2020高考数学二轮复习练习：第二部分 专题六 第1讲 函数的图象与性质含解析
第1讲 函数的图象与性质
[做真题]
题型一 函数的概念及表示
1．(2015·高考全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝
则f(－2)＋f(log212)＝( )
A．3 B．6
C．9 D．12
解析：选C.因为－2<1，
所以f(－2)＝1＋log2(2＋2)＝1＋log24＝1＋2＝3.
因为 log212>1，所以f(log212)＝2log212－1＝＝6.
所以f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9.故选C.
2．(2017·高考全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝则满足f(x)＋f>1的x的取值范围是________．
解析：当x≤0时，由f(x)＋f(x－)＝(x＋1)＋(x－＋1)＝2x＋>1，得－
1，即2x＋x－>0，因为2x＋x－>20＋0－＝>0，所以0时，f(x)＋f(x－)＝2x＋2x－>2＋20>1，所以x>.综上，x的取值范围是(－，＋∞)．
答案：(－，＋∞)
题型二 函数的图象及其应用
1．(2019·高考全国卷Ⅰ)函数f(x)＝在[－π，π]的图象大致为( )
解析：选D.因为f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，排除A；
因为f(π)＝＝>0，所以排除C；
因为f(1)＝，且sin 1>cos 1，
所以f(1)>1，所以排除B.故选D.
2．(2019·高考全国卷Ⅲ)函数y＝在[－6，6]的图象大致为( )
解析：选B.因为f(x)＝，所以f(－x)＝＝－f(x)，且x∈[－6，6]，所以函数y＝为奇函数，排除C；当x>0时，f(x)＝>0恒成立，排除D；因为f(4)＝＝＝≈7.97，排除A.故选B.
3．(2016·高考全国卷Ⅱ)已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则(xi＋yi)＝( )
A．0 B．m
C．2m D．4m
解析：选B.因为f(x)＋f(－x)＝2，y＝＝1＋，所以函数y＝f(x)与y＝
的图象都关于点(0，1)对称，所以i＝×2＝m，故选B.
题型三 函数的性质及应用
1．(2019·高考全国卷Ⅲ)设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则( )
A．f>f(2－)>f(2－)
B．f>f(2－)>f(2－)
C．f(2－)>f(2－)>f
D．f(2－)>f(2－)>f
解析：选C.根据函数f(x)为偶函数可知，f(log3)＝f(－log34)＝f(log34)，因为0<2－<2－<20f(2－)>f(log3)．故选C.
2．(2017·高考全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是( )
A．[－2，2] B．[－1，1]
C．[0，4] D．[1，3]
解析：选D.因为函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且f(1)＝－1，所以f(－1)＝－f(1)＝1，由－1≤f(x－2)≤1，得－1≤x－2≤1，所以1≤x≤3，故选D.
3．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)，若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝( )
A．－50 B．0
C．2 D．50
解析：选C.因为f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，且f(0)＝0.因为f(1－x)＝f(1＋x)，所以f(x)＝f(2－x)，f(－x)＝f(2＋x)，所以f(2＋x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)是周期函数，且一个周期为4，所以f(4)＝f(0)＝0，f(2)＝f(1＋1)＝f(1－1)＝f(0)＝0，f(3)＝f(1＋2)＝f(1－2)＝－f(1)＝－2，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(50)＝12×0＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2，故选C.
[山东省学习指导意见]
1．通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．
2．会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．
3．了解简单的分段函数，并能简单应用．
4．理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性及周期性的含义．
5．学会运用函数图象理解和研究函数的性质．
函数及其表示
[考法全练]
1．函数y＝log2(2x－4)＋的定义域是( )
A．(2，3) B．(2，＋∞)
C．(3，＋∞) D．(2，3)∪(3，＋∞)
解析：选D.由题意得解得x>2且x≠3，所以函数y＝log2(2x－4)＋的定义域为(2，3)∪(3，＋∞)，故选D.
