高中数学人教a版选修4-5同步辅导与检测：1_2_2绝对值不等式的解法1

高中数学人教a版选修4-5同步辅导与检测：1_2_2绝对值不等式的解法1

1.2 　绝对值不等式 1.2.2 　绝对值不等式的解法 (1) 不等式和绝对值不等式 会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： ① |ax ＋ b|≤c ；　 ② |ax ＋ b|≥c. 含有绝对值的不等式有两种基本的类型 第一种类型：设 a 为正数．根据绝对值的意义，不等式 |x| ＜ a 的解集是 { － a ＜ x ＜ a} ，它的几何意义就是数轴上到原点的距离小于 a 的点的集合是开区间 ( － a ， a) ，如下图所示． 如果给定的不等式符合上述形式，就可以直接利用它的结果来解． 练习 1 ： |x| ＜ 1 的解集为： ________________. {x| － 1 ＜ x ＜ 1} 第二种类型：设 a 为正数．根据绝对值的意义，不等式 |x| ＞ a 的解集是 {x|x ＞ a 或 x ＜－ a} ． 它的几何意义就是数轴上到原点的距离大于 a 的点的集合是两个开区间 ( －∞，－ a) ， (a ，＋∞ ) 的并集，如下图所示． 同样，如果给定的不等式符合这种类型，就可以直接利用它的结果来解． 练习 2 ： |x| ＞ 1 的解集为： _________________. {x|x ＜－ 1 或 x ＞ 1} 跟踪训练 一层练习 C 1. 不等式 的实数解为 ____________ 答案： D C 5 ．若 2 － m 与 | m | － 3 异号，则 m 的取值范围是 ( 　　 ) A ． m ＞ 3 B ．－ 3 ＜ m ＜ 3 C ． 2 ＜ m ＜ 3 D ．－ 3 ＜ m ＜ 2 或 m ＞ 3 D 二层练习 6 ．不等式 | x 2 ＋ 2 x － 1|≥2 的解集是 _____________________ ． 7 ．不等式 | x ＋ 2|≥| x | 的解集是 _____________ ． 8 ．不等式 |2 x － 1| － x ＜ 1 的解集是 _____________ ． { x |0 ＜ x ＜ 2} { x | x ≤ － 3 或 x ＝－ 1 或 x ≥1} { x | x ≥ － 1} 9 ． (2012 年山东卷 ) 若不等式 | kx － 4|≤2 的解集为 { x |1≤ x ≤3} ，则实数 k ＝ ________. 10. 解不等式 x 2 -2| x |-3>0. 解析： 当 x ≥0 时，原不等式可化为 x 2 -2 x -3>0, ∴ 不等式的解为 x >3. 当 x<0 时，原不等式可化为 x 2 +2 x -3>0, ∴ 不等式的解为 x <-3. 综上可得 , 原不等式的解集为 : { x | x >3 或 x <-3}. 11 ．解下列不等式： (1)2| x | ＋ 1 ＞ 7 ； (2)| x － a |≤ b ( b ＞ 0) ； (3)| x － a |≥ b ( b ＞ 0) ； (4)| x － a | ＜ | x － b |( a ≠ b ) ． 解析： (1) 不等式的解集为 { x | x ＞ 3 或 x ＜－ 3} ． (2) 不等式的解集为 { x | a － b ≤ x ≤ a ＋ b } ． (3) 不等式的解集为 { x | x ≤ a － b 或 x ≥ a ＋ b } ． 三层练习 分析： 按解绝对值不等式的方法求解． 解析： （ 1 ） 解法一 当 x 2 -3 x -4≤0 即 -1≤ x ≤4 时 , | x - x 2 -2|> x 2 -3 x -4 恒成立 . 当 x 2 -3 x -4>0 即 x >4 或 x <-1 时， 原不等式等价于： x - x 2 -2> x 2 -3 x -4 或 x - x 2 -2<-(x 2 -3 x -4), ∴1- < x <1+ 或 x>-3. ∴{ x|x >4 或 -3< x <-1}. 综上可得：原不等式的解集为 { x|x >-3}. 解法二 ∵ | x-x 2 -2|=| x 2 - x +2| ， 而 x 2 - x +2= ， ∴ |x-x 2 -2|=| x 2 - x +2|= x 2 - x +2 ，故原不等式等价于 x 2 - x +2 ＞ x 2 -3 x -4 x ＞ -3. ∴ 原不等式的解集为 { x|x ＞ -3}. 13 ．已知 f(x) ＝－ x 2 ， x∈[0,1] ，对于 x 1 、 x 2 ∈[0,1] ，求 |f(x 1 ) － f(x 2 )| 的最大值． 解析： ∵ x∈[0,1] ， f(x) ＝－ x 2 ， ∴－ 1 ≤ － x 2 ≤ 0 ， ∴－ 1 ≤ f(x 1 ) ≤ 0 ，－ 1 ≤ f(x 2 ) ≤ 0 ， ∴ |f(x 1 ) － f(x 2 )| ≤ 1 ，即所求最大值为 1. 解含有绝对值的不等式的总体思路是：将含有绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式去解，依据的是同解性，对同解性应理解为： “ |x| ” 中的 x 可以是任何有意义的数学式子 f(x) ，因此从结论上说， |f(x)| ＜ g(x) 与－ g(x) ＜ f(x) ＜ g(x) 同解； |f(x)| ＞ g(x) 与 f(x) ＞ g(x) 或 f(x) ＜－ g(x) 同解，掌握去掉绝对值符号的方法和途径是关键，数形结合法解不等式是另一个重要的解题途径，为此要熟练掌握函数 |f(x)| 的图象和画法． 祝 您 学业有成