新高考2020版高考数学二轮复习专题过关检测十三等差数列等比数列文
专题过关检测(十三) 等差数列、等比数列
A级——“12+4”提速练
1.已知数列{an}满足an+1=2an(n∈N*),a1+a3=2,则a5+a7=( )
A.8 B.16
C.32 D.64
解析:选C 因为数列{an}满足an+1=2an(n∈N*),所以此数列是等比数列,公比为2,所以a5+a7=24(a1+a3)=24×2=32.
2.(2019·长春质监)等差数列{an}中,Sn是它的前n项和,a2+a3=10,S6=54,则该数列的公差d为( )
A.2 B.3
C.4 D.6
解析:选C 法一:由题意,知解得故选C.
法二:∵S6===54,∴a3+a4=18.∵a2+a3=10,∴a4-a2=18-10=8=2d,∴d=4,故选C.
3.(2019·广东六校第一次联考)等比数列{an}的前n项和为Sn,且4a1,2a2,a3成等差数列.若a1=1,则S4=( )
A.16 B.15
C.8 D.7
解析:选B 设公比为q,由题意得4a2=4a1+a3,即4a1q=4a1+a1q2,又a1≠0,所以4q=4+q2,解得q=2,所以S4==15,故选B.
4.在等比数列{an}中,“a1,a3是方程x2+3x+1=0的两根”是“a2=±1”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:选A 在等比数列{an}中,a1·a3=a.由a1,a3是方程x2+3x+1=0的两根可得a1·a3=1,所以a=1,所以a2=±1,所以“a1,a3是方程x2+3x+1=0的两根”是“a2=±1”的充分条件;由a2=±1得a1·a3=1,满足此条件的一元二次方程不止一个.所以“a1,a3是方程x2+3x+1=0的两根”是“a2=±1 ”的充分不必要条件,故选A.
5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a8-a5=9,S8-S5=66,则a33=( )
A.82 B.97
6
C.100 D.115
解析:选C 设等差数列{an}的公差为d,则由得解得所以a33=a1+32d=4+32×3=100,故选C.
6.(2019·福州质检)等比数列{an}的各项均为正实数,其前n项和为Sn.若a3=4,a2a6=64,则S5=( )
A.32 B.31
C.64 D.63
解析:选B 设首项为a1,公比为q,因为an>0,所以q>0,由条件得解得所以S5=31,故选B.
7.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,S3=a5,令bn=(-1)n-1an,则数列{bn}的前2n项和T2n为( )
A.-n B.-2n
C.n D.2n
解析:选B 设等差数列{an}的公差为d,由S3=a5,得3a2=a5,∴3(1+d)=1+4d,解得d=2,∴an=2n-1,∴bn=(-1)n-1(2n-1),∴T2n=1-3+5-7+…+(4n-3)-(4n-1)=-2n,选B.
8.若f(x)=xm+ax的导函数为f′(x)=2x+1,则数列(n∈N*)的前n项和为( )
A. B.
C. D.
解析:选A 因为f(x)=xm+ax,所以f′(x)=mxm-1+a.又因为f′(x)=2x+1,所以m=2,a=1,所以f(n)=n2+n=n(n+1),所以==-,所以数列的前n项和为++…+=++…+=1-=.故选A.
9.(2019·武昌区调研考试)已知数列{an}的前n项和Sn=n2-1,则a1+a3+a5+a7+a9=( )
A.40 B.44
C.45 D.49
解析:选B 因为Sn=n2-1,所以当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-1-(n-1)2+1=2n-1,又a1=S1=0,所以an=所以a1+a3+a5+a7+a9=0+5+9+13+17=44.故选B.
10.若等差数列{an}的前n项和为Sn,若S6>S7>S5,则满足SnSn+1<0的正整数n
6
的值为( )
A.10 B.11
C.12 D.13
解析:选C 由S6>S7>S5,得S7=S6+a7
S5,所以a7<0,a6+a7>0,所以S13==13a7<0,S12==6(a6+a7)>0,所以S12S13<0,即满足SnSn+1<0的正整数n的值为12,故选C.
11.(2019·江西八所重点中学联考)已知数列{an}是等比数列,若ma6·a7=a-2a4·a9,且公比q∈(,2),则实数m的取值范围是( )
A.(2,6) B.(2,5)
C.(3,6) D.(3,5)
解析:选C ∵ma6·a7=a-2a4·a9,a6·a7=a4·a9,∴m=-2=q3-2,又q∈(,2),∴30,a7+a10<0,则当n=________时,{an}的前n项和最大.
解析:根据题意知a7+a8+a9=3a8>0,即a8>0.又a8+a9=a7+a10<0,所以a9<0,所以当n=8时,{an}的前n项和最大.
答案:8
14.已知递增的等差数列{an}的前三项和为-6,前三项积为10,则前10项和S10=________.