2．已知f(x)＝(01时，y＝ln x＋2>2；当x≤1时，y＝ex－2∈(－2，e－2]．故函数f(x)的值域为(－2，e－2]∪(2，＋∞)．
答案：2 (－2，e－2]∪(2，＋∞)
5．已知函数f(x)＝则不等式x＋(x＋1)·f(x＋1)≤1的解集是________．
解析：当x＋1<0，即x<－1时，f(x＋1)＝－(x＋1)＋1＝－x，不等式变为x－x(x＋1)≤1，即－x2≤1，解得x∈R，故x∈(－∞，－1)．
当x＋1≥0，即x≥－1时，f(x＋1)＝x＋1－1＝x，不等式变为x＋x(x＋1)≤1，即x2＋2x－1≤0，解得－1－≤x≤－1＋，故x∈[－1，－1＋ ]．
综上可知，所求不等式的解集为(－∞，－1＋ ]．
答案：(－∞，－1＋ ]
(1)函数定义域的求法
求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．
(2)分段函数问题的5种常见类型及解题策略
求函数值
弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算
求函数最值
分别求出每个区间上的最值，然后比较大小
解不等式
根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提
求参数
“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程
利用函数
性质求值
依据条件找到函数满足的性质，利用该性质求解
函数的图象及其应用
[典型例题]
命题角度一 函数图象的识别
(1)(2018·高考全国卷Ⅱ)函数f(x)＝的图象大致为( )
(2)已知定义域为[0，1]的函数f(x)的图象如图所示，则函数f(－x＋1)的图象可能是( )
(3)(一题多解)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为关于x的函数f(x)，则f(x)的图象大致为( )
【解析】 (1)当x<0时，因为ex－e－x<0，所以此时f(x)＝<0，故排除A、D；又f(1)＝e－>2，故排除C，选B.
(2)因为f(－x＋1)＝f(－(x－1))，先将f(x)的图象沿y轴翻折，y轴左侧的图象即为f(－x)的图象，再将所得图象向右平移1个单位长度就得到函数f(－x＋1)的图象，故选B.
(3)法一：当点P位于边BC上时，∠BOP＝x，0≤x≤，则＝tan x，所以BP＝tan x，
所以AP＝，
所以f(x)＝tan x＋，
可见y＝f(x)图象的变化不可能是一条直线或线段，排除A，C.
当点P位于边CD上时，∠BOP＝x，≤x≤，
则BP＋AP
＝＋
＝＋.
当点P位于边AD上时，∠BOP＝x，≤x≤π，
则＝tan(π－x)＝－tan x，
所以AP＝－tan x，所以BP＝，
所以f(x)＝－tan x＋，根据函数的解析式可排除D，故选B.
法二：当点P位于点C时，x＝，此时AP＋BP＝AC＋BC＝1＋，当点P位于CD的中点时，x＝，此时AP＋BP＝2<1＋，故可排除C，D，当点P位于点D时，x＝，此时AP＋BP＝AD＋BD＝1＋，而在变化过程中不可能以直线的形式变化，故可排除A，故选B.
【答案】 (1)B (2)B (3)B
(1)由函数解析式识别函数图象的策略
(2)根据动点变化过程确定其函数图象的策略
①先根据已知条件求出函数解析式后再判断其对应的函数的图象．
②采用“以静观动”，即将动点处于某些特殊的位置处考查图象的变化特征，
从而做出选择．
③根据动点中变量变化时，对因变量变化的影响，结合选项中图象的变化趋势做出判断．
命题角度二 函数图象的应用
(1)已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是( )
A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)
B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)
C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1，1)
D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)
(2)(2019·高考全国卷Ⅱ)设函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈(0，1]时，f(x)＝x(x－1)．若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－，则m的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【解析】
(1)将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值，
得f(x)＝
作出函数f(x)的图象，
如图，观察图象可知，
函数f(x)为奇函数，且在(－1，1)上单调递减．
(2)当－1e0
＝1，－1<0，cos x>0，所以f(x)<0，可排除选项D，故选B.
