2018-2019学年浙江省金华市金华第一中学高二上学期期中数学试题（解析版）

2018-2019学年浙江省金华市金华第一中学高二上学期期中数学试题（解析版）

‎2018-2019学年浙江省金华市金华第一中学高二上学期期中数学试题 一、单选题 ‎1．垂直于同一条直线的两条直线一定（ ）‎ A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都有可能 ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：根据在同一平面内两直线平行或相交，在空间内两直线平行、相交或异面判断．‎ 解：分两种情况：①在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；‎ ‎②在空间内垂直于同一条直线的两条直线可以平行、相交或异面．‎ 故选D ‎【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎2．若圆台的上下底面半径分别是1和3，它的侧面积是两底面面积的2倍，则圆台的母线长是（ ）‎ A． 2 B． 2.5 C． 5 D． 10‎ ‎【答案】C ‎【解析】设出圆台的母线长，求出圆台的侧面积与两底面积和，利用已知条件求出母线长即可．‎ ‎【详解】‎ 设母线长为，则侧面积为.‎ ‎∵侧面积是两底面面积的2倍 ‎∴‎ ‎∴‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题是基础题，考查圆台的侧面积与底面积的计算，意在考查学生的计算能力．‎ ‎3．已知m为一条直线，，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）‎ A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 ‎【答案】A ‎【解析】根据空间中直线与平面的位置关系,依次判断四个选项即可.‎ ‎【详解】‎ 因为m为一条直线,,为两个不同的平面 对于A, 若,,由直线与平面垂直的性质及平面与平面平行的性质可知,所以A正确;‎ 对于B, 若,,则或,所以B错误;‎ 对于C, 若,,则或,所以C错误;‎ 对于D, 若,,则,或,所以D错误.‎ 综上可知,正确的为A 故选:A ‎【点睛】‎ 本题考查了空间中直线与平面的平行与垂直关系,注意直线在平面内这一特殊形式,属于基础题.‎ ‎4．“a≠5且b≠﹣5”是“a+b≠0”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既非充分条件也非必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：根据充分必要条件的定义，分别证明其充分性和必要性，从而得到答案．‎ 解：a≠5且b≠﹣5推不出a+b≠0，例如：a=2，b=﹣2时a+b=0，‎ a+b≠0推不出a≠5且b≠﹣5，例如：a=5，b=﹣6，‎ 故“a≠5且b≠﹣5”是“a+b≠0”的既非充分条件也非必要条件，‎ 故选D．‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎5．如图，正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）‎ A． B． C．6 D．8‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：还原实际图形如图所示，,,，所以周长就是,故选D.‎ ‎【考点】直观图 ‎6．有下列四个命题:‎ ‎（1）“若,则,互为倒数”的逆命题;‎ ‎（2）“面积相等的三角形全等”的否命题;‎ ‎（3）“若,则无实数解”的否命题;‎ ‎（4）命题:“空间中到一个正四面体的六条棱所在的直线距离均相等的点有且只有个”; 其中真命题（ ）‎ A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（2）（3） D．（1）（2）（4）‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据逆命题、否命题的定义,逐项判断即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ 对于（1）,“若,则,互为倒数”的逆命题为“若,互为倒数,则” ,为真命题;‎ 对于（2）,“面积相等的三角形全等”的否命题为“面积不相等的三角形不全等” ,为真命题;‎ 对于（3）,“若,则无实数解”的否命题为“若,则 有实数解”,因为,可得,所以为假命题;‎ 对于（4）,如图,‎ ‎ ‎ 正四面体的内切球球心到六条棱所在直线的距离相等,将正四面体延拓为三棱锥,所得三棱台的内切球(只可能与底面不相切)球心到正四面体的六条棱所在直线的距离相等,同理,对每个面进行延拓均可得到一个满足题意的点,据此可知,满足题意的点有且只有五个.故为真命题.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题真假判断,掌握逆命题、否命题的定义是解本题关键,属于基础题.‎ ‎7．已知圆是圆上任意一点，过点向轴作垂线，垂足为，点在线段上，且，则点的轨迹方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】设点， 根据，因为三点在同一条竖直的线上故得到，是圆上任意一点，将点坐标代入得到 ‎ 故答案为：B。‎ ‎8．