解析:设前三项为a-d,a,a+d(d>0),
则有解得
6
所以数列首项为a-d=-5,公差d=3,
故前10项和为S10=10a1+×d=-50+135=85.
答案:85
15.(2019·贵阳第一学期监测)已知数列{an}中,a1=3,a2=7.当n∈N*时,an+2是乘积an·an+1的个位数,则a2 019=________.
解析:a1=3,a2=7,a1a2=21,a3=1,a2a3=7,a4=7,a3a4=7,a5=7,a4a5=49,a6=9,a5a6=63,a7=3,a6a7=27,a8=7,a7a8=21,a9=1,a8a9=7,所以数列{an}是周期为6的数列,又2 019=6×336+3,所以a2 019=a3=1.
答案:1
16.在数列{an}中,已知a1=3,a2=5,且{an-1}是等比数列,若bn=nan,则数列{an}的通项公式为________;数列{bn}的前n项和Tn=________________.
解析:因为{an-1}是等比数列且a1-1=2,a2-1=4,=2,所以an-1=2·2n-1=2n,所以an=2n+1,则bn=nan=n·2n+n,
故Tn=b1+b2+b3+…+bn=(2+2×22+3×23+…+n·2n)+(1+2+3+…+n).
令Sn=2+2×22+3×23+…+n·2n,
则2Sn=22+2×23+3×24+…+(n-1)·2n+n·2n+1,
两式相减,得-Sn=2+22+23+…+2n-n·2n+1=-n·2n+1,
所以Sn=2(1-2n)+n·2n+1=2+(n-1)·2n+1.
又1+2+3+…+n=,
所以Tn=(n-1)·2n+1+.
答案:an=2n+1 (n-1)·2n+1+
B级——拔高小题提能练
1.已知数列{an}满足a1=1,an-1=3an(n≥2,n∈N*),其前n项和为Sn,则满足Sn≥的n的最小值为( )
A.6 B.5
C.8 D.7
解析:选B 由an-1=3an(n≥2,n∈N*)可得=(n≥2,n∈N*),可得数列{an}是首项a
6
1=1,公比q=的等比数列,所以Sn==.由Sn≥可得≥,1-n≥,得n≥5(n∈N*),故选B.
2.设数列{an}的前n项和为Sn,且首项a1=4,an+1=Sn(n∈N*),若Cn=,数列{Cn}的前n项和为Tn,则Tn=( )
A. B.
C. D.
解析:选C 因为an+1=Sn+1-Sn,an+1=Sn,所以Sn+1=2Sn,所以=2,
所以{Sn}是以4为首项,2为公比的等比数列,所以Sn=4×2n-1=2n+1,log2Sn=log22n+1=n+1,所以Cn==,Tn=C1+C2+…+Cn=++…+=-+-+…+-=-=,故选C.
3.在一个有穷数列每相邻两项之间添加一项,使其等于两相邻项的和,我们把这样的操作叫做该数列的一次“H扩展”.已知数列{1,2}.第一次“H扩展”后得到{1,3,2};第二次“H扩展”后得到{1,4,3,5,2}.那么第10次“H扩展”后得到的数列的项数为( )
A.1 023 B.1 025
C.513 D.511
解析:选B 设第n次“H扩展”后得到的数列的项数为an,则第n+1次“H扩展”后得到的数列的项数为an+1=2an-1,∴an+1-1=2(an-1),∴=2.又a1-1=3-1=2,∴{an-1}是以2为首项,2为公比的等比数列,∴an-1=2·2n-1,∴an=2n+1,∴a10=210+1=1 025.故选B.
4.(2019·安徽五校联考)设数列{an}满足a1=5,且对任意正整数n,总有(an+1+3)(an+3)=4an+4成立,则数列{an}的前2 018项的和为________.
解析:由(an+1+3)(an+3)=4an+4,得an+1=-3=,因为a1=5,所以a2=0,a3=-,a4=-5,a5=5,则数列{an}是以4为周期的周期数列,因为2 018=504×4+2,且a1+a2+a3+a4=-,即一个周期的和为-,所以数列{an}的前2 018项的和为-
6
×504+5+0=-835.
答案:-835
5.在数列中,n∈N*,若=k(k为常数),则称为“等差比数列”,下列是对“等差比数列”的判断:
①k不可能为0;
②等差数列一定是“等差比数列”;
③等比数列一定是“等差比数列”;
④“等差比数列”中可以有无数项为0.
其中所有正确判断的序号是________.
解析:由等差比数列的定义可知,k不为0,所以①正确,当等差数列的公差为0,即等差数列为常数列时,等差数列不是等差比数列,所以②错误;当是等比数列,且公比q=1时,不是等差比数列,所以③错误;数列0,1,0,1,…是等差比数列,该数列中有无数多个0,所以④正确.
答案:①④
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