2.某地一年的气温Q(t)(单位：℃)与时间t(月份)之间的关系如图所示．已知该年的平均气温为10 ℃，令C(t)表示时间段[0，t]的平均气温，下列四个函数图象中，最能表示C(t)与t之间的函数关系的是( )
解析：选A.若增加的数大于当前的平均数，则平均数增大；若增加的数小于当前的平均数，则平均数减小．因为12个月的平均气温为10 ℃，所以当t＝12时，平均气温应该为10 ℃，故排除B；因为在靠近12月份时其温度小于10 ℃，因此12月份前的一小段时间内的平均气温应该大于10 ℃，排除C；6月份以后增加的温度先大于平均值后小于平均值，故平均气温不可能出现先减小后增加的情况，故排除D，故选A.
函数的性质及应用
[典型例题]
(1)函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意两个正数x1，x2(x1x1f(x2)，记a＝f(2)，b＝f(1)，c＝－f(－3)，则a，b，c之间的大小关系为( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>b>a D．a>c>b
(2)已知定义在R上的奇函数f(x)，满足在(0，＋∞)上单调递增，且f(－1)＝0，则f(x＋1)>0的解集为( )
A．(－∞，－2)∪(－1，0) B．(0，＋∞)
C．(－2，－1)∪(1，2) D．(－2，－1)∪(0，＋∞)
(3)已知函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m等于( )
A．0 B．2
C．4 D．8
(4)已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x＋2)＝－，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f
＝________．
【解析】 (1)因为对任意两个正数x1，x2(x1x1f(x2)，所以>，得函数g(x)＝在(0，＋∞)上是减函数，又c＝－f(－3)＝f(3)，所以g(1)>g(2)>g(3)，即b>a>c，故选B.
(2)由f(x)为奇函数，在(0，＋∞)上单调递增，且f(－1)＝0，可得f(1)＝0，作出函数f(x)的示意图如图所示，由f(x＋1)>0，可得－11，解得－20，所以f(x＋1)>0的解集为(－2，－1)∪(0，＋∞)．
(3)f(x)＝＝2＋，设g(x)＝，
因为g(－x)＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，
所以g(x)max＋g(x)min＝0.
因为M＝f(x)max＝2＋g(x)max，
m＝f(x)min＝2＋g(x)min，
所以M＋m＝2＋g(x)max＋2＋g(x)min＝4.
(4)因为f(x＋2)＝－，所以f(x＋4)＝f(x)，所以f＝f，又当2≤x≤3时，f(x)＝x，所以f＝，所以f＝.
【答案】 (1)B (2)D (3)C (4)
(1)函数的3个性质及应用
奇偶性
具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上．尤其注意偶函数f(x)的性质：f(|x|)＝f(x)
单调性
可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性
周期性
利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解
(2)函数性质综合应用的注意点
①根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能．
②一些题目中，函数的周期性常常通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．
[对点训练]
1．已知函数f(x)满足f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，则以下四个选项一定正确的是( )
A．f(x－1)＋1是偶函数
B．f(x－1)－1是奇函数
C．f(x＋1)＋1是偶函数
D．f(x＋1)－1是奇函数
解析：选D.法一：因为f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，所以f(x)＋f(2－x)＝2，所以函数y＝f(x)的图象关于点(1，1)
中心对称，而函数y＝f(x＋1)－1的图象可看作是由y＝f(x)的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，所以函数y＝f(x＋1)－1的图象关于点(0，0)中心对称，所以函数y＝f(x＋1)－1是奇函数，故选D.
法二：由f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，得f(x＋1)－1＋f(－x＋1)－1＝0，令F(x)＝f(x＋1)－1，则F(x)＋F(－x)＝0，所以F(x)为奇函数，即f(x＋1)－1为奇函数，故选D.
2．定义在R上的函数f(x)对任意00的解集是( )
A．(－2，0)∪(0，2)
B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(0，2)
D．(－2，0)∪(2，＋∞)
解析：选C.由<1，
可得<0.