正四面体中，在平面内，点是线段的中点，在该四面体绕旋转的过程中，直线与平面所成角不可能是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】将问题抽象为如下几何模型，平面的垂线可视为圆锥的底面半径EP，绕着圆锥的轴EF旋转，则可得到答案 ‎【详解】‎ 考虑相对运动，让四面体ABCD保持静止，平面绕着CD旋转，故其垂线也绕着CD旋转，如下图所示,取AD的中点F，连接EF，则 则也可等价于平面绕着EF旋转，在中，易得如下图示，将问题抽象为如下几何模型，平面的垂线可视为圆锥的底面半径EP，绕着圆锥的轴EF旋转，显然则设BE与平面所成的角为，则可得 ‎ 考虑四个选项，只有选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查最小角定理的应用，线面角的最大值即为BE与CD所成的角.，属中档题.‎ ‎9．四个同样大小的球,,,两两相切,点是球上的动点,则直线与直线所成角的余弦值的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为四个同样大小的球,,,两两相切,可得是正四面体,设边长为,过作底面,运用线面垂直的性质,即可得到所成角的最大值,再由大圆的切线计算可得所成角的最小值,即可求得直线与直线所成角的余弦值的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 如图 是正四面体,设边长为,‎ 过作底面可得为底面的中心,‎ 由,可得,则在直线上时,‎ 可得直线与直线垂直,即有所成角的余弦值为,‎ 作,则,在平面内,过作球的切线，‎ 设切点为,此时最大,可得 与成的最大角，‎ ‎ 的最小值为，‎ 与成的最小角为,即有所成角的余弦值为，‎ ‎ 直线与直线所成角的余弦值的取值范围为.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了异面直线夹角问题,本题的解题关键是利用线面关系找到最大角和最小角,考查学生分析解决问题的能力和空间想象能力.‎ ‎10．如图,矩形中,,,是线段上一点且满足,是线段上一动点,把沿折起得到,使得平面平面,分别记,与平面所成角为,,平面与平面所成锐角为,则:（ ）‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意画出图形,因为与平面所成角为,平面与平面所成锐角为,与平面所成角为分别求出和,,结合图形分别比较和和,即可求出答案.‎ ‎【详解】‎ 如图,‎ 过作,在中,由,可得． 由等积法可得,则 ‎ 平面平面,且,可得平面 ‎ ．‎ 画出底面平面图:‎ 在,由余弦定理可得:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ,故 ‎ 结合图像可知: ‎ ‎ ,可得: ‎ ‎ ,‎ ‎ 可得 ┄①‎ 过作,垂足为,连接，‎ 则为平面与平面所成的锐角．‎ ‎ 到的距离,‎ 由底面图像可知: ‎ ‎ 即┄②‎ 由①②可得: ‎ ‎ 都是锐角,根据正切函数单调性可知: ‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间中直线与平面、平面与平面所成角的求法.在立体图形中某个平面内的线段较多且关系复杂时,可画出其平面图形进行求解.解题关键是求,和.考查空间想象能力与逻辑思维能力,是中档题．‎ 二、填空题 ‎11．已知向量,,且,那么_______,_______.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】根据空间向量平行的坐标关系,建立方程即可求出的值,即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎ ,,且 即: ‎ ‎ 解得: ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故答案为: ,.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间两个向量的数量积公式的应用,解题关键是掌握空间向量平行的坐标关系,属于基础题.‎ ‎12．过点作互相垂直的直线,,交正半轴于点,交正半轴于点,则线段中点轨迹方程为_______________________;过原点与、、四点的圆半径的最小值为______________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】设的方程:,则方程为:,求出点,点,即可求得中点轨迹.因为,,所以总存在经过,,,四点的圆,且该圆以为直径,分类讨论,确定、的坐标,表示出,即可求得过原点与、、四点的圆半径的最小值.‎ ‎【详解】‎ 设的方程:,则方程为:‎ ‎ 交正半轴于点,可得 ‎ 交正半轴于点,可得 为线段中点,设 ‎ 根据中点坐标公式可得: 即: ,消掉 ‎ 线段中点轨迹方程为: ‎ ‎,,‎ 存在经过、、、四点的圆,该圆以为直径．‎ ‎①若轴，轴，‎ ‎②若两条直线斜率均存在，设斜率为 方程为，‎ 方程为，‎ 令，解出 ‎，‎ ‎，，‎ 半径最小值为 ‎ 故答案为: ,.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了动点轨迹方程和圆半径的最小值,解题关键是设出方程和方程,通过联立方程求解出点坐标,考查了计算能力,属于基础题.‎ ‎13．某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为_______,表面积为_______.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】根据三视图画出其立体图形,由此计算出几何体的体积和表面积.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ ‎ 根据其三视图可知其几何体是一个四棱锥,底面是边长为正方形,‎ 过向底面作垂线交延长线于,根据其三视图可知,‎ ‎ ‎ 过作且,则四边形是边长为正方形.