2011年高考数学真题分类汇编M
课标理数10.M1，D2，B11[2011·福建卷] 已知函数f(x)＝ex＋x.对于曲线y＝f(x)上横坐标成等差数列的三个点A、B、C，给出以下判断：
①△ABC一定是钝角三角形；
②△ABC可能是直角三角形；
③△ABC可能是等腰三角形；
④△ABC不可能是等腰三角形．
其中，正确的判断是( )
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
课标理数10.M1，D2，B11[2011·福建卷] B 【解析】 解法一：(1)设A、B、C三点的横坐标分别为x1，x2，x3(x1
0，
∴ f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴ f(x1)0，
∴ f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，画出f(x)的图象(大致)．
∴ f(x1)0)，观察：
f1(x)＝f(x)＝，
f2(x)＝f(f1(x))＝，
f3(x)＝f(f2(x))＝，
f4(x)＝f(f3(x))＝，
……
根据以上事实，由归纳推理可得：
当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________．
课标理数15.M1[2011·山东卷]
【解析】 观察1，3，7，15，…，与对应项的关系，显然满足2n－1，观察2，4，8，16，…与对应项的关系，显然满足2n，故fn(x)＝.
课标理数13.M1[2011·陕西卷] 观察下列等式
1＝1
2＋3＋4＝9
3＋4＋5＋6＋7＝25
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
……
照此规律，第n个等式为________________________________________________________________________．
课标理数13.M1[2011·陕西卷] n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2
【解析】 由每一行分析发现规律是以后每一个数都比前一个数大1，再对每一行的第一个数分析找规律为以后每一个数都比前一个数大1，对每一行的最后一个数分析找规律为1，4，7，10，…，(3n－2)，对结果找规律为12，32，52，…，(2n－1)2，所以第n个等式为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.
课标文数13.M1[2011·陕西卷] 观察下列等式
1＝1
2＋3＋4＝9
3＋4＋5＋6＋7＝25
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
照此规律，第五个等式应为________________________________．
课标文数13.M1[2011·陕西卷] 5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81 【解析】 因为
1＝1
第一个式子左边1个数，右边1；
2＋3＋4＝9
第二个式子左边2个数，从2开始加，加3个数，右边3的平方；
3＋4＋5＋6＋7＝25
第三个式子左边5个数，从3开始加，加5个数，右边5的平方；
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
第四个左边7个数，从4开始加，加7个数，右边7的平方，
故第五项为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81.
课标理数22.B9，M3[2011·湖南卷] 已知函数f(x)＝x3，g(x)＝x＋.
(1)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点个数，并说明理由；
(2)设数列{an}(n∈N*)满足a1＝a(a>0)，f(an＋1)＝g(an)，证明：存在常数M，使得对于任意的n∈N*，都有an≤M.
课标理数22.B9，M3[2011·湖南卷] 【解答】 (1)由h(x)＝x3－x－知，x∈[0，＋∞)，而h(0)＝0，且h(1)＝－1<0，h(2)＝6－>0，则x＝0为h(x)的一个零点，且h(x)在(1，2)内有零点．因此，h(x)至少有两个零点．
解法一：h′(x)＝3x2－1－x－，记φ(x)＝3x2－1－x－，则φ′(x)＝6x＋x－.
当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)>0，因此φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，则φ(x)在(0，＋∞)内至多只有一个零点．又因为φ(1)>0，φ<0，则φ(x)在内有零点，所以φ(x)在(0，＋∞)内有且只有一个零点．记此零点为x1，则当x∈(0，x1)时，φ(x)<φ(x1)＝0；当x∈(x1，＋∞)时，φ(x)>φ(x1)＝0.
所以，当x∈(0，x1)时，h(x)单调递减．而h(0)＝0，则h(x)在(0，x1]内无零点；
当x∈(x1，＋∞)时，h(x)单调递增，则h(x)在(x1，＋∞)内至多只有一个零点，从而h(x)在(0，＋∞)内至多只有一个零点．
综上所述，h(x)有且只有两个零点．
解法二：由h(x)＝x，记φ(x)＝x2－1－x－，则φ′(x)＝2x＋x－.
当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)>0，从而φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，则φ(x)在(0，＋∞)内至多只有一个零点．因此h(x)在(0，＋∞)内也至多只有一个零点．
综上所述，h(x)有且只有两个零点．
(2)记h(x)的正零点为x0，即x＝x0＋.
(i)当ab.
(1)记An为满足a－b＝3的点P的个数，求An；
(2)记Bn为满足(a－b)是整数的点P的个数，求Bn.
课标数学23.M4[2011·江苏卷] 【解答】 (1)点P的坐标满足条件：1≤b＝a－3≤n－3，所以An＝n－3.
(2)设k为正整数，记fn(k)为满足题设条件以及a－b＝3k的点P的个数．只要讨论fn(k)≥1的情形．由1≤b＝a－3k≤n－3k知fn(k)＝n－3k，且k≤.
设n－1＝3m＋r，其中m∈N*，r∈{0，1，2}，则k≤m.
所以Bn＝fn(k)＝ (n－3k)＝mn－＝.
将m＝代入上式，
化简得Bn＝－.
所以Bn＝