令F(x)＝f(x)－x，由题意知F(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，且是奇函数，F(2)＝0，F(－2)＝0，所以结合图象，令F(x)>0，得x<－2或00恒成立；
②f(x＋4)＝－f(x)；
③y＝f(x＋4)是偶函数．
若a＝f(6)，b＝f(11)，c＝f(2 017)，则a，b，c的大小关系正确的是( )
A．a0时，y＝＝，所以函数y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以排除选项B，D；又当x＝1时，y＝
<1，所以排除选项A，故选C.
5．若函数f(x)＝的图象如图所示，则f(－3)等于( )
A．－ B．－
C．－1 D．－2
解析：选C.由图象可得a×(－1)＋b＝3，ln(－1＋a)＝0，所以a＝2，b＝5，所以f(x)＝
故f(－3)＝2×(－3)＋5＝－1.
6．下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是( )
A．y＝ln(1－x) B．y＝ln(2－x)
C．y＝ln(1＋x) D．y＝ln(2＋x)
解析：选B.法一：设所求函数图象上任一点的坐标为(x，y)，则其关于直线x＝1的对称点的坐标为(2－x，y)，由对称性知点(2－x，y)在函数f(x)＝ln x的图象上，所以y＝ln(2－x)．故选B.
法二：由题意知，对称轴上的点(1，0)既在函数y＝ln x的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A，C，D，选B.
7．(2019·湖南省五市十校联考)若f(x)＝ex－ae－x为奇函数，则满足f(x－1)>－e2的x的取值范围是( )
A．(－2，＋∞) B．(－1，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(3，＋∞)
解析：选B.由f(x)＝ex－ae－x为奇函数，得f(－x)＝－f(x)，即e－x－aex＝ae－x－ex，得a＝1，所以f(x)＝ex－e－x，则f(x)在R上单调递增，又f(x－1)>－e2＝f(－2)，所以x－1>－2，解得x>－1，故选B.
8.如图，把圆周长为1的圆的圆心C放在y轴上，顶点A(0，1)，一动点M从点A开始逆时针绕圆运动一周，记＝x，直线AM与x轴交于点N(t，0)，则函数t＝f(x)的图象大致为( )
解析：选D.当x由0→时，t从－∞→0，且单调递增，当x由→1时，t从0→＋∞，且单调递增，所以排除A、B、C，故选D.
9．(2019·福州市第一学期抽测)如图，函数f(x)的图象为两条射线CA，CB组成的折线，如果不等式f(x)≥x2－x－a的解集中有且仅有1个整数，则实数a的取值范围是( )
A．{a|－2x＋m，即2x3logπe
解析：选CD.已知π为圆周率，e为自然对数的底数，所以π>3>e>2，所以>1，πe>3e，故A错误；因为0<<1，1>e－2>0，所以>，所以3e－2π>3πe－2，故B错误；因为π>3，所以logπe3，可得log3e>logπe，则πlog3e>3logπe，故D正确．故选CD.
13．(多选)已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|0时，若f(a)＝3，则log2a＋a＝3，解得a＝2(满足a>0)；当a≤0时，若f(a)＝3，则4a－2－1＝3，
解得a＝3，不满足a≤0，所以舍去．可得a＝2.故f(a－2)＝f(0)＝4－2－1＝－.
答案：－
15．已知a>0且a≠1，函数f(x)＝在R上单调递增，那么实数a的取值范围是________．
解析：依题意，解得10且a≠1)有且只有4个不同的根，则实数a的取值范围是________．
解析：由f(x＋2)＝f(2－x)，得f(x)＝f(4－x)，即函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称．又f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(4－x)＝f(x)＝f(－x)，即f(4＋x)＝f(x)，则f(x)是以4为周期的周期函数．则f(3)＝f(3－4)＝f(－1)＝－1＝－1.画出函数f(x)与函数y＝loga(x＋2)在(－2，6)上的图象如图所示．要使函数f(x)与y＝loga(x＋2)的图象有4个不同的交点，则有解得a>8，即实数a的取值范围是(8，＋∞)．
答案：－1 (8，＋∞)