‎ 连接,可得 ‎ 在 ‎ ‎ ‎ 故 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 其几何体表面积为: ‎ 故答案为: ,.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查了几何体体积和表面积的计算,解题关键是根据其三视图画出其立体图形.要注意三视图的三要素“高平齐,长对正,宽相等”,注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响,对简单组合体三视图问题,先看俯视图确定底面的形状,根据正视图和侧视图,确定几何体的形状.‎ ‎14．正三棱锥S-ABC中，M、N分别是SC．BC中点，且MN⊥AM，若SA=2．则正三棱锥S - ABC的外接球的体积为 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵三棱锥S-ABC正棱锥，∴SB⊥AC（对棱互相垂直）∴MN⊥AC 又∵MN⊥AM而AM∩AC=A，∴MN⊥平面SAC即SB⊥平面SAC ‎∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球 ‎∴2R=23•，∴R=3，∴S=4πR2=4π•（3）2=36π ‎15．已知正四面体的棱长为,是棱上任意一点（不与,重合）,且点到面和面的距离分别为,,则的最小值为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】过点作平面于点,则为的重心，根据 即可求出,根据均值不等式,进而求得的最小值.‎ ‎【详解】‎ 过点作平面于点,则为的重心 如图所示:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 又 ‎ ‎ ‎ 可得 ‎ ‎ 当且仅当时取等号 ‎ 的最小值是 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了求不等式最小值.解题关键是采用分割法求四面体体积,求出,考查综合分析求解能力,属中档题.‎ ‎16．如图,已知正四棱锥可绕着任意旋转,平面.若，,则正四棱锥在面内的投影面积的取值范围是_______.‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得正四棱锥的侧面与底面所成角为,侧面上的高为,设正四棱锥的底面与平面所成角为,当时投影为矩形,当角度为时,投影面积最大;当时,投影为一个矩形和一个三角形;当时,投影面积开始逐渐变大.‎ ‎【详解】‎ 如图正四棱锥,,‎ 设底面中心为,取中点,连接和 ‎ 在中, ,可得: ‎ ‎ , ‎ ‎ 是侧面与底面的二面角.‎ ‎ 在,.‎ ‎ 侧面与底面的二面角为.‎ 设正四棱锥的底面与平面所成角为 ‎①当时投影为矩形 ‎ 投影面积的 ‎ ‎ ‎ ‎②当时,投影为一个矩形和一个三角形 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ (,) ‎ ‎ ‎ 当 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎③当时投影面积开始逐渐变大直到侧面落到平面上，此时面积为，‎ 综上所述: ‎ 故答案为: ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了投影面积问题,解题关键是能够列出旋转角度:,的投影表达式,考查了空间想象能力和计算能力.属于中档题.‎ ‎17．已知,是空间单位向量,,若空间向量满足,,,且对于任意,,的最小值为________且此时_______。‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】由题意可得,不妨设,, 由已知可, ,故.,即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 不妨设,,‎ ‎ 则由题意可知:, ‎ ‎ 得: , ‎ ‎ ,可得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 时，取得最小值为,即最小值为.‎ ‎ ‎ 故答案为:,.‎ ‎【点睛】‎ 本题解题关键是将求解最小值转化为求解,最小值.在求解是应用了特殊值法,考查了学生的转化能力和计算能力,属于中档题.‎ 三、解答题 ‎18．已知p：实数x满足，其中；q：实数x满足．‎ ‎（Ⅰ）若，且“”为真命题，求实数x的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题意，求得命题分别为真命题时，实数的取值范围，再由都是真命题，即可求解；‎ ‎（Ⅱ）因为是的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件，列出不等式组，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ），∴‎ 当时，，，，解得，‎ 因为为真命题，所以实数x的取值范围为．‎ ‎（Ⅱ）因为是的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件，‎ 所以，所以．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了简单的复合命题的判定及应用，其中解答中正确求解命题，在利用复合命题的真假关系和充分不必要条件，转化为集合的大小关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.‎ ‎19．已知点,圆:,过点的动直线与圆交于,两点,线段的中点为,为坐标原点.‎ ‎（1）求的轨迹方程;‎ ‎（2）当时,求的方程.