江西省吉安市第一中学2019-2020学年高二上学期第一次月考数学（理）试题 含解析

江西省吉安市第一中学2019-2020学年高二上学期第一次月考数学（理）试题 含解析

江西省吉安市第一中学2019-2020学年高二上学期第一次月考数学（理）试题 一、选择题（本大题共12小题）‎ 1. 若A，B表示点，a表示直线，α表示平面，则下列叙述中正确的是（　　）‎ A. 若,,则 B. 若,,则 C. 若,,则 D. 若,,则 2. 已知正三角形ABC的边长为2，那么△ABC的直观图△A′B′C′的面积为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 3. 已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8=4S4，则a10=（　　）‎ A. B. C. 10 D. 12‎ 4. 化简方程=10为不含根式的形式是（      ）‎ A. B. C. D. ‎ 5. 若直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为（   ）‎ A. B. C. 或 D. 以上答案都不对 6. 若x，y满足，则的最大值为（　　）‎ A. 0 B. ‎2 ‎C. D. 1‎ 7. 与直线x﹣y﹣4＝0和圆x2+y2+2x﹣2y＝0都相切的半径最小的圆的方程是（）‎ A. B. C. D. ‎ 8. 设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 9. 设椭圆的离心率为,右焦点为,方程的两个实根分别为和,则点(    )‎ A. 必在圆外 B. 必在圆上 C. 必在圆内 D. 以上三种情形都有可能 10. 已知P（-4，-4），Q是椭圆x2+2y2=16上的动点，M是线段PQ上的点，且满足PM=MQ，则动点M的轨迹方程是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 11. 直线y＝kx+1，当k变化时，直线被椭圆截得的最大弦长是（）‎ A. 4 B. ‎2 ‎C. D. 不能确定 12. 若对圆（x-1）2+（y-1）2=1上任意一点P（x，y），|3x-4y+a|+|3x-4y-9|的取值与x，y无关，则实数a的取值范围是（　　）‎ A. B. C. 或 D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ 13. 椭圆短轴的长为8,则实数______．‎ 14. 已知直线l:与圆交于A,B两点，过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点，则_____________.‎ 15. 已知点P是椭圆+＝1上一点，其左、右焦点分别为F1、F2，若△F1PF2的外接圆半径为4，则△F1PF2的面积是          ．‎ 16. 已知从圆C：（x+1）2+（y﹣2）2＝2外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，则当|PM|取最小值时点P的坐标为          ．‎ 三、解答题（本大题共6小题）‎ 1. 已知两直线l1：ax-by+4=0，l2：（a-1）x+y+b=0．求分别满足下列条件的a，b的值． （1）直线l1过点（-3，-1），并且直线l1与l2垂直； （2）直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等． ‎ 2. Ⅰ求以原点O为圆心,被直线所得的弦长为的圆的方程． Ⅱ求与圆外切于点且半径为的圆的方程． ‎ 3. 已知圆的方程为．‎ ‎（Ⅰ）求过点且与圆相切的直线的方程；‎ ‎（Ⅱ）圆有一动点，若向量，求动点的轨迹方程． ‎ 4. 已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值． ‎ 5. 过点M（4，3）的动直线l交x轴的正半轴于A点，交y轴正半轴于B点． （Ⅰ）求△OAB（O为坐标原点）的面积S最小值，并求取得最小值时直线l的方程． （Ⅱ）设 P是△OAB的面积S取得最小值时△OAB的内切圆上的动点，求u=|PO|2+|PA|2+|PB|2的取值范围． ‎ 1. 已知椭圆C中心在坐标原点，焦点在x轴上，且过点P，直线l与椭圆交于A，B两点（A，B两点不是左右顶点），若直线l的斜率为时，弦AB的中点D在直线上． （Ⅰ）求椭圆C的方程． （Ⅱ）若以A，B两点为直径的圆过椭圆的右顶点，则直线l是否经过定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】D ‎ ‎【解析】解：点与面的关系用符号∈，而不是⊂，所以答案A错误；直线与平面的关系用⊂表示，则AB∈α表示错误； 点A不在直线a上，但只要A，B都在平面α内，也存在AB⊂α，答案C错误；而A∈a，a⊂α，则A∈α，所以答案D正确． 故选：D． 本题要正确应用点，线，面之间的关系和符号表示，利用公理一判断即可． 立体几何图形语言、符号语言、文字语言之间三者之间相互转化，对公理一要准确理解到位． 2.【答案】D ‎ ‎【解析】解：如图所示， 直观图△A′B′C′的高为 h=C′D′sin45°=CDsin45°=×2×sin60°×sin45°=， 底边长为A′B′=AB=2； 所以△A′B′C′的面积为： S=AB•h=×2×=． 故选：D． 作出原图三角形与直观图形，再求直观图形的面积． 本题考查了平面直观图形的三角形面积计算问题，是基础题． 3.