2018-2019学年河南省许昌市、平顶山市、汝州市九校高二上学期第三次联考数学（文）试题 解析版

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绝密★启用前 河南省许昌市、平顶山市、汝州市九校2018-2019学年高二上学期第三次联考数学（文）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．设命题：，，则为（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：直接利用特称命题的否定解答.‎ 详解：由特称命题的否定得为：，，故答案为：D.‎ 点睛：（1）本题主要考查特称命题的否定，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 特称命题 ,特称命题的否定 .‎ ‎2．在中，，，，则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角形内角和定理可知，再由正弦定理即可求出AB.‎ ‎【详解】‎ 由内角和定理知，‎ 所以，‎ 即，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦定理，属于中档题.‎ ‎3．已知双曲线的离心率，且其虚轴长为8，则双曲线的方程为 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据虚轴长为8可知，又，可知，即可写出双曲线方程.‎ ‎【详解】‎ 因为虚轴长为8可知，又，可知，‎ 所以双曲线方程为.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了双曲线的标准方程和简单性质，属于中档题.‎ ‎4．平面上到点，距离之和等于6的点的轨迹是 A．椭圆 B．线段 C．圆 D．不存在 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据动点满足的几何性质，即可求出轨迹.‎ ‎【详解】‎ 设动点为P,‎ 由题意知,‎ 所以动点为P的轨迹是线段AB.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了求轨迹，属于中档题.‎ ‎5．等比数列的的前项和为，若，则 A．-1 B．1 C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由写出数列前三项，又数列为等比数列，则满足，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 所以，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由等比数列性质得，解得.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等比数列的性质，与的关系，属于中档题.‎ ‎6．过椭圆的一个焦点且斜率存在的直线与椭圆交于，两点，则，与该椭圆的另一个焦点构成的三角形的周长是 A．8 B．4 C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆的定义可知，三角形周长等于4.‎ ‎【详解】‎ 由可得：，‎ 所以，‎ 过焦点且斜率存在的直线与椭圆交于，两点，则，与该椭圆的另一个焦点构成的三角形的周长为.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的定义，椭圆的标准方程，属于中档题.‎ ‎7．“”是“”的 A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．即不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据可推出，反之不成立，即可得出结论.‎ ‎【详解】‎ 若，则可得，所以，即成立能推出，‎ 若，则可得，但不知的正负，所以得不到，即成立推不出，综上“”是“”的充分不必要条件.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了充分不必要条件，属于中档题.‎ ‎8．若，满足约束条件则的最大值是 A．-8 B．-3 C．0 D．1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出可行域，把变形为，平移直线过点时，最大.‎ ‎【详解】‎ 作出可行域如图：‎ 由得：，‎ 作出直线，‎ 平移直线过点时，.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了简单线性规划问题，属于中档题.‎ ‎9．与双曲线的渐近线平行，且距离为1的直线方程为 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线方程写出渐近线方程，再设与渐近线平行的直线方程为，由平行线间的距离公式求出t即可.‎ ‎【详解】‎ 因为双曲线的渐近线方程为，‎ 设与渐近线平行的直线方程为，‎ 根据平行直线间的距离公式：‎ ‎，得.‎ 所求直线方程为.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了双曲线的几何性质，渐近线，平行线间的距离，属于中档题.‎ ‎10．设等差数列的前项和为，已知，，则的最小值为 A．-16 B．-15 C．-12 D．-7‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件可求出等差数列公差，写出前n项和公式，配方即可求出的最小值.‎ ‎【详解】‎ 设的公差为，‎ 因为，，‎ 所以，得，‎ 所以，‎ 故当时，有最小值为-16.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等差数列的通项公式，前n项和公式，属于中档题.‎ ‎11．若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分，两种情况，当，对恒成立，当时，需开口向下，判别式小于0，不等式恒成立.‎ ‎【详解】‎ 当时，原不等式可化为，对恒成立；‎ 当时，原不等式恒成立，需，‎ 解得，‎ 综上.故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了分类讨论思想，二次不等式恒成立的条件，属于中档题.‎ ‎12．椭圆的右焦点为，定点，若椭圆上存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，椭圆上存在点，使得，而，故根据 ，可转化为含的不等式 即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，椭圆上存在点，使得，‎ 而，，‎ 显然，所以即可，‎ 得，解得.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的简单几何性质，椭圆的离心率，属于难题.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据均值不等式即可求出的最小值.‎ ‎【详解】‎ 因为 ‎ 所以，‎ 根据均值不等式可得：‎ 当且仅当，即时等号成立.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了均值不等式，属于中档题.‎ ‎14．在中，角，，所对的边分别为，，，若，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦定理可得 ，利用两角和的正弦公式可得 ，化简即可求值.‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 由正弦定理可得 ，‎ 所以 .