0.4，
故所求回归方程为＝0.3x－0.4. ………………6分
（2）由于变量y的值随x的值增加而增加(b＝0.3>0)，故x与y之间是正相关 ……8分
（3）将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄约为y＝0.3×7－0.4＝1.7千元．
………………12分
20. （1）依题意知－＝－1，解得p＝2.
所以抛物线C的方程为y2＝4x. ………………4分
（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且设直线l的方程为x＝my－1(m≠0)．
将x＝my－1代入y2＝4x，并整理，得y2－4my＋4＝0.
由Δ>0，得m2>1.从而y1＋y2＝4m，y1y2＝4.
所以x1＋x2＝(my1－1)＋(my2－1)＝4m2－2，
x1x2＝(my1－1)(my2－1)＝m2y1y2－m(y1＋y2)＋1＝1 .………………8分
因为＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，
·＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋4＝8－4m2， ………………10分
故8－4m2＝，解得m＝±满足m2>1.
所以直线l的方程为x＝±y－1. ………………12分
即3x－4y＋3＝0或3x＋4y＋3＝0.
21．解：（1）由题设，的定义域为，
， .………………2分
令，解得． ………………3分
当时，，单调递增；
当时，，单调递减． ………………6分
（2）由（1）知，在处取得最大值，最大值为，
所以当时，，
故当时，，，
，即， ．
………………12分
（2）法二： 要证 即证，
构造函数，证明，即可．
22. 解：（1）由于函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
当a＝－1时，f′(x)＝x－＝，
令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1(舍去)．
当x∈(0,1)时，函数f(x)单调递减，
当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)单调递增，
所以f(x)在x＝1处取得极小值，极小值为. ………………4分
（2）当a＝1时，易知函数f(x)在[1，e]上为增函数，
所以f(x)min＝f(1)＝，f(x)max＝f(e)＝e2＋1. ………………8分
（3）证明：设F(x)＝f(x)－g(x)＝x2＋lnx－x3，
则F′(x)＝x＋－2x2＝，
当x>1时，F′(x)<0，故F(x)在区间(1，＋∞)上是减函数．又因为F(1)＝－<0，所以在区间[1，＋∞)上F(x)<0恒成立，即f(x)
查看更多