【答案】B ‎ ‎【解析】解：∵{an}是公差为1的等差数列，S8=4S4， ∴‎8a1+×1=4×（‎4a1+）， 解得a1=． 则a10=+9×1=． 故选：B． 利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出． 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 4.【答案】C ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查圆锥曲线的定义，考查方程的几何意义，考查椭圆的标准方程，是个简单题． ​方程=10，它的几何意义是动点P（x，y）到定点（0，-3）与到定点（0，3‎ ‎）的距离之和为10，从而轨迹为椭圆，故可求． 【解答】 解：方程=10， 它的几何意义是动点P（x，y）到定点（0，-3）与到定点（0，3）的距离之和为10＞6， 从而轨迹为椭圆，焦点在y轴上， 且a =5，c=3，∴b=4， 其标准方程为： 故选：C． 5.【答案】C ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质,属于基础题. ​分类讨论椭圆的焦点在x轴和y轴上求解即可. 【解答】 解: 直线与坐标轴的交点为(0，1)，(－2，0)， ​由题意知当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1， 所以a2＝5， 所以所求椭圆的标准方程为＋y2＝1, 当焦点在y轴上时，b＝2，c＝1，所以a2＝5， 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 综上可得，椭圆方程为＋y2＝1或＋＝1. ​故选C. 6.【答案】B ‎ ‎【解析】解：作出不等式式表示的平面区域， 得到如图的三角形及其内部 其中C（1，1），设P（x，y）为区域内点， 定点D（0，-1）． z===2， z的最大值为：2． 故选：B． 作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部．设P（x，y）为区域内一点，定点D（0，-1），可得目标函数的表示P、O两点连线的斜率，运动点P并观察直线PD斜率的变化，即可得到z的最大值． 本题给出二元一次不等式组，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和直线的斜率等知识，是中档题． 7.【答案】C ‎ ‎【解析】【分析】 由题意先确定圆心的位置，再结合选项进行排除，并得到圆心坐标，再求出所求圆的半径． 本题主要考查了由题意求圆的标准方程，作为选择题可结合选项做题，这样可提高做题的速度． 【解答】 解：由题意圆x2+y2+2x-2y=0的圆心为（-1，1），半径为， ‎ ‎∴过圆心（-1，1）与直线x-y-4=0垂直的直线方程为x+y=0， 所求的圆的圆心在此直线上，排除A、B， ∴圆心（-1，1）到直线x-y-4=0的距离为=3，则所求的圆的半径为， 故选：C． 8.【答案】C ‎ ‎【解析】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形， ∴|PF2|=|F‎2F1| ∵P为直线x=上一点 ∴ ∴ 故选：C． 利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F‎2F1|，根据P为直线x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率． 本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题． 9.【答案】C ‎ ‎【解析】【分析】 ​本题考查椭圆的基本性质，考查点与圆的位置关系，注意解题方法的积累，属于中档题． 通过e=可得=，利用韦达定理可得x1+x2=-、x1x2=-，根据完全平方公式、点与圆的位置关系计算即得结论． 【解答】 解：∵e==，∴=， ∵x1，x2是方程ax2+bx-c=0的两个实根， ∴由韦达定理：x1+x2=-=-，x1x2==-， ∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=+1=＜2， ∴点P（x1，x2）必在圆x2+y2=2内． 故选：C． 10.【答案】B ‎ ‎【解析】解：椭圆x2+2y2=16 即=1，设动点M（x，y），Q（m，n），则有=1   ①． ∵=，∴，∴m=4（x+3），n=4（y+3），代入①化简可得 （x+3）2+2（y+3）2=1， 故选：B． 设动点M（x，y），Q（m，n），则有=1  ①，由=，得到m=4（x+3），n=4（y+3），代入①化简可得结果． 本题考查用代入法求点的轨迹方程，得到，是解题的关键． 11.【答案】C ‎ ‎【解析】解：直线y=kx+1恒过定点P（0，1），且是椭圆的短轴上顶点， 因而此直线被椭圆截得的弦长即为点P与椭圆上任意一点Q的距离， 设椭圆上任意一点Q（2cosθ，sinθ）, ∴|PQ|2=（2cosθ）2+（sinθ-1）2=-3sin2θ-2sinθ+5 ∴当sinθ=-时， ∴， 故选C. 直线y=kx+1恒过定点P（0，1‎ ‎），且是椭圆的短轴上顶点，因而此直线被椭圆截得的弦长即为点P与椭圆上任意一点Q的距离，设椭圆上任意一点Q（2cosθ，sinθ），利用三角函数即可得到结论． 本题考查直线与椭圆的位置关系，考查三角函数知识，解题的关键是将问题转化为点P与椭圆上任意一点Q的距离的最大值． 12.