‎ ‎【答案】（1）的轨迹方程是 （2）‎ ‎【解析】（1）由圆的方程求出圆心坐标和半径,设出坐标,由与 数量积等于,即可求得的轨迹方程;‎ ‎（2）设的轨迹的圆心为,由得到.求出所在直线的斜率，由直线方程的点斜式得到所在直线方程.‎ ‎【详解】‎ ‎（1） 圆:,得 ‎ 圆的圆心坐标为,半径为.‎ 设,则 ‎ 由题意可得:‎ 即 整理得: ‎ ‎ 的轨迹方程是 ‎（2）由（1）知的轨迹是以点为圆心,为半径的圆,‎ ‎ ,‎ ‎ 在线段的垂直平分线上,又在圆上,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 直线的斜率为 ‎ 直线的方程为:,‎ 即.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了求圆的标准方程和直线方程.解题关键是根据其几何特征列出关系式,数形结合.属于基础题.‎ ‎20．如图,在平行四边形中,,,,四边形为矩形,平面平面,,点在线段上运动,且.‎ ‎（1）当时,求异面直线与所成角的大小;‎ ‎（2）设平面与平面所成二面角的大小为（）,求的取值范围.‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】（1）证明平面,建立空间直角坐标系,写出向量的坐标,,故可得,即可求出异面直线与所成角的大小;‎ ‎（2）设,利用向量表示出两个平面法向量的夹角余弦,根据,即可求得求的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）在中，，，，则，‎ ‎ ，即.‎ ‎ 四边形为矩形，故，‎ 平面平面，平面平面，平面，‎ 平面. ‎ 建立如图所示的空间直角坐标系，‎ ‎ ‎ 则,,,,,‎ 当时,，‎ ‎ ,可得，‎ 又 ，‎ ‎ ‎ ‎ ,即异面直线与所成角的大小为.‎ ‎（2）平面的一个法向量，‎ 设，‎ 由，‎ 得即，‎ ‎ ，.‎ 设平面的法向量，‎ ‎ 即 取,则,‎ ‎ 平面的一个法向量,因为，所以.‎ 因为,所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用空间向量计算异面直线所成的角以及利用平面的法向量求二面角的余弦,掌握平面法向量的求法是解本题的关键,属于中档题.‎ ‎21．如图，在四棱锥中，，∥，且 ,，.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面⊥平面；‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎【答案】（I）证明见解析；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】试题分析：（1）证明面面垂直，一般利用面面垂直判定定理，即从线面垂直进行论证，而线面垂直证明，往往需要多次利用线线垂直与线面垂直的转化，而线线垂直，有时可利用平几条件进行寻找与论证，如本题取中点E，利用平几知识得到四边形是矩形，从而得到，而易得，因此，进而有平面平面；（2）利用空间向量求线面角，首先建立空间直角坐标系：以A 为原点，为轴,为轴,建立空间直角坐标角系，设出各点坐标，利用方程组解出面的法向量，利用向量数量积求夹角，最后根据线面角与向量夹角互余得结论 试题解析：解：证明：（1）为中点,,,且四边形是矩形,,又平面,且,在平面中,平面平面,又平面平面,平面平面.‎ ‎（2）以A 为原点，为轴,为轴,建立空间直角坐标角系，‎ ‎,‎ 则 设平面的法向量,则,取,得,‎ 设直线与平面所成的角为,,‎ 直线与平面所成的角的正弦值为.‎ ‎【考点】面面垂直判定定理，利用空间向量求线面角 ‎【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.‎ ‎（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.‎ ‎（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.‎ ‎（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.‎ ‎22．如图,棱长为的正方体的顶点在平面内,三条棱,,都在平面的同侧. 若顶点,到平面的距离分别为,;‎ ‎（1）求平面与平面所成锐二面角的余弦值;‎ ‎（2）求顶点到面的距离.‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】（1）作平面于,平面于,连接.过点作,垂足为点.利用勾股定理可得:..利用余弦定理可得,可得,设平面与平面所成锐二面角为,利用,即可得答案.‎ ‎（2）过作平面平行于面,由（1），即可求得到平面.连接和相交于,因为是直角梯形,根据梯形中位线可知,到底面距离为,即可求出到底面距离.进而求得顶点到面的距离.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）如图,‎ 作平面于,平面于,连接 过点作,垂足为点.‎ ‎ 可得: , ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 设平面与平面所成锐二面角为 ‎ 平面与平面所成锐二面角的余弦值为.‎ ‎（2）过作平面平行于面,由（1），‎ ‎ 得到平面为:‎ 连接和相交于,因为是直角梯形,如图:‎ 根据梯形中位线可知,到底面距离为,‎ 在中根据三角形中位线可知到底面距离为:.‎ 得顶点到面的距离: .‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了求两平面夹角的余弦值和点到平面的距离.解题关键是通过投影面积和原图像面积之比求解两个平面夹角的余弦值,考查了空间想象能力和计算能力.‎