‎ 因为，且，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦公式，属于中档题.‎ ‎15．为椭圆上的一个动点，为椭圆的一个焦点，的最大值为5，最小值为1，则椭圆的短轴长为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据点在椭圆上的位置关系，判断出最大值与最小值的位置，即可求得a、c，进而求得短轴长。‎ ‎【详解】‎ 为椭圆的一个焦点，‎ 所以的最大值为a+c=5‎ 的最小值为a-c=1‎ 所以a=3，c=2‎ 所以短轴长为 ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的基本性质，注意短轴长为2b，属于基础题。‎ ‎16．设，分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线左支上存在点，满足，且到直线的距离为，则该双曲线的离心率 ‎__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，可用a、c表示出，结合等腰三角形及双曲线定义即可求得a、c的等量关系，进而求得离心率。‎ ‎【详解】‎ 设到直线的垂足为M，因为，所以M为的中点 由题意可知，‎ ‎ ‎ 根据双曲线定义 ‎，所以 即 化简可得，整理得 因为 解得 ‎【点睛】‎ 本题考查了双曲线的性质及综合应用，清楚各边之间的数量关系是解决本题的关键，属于中档题。‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．求适合下列条件的椭圆的标准方程：‎ ‎（1）焦点在轴上，且经过点和；‎ ‎（2）离心率为，短轴长为8.‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据焦点位置，设椭圆方程，代入点和即可求解（2）由题意建立方程即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为椭圆的焦点在轴上，‎ 所以设方程为.‎ 由于椭圆经过点和，代入方程，‎ 解得，‎ 故所求椭圆的方程为.‎ ‎（2）由，得，‎ 若椭圆焦点在轴上，则方程为；‎ 若椭圆焦点在轴上，则方程为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的标准方程，椭圆的简单几何性质，属于中档题.‎ ‎18．在正项等比数列中，已知，且，，8成等差数列.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，证明：数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设等比数列的公比为，根据，，8成等差数列可求解，写出通项公式即可（2）由（1）知可得，裂项相消求和即可证明不等式.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设等比数列的公比为，‎ ‎∵，，8成等差数列，‎ ‎∴，即，‎ 即，解得，（舍去），∴.‎ 所以的通项公式为.‎ ‎（2）证明：由上知，∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎，‎ ‎∴，‎ 即数列的前项和为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等比数列通项公式，等差中项，裂项相消法求和，属于中档题.‎ ‎19．在中，角所对的边分别为，已知.‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若的面积为，，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由正弦定理可统一为角的问题，利用三角恒等变换化简求值，也可利用余弦定理统一为边，化简整理后再利用余弦定理求角的余弦（2）由三角形面积公式可得，利用余弦定理及即可求出b,再由正弦定理可得，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）（法一）：在中，由正弦定理得，‎ ‎∴，‎ 又，∴，‎ ‎∴.‎ ‎∵，∴.‎ ‎∵，故.‎ ‎（法二）由余弦定理得，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎∵，故.‎ ‎（2）∵，所以.‎ 又，‎ ‎∴由余弦定理得，‎ ‎∴.‎ 又由正弦定理知，‎ ‎∴，，即，，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，三角恒等变换，属于中档题.‎ ‎20．已知双曲线：的焦点与椭圆:的两个顶点重合.‎ ‎（1）求双曲线的焦点坐标及实轴长；‎ ‎（2）若为与的一个交点，求.‎ ‎【答案】（1）焦点坐标为，，实轴长为；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据双曲线的焦点只可能与椭圆长轴的两个顶点重合，可知焦点及，由可得实轴长（2）不妨设，，，计算 ，联立双曲线及椭圆方程可得代入即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为双曲线的焦点只可能与椭圆长轴的两个顶点重合，‎ 所以双曲线的焦点坐标为，，即，‎ 由，得，故实轴长为.‎ ‎（2）联立得 不妨设，，，‎ 则 .‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了双曲线标准方程及简单几何性质，椭圆标准方程及简单几何性质，属于中档题.‎ ‎21．已知，，，.‎ ‎（1）若为真命题，求的取值范围；‎ ‎（2）若为真命题，且为假命题，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)分a=0和两种情况讨论即可；（2）因为为真命题，且为假命题，所以真假或假真，当真假，有解出即可，当假真，有解出即可.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)当时，不恒成立，不符合题意；‎ 当时，，解得.‎ 综上所述：.‎ ‎(2)，，则.‎ 因为为真命题，且为假命题，所以真假或假真，‎ 当真假，有，即；‎ 当假真，有，则无解.‎ 综上所述，.‎ ‎【点睛】‎ 由简单命题和逻辑连接词构成的复合命题的真假可以用真值表来判断，反之根据复合命题的真假也可以判断简单命题的真假．假若p且q真，则p 真，q也真；若p或q真，则p，q至少有一个真；若p且q假，则p，q至少有一个假．（2）可把“p或q”为真命题转化为并集的运算；把“p且q”为真命题转化为交集的运算．‎ ‎22．已知椭圆的左、右顶点坐标分别是，，短轴长等于焦距.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线与椭圆相交于两点，线段的中点为，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由椭圆顶点可知，又短轴长等于焦距可知，求出，即可写出椭圆方程（2）根据“点差法”可求直线的斜率，写出直线方程，联立椭圆方程可得，，代入弦长公式即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）依题意，解得.‎ 故椭圆方程为.‎ ‎（2）设的坐标分别为，，直线的斜率显然存在，设斜率为，‎ 则，两式相减得，整理得.‎ 因为线段的中点为，所以，‎ 所以直线的方程为，联立，得，‎ 则，，‎ 故 .‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的标准方程及简单几何性质，“点差法”，弦长公式，属于中档题.‎