【答案】D ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查了直线和圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，属于中档题. 由题意可得|3x-4y+a|+|3x-4y-9|可以看作点P到直线m：3x-4y+a=0与直线l：3x-4y-9=0距离之和的5倍， ，根据点到直线的距离公式解得即可． 【解答】 解：设z=|3x-4y+a|+|3x-4y-9| =5（+）， 故|3x-4y+a|+|3x-4y-9|可以看作点P到直线m：3x-4y+a=0与直线l：3x-4y-9=0距离之和的5倍， ∵取值与x，y无关， ∴这个距离之和与P无关， 如图所示：当圆在两直线之间时，P点与直线m，l的距离之和均为m，l的距离， 此时与x，y的值无关， 当直线m与圆相切时，=1， 化简得|a-1|=5， 解得a=6或a=-4（舍去）， ∴a≥6 . 故选：D． 13.【答案】16 ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查,为基础题． 利用椭圆方程，直接求解m即可． 【解答】 解：椭圆短轴的长为8， 因为a=6，‎2a=12， ​所以椭圆的焦点坐标在x轴， 可得=4，解得m=16． 故答案为：16． 14.【答案】4 ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生的计算能力，比较基础． 先求出|AB|，再利用三角函数求出|CD|即可． 【解答】 解：如图所示： 由题意，圆心到直线的距离d=，∴|AB|=， 设直线：x-y+6=0的倾斜角为，则,∴​， ， 故答案为4． 15.【答案】或4 ‎ ‎【解析】解：由题意，得a=4，b=2，得 ∴c==2， ∴F1（-2，0）F2（2，0）， 圆心A在F‎1F2垂直平分线上，设圆心为M（0，m）， 则有AF2=4，可求得m=2， ∴外接圆方程为x2+（y-2）2=16， 与椭圆联立可求得P点的纵坐标y=或-2， 其绝对值即为三角形的高， ∴△F1PF2的面积S=F‎1F2*|y（A）|=或4． 故答案为：或4． 首先，得到该椭圆的焦点坐标，然后，求解外接圆的圆心，从而得到其方程，然后，联立方程组，求解点P的纵坐标，从而得到该三角形的高，即得其面积． 本题重点考查了椭圆的简单几何性质、三角形的面积公式等知识，属于中档题． 16.【答案】（-，） ‎ ‎【解析】【分析】 设P（x，y）．由切线的性质可得：CM⊥PM，利用|PM|=|PO|，可得2x1-4y1+3=0．要使|PM|最小，只要|PO|最小即可． 本题考查了圆的切线的性质、勾股定理、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 【解答】 解：如图所示，圆C：（x+1）2+（y-2）2=2，圆心C（-1，2），半径r=． 因为|PM|=|PO|， 所以|PO|2+r2=|PC|2（C为圆心，r为圆的半径）, ‎ 所以x12+y12+2=（x1+1）2+（y1-2）2，即2x1-4y1+3=0．要使|PM|最小，只要|PO|最小即可． 当直线PO垂直于直线2x-4y+3=0时,即直线PO的方程为2x+y=0时,|PM|最小,此时P点即为两直线的交点,P点坐标（-，）. 故答案为（-，）． ​ 17.【答案】解：（1）∵l1⊥l2， ∴a（a-1）+（-b）•1=0，即a2-a-b=0① 又点（-3，-1）在l1上， ∴‎-3a+b+4=0② 由①②得a=2，b=2． （2）∵l1∥l2，∴=1-a，∴b=， 故l1和l2的方程可分别表示为： （a-1）x+y+=0，（a-1）x+y+=0， 又原点到l1与l2的距离相等． ∴4||=||，∴a=2或a=， ∴a=2，b=-2或a=，b=2． ‎ ‎【解析】（1）利用直线l1过点（-3，-1），直线l1与l2垂直，斜率之积为-1，得到两个关系式，求出a，b的值． （2）类似（1）直线l1与直线l2平行，斜率相等，坐标原点到l1，l2的距离相等，利用点到直线的距离相等．得到关系，求出a，b的值． 本题考查两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系，两条直线平行与倾斜角、斜率的关系，考查计算能力，是基础题． 18.【答案】解：（Ⅰ）因为O点到直线x-y+1=0的距离为， 所以圆O的半径为， 故圆O的方程为x2+y2=2． （Ⅱ）连心线斜率，设所求圆心（a，b）， ​则，解得 b=‎2a………① 因为两圆相外切，所以………② 由①②解得，或， 经检验，当时，，不符合题意，故舍去． 所以，所求圆的方程为（x-4）2+（y-8）2=20． ‎ ‎【解析】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，切线方程的应用，考查转化思想以及计算能力． （Ⅰ）利用垂径定理，求出以原点O为圆心，被直线x-y+1=0‎ 所得的弦长为的圆的半径，然后求解圆的方程． （Ⅱ）求出连心线的斜率，设出圆的圆心坐标，利用两圆外切，列出方程，转化求解圆的方程． 19.【答案】解：（Ⅰ）圆C的方程为x2+y2=4，圆心为坐标原点，半径为2， 当斜率不存在时，x=2，过点P（2，1）且与圆C相切的直线的方程x=2满足题意； 当斜率存在时，设切线方程为y-1=k（x-2），由得，． 此时切线方程为：3x+4y-10=0， 则所求的切线方程为x=2或3x+4y-10=0； （Ⅱ） 设Q点的坐标为（x，y），∵， ∴（x，y）=（x0，2y0），∴x=x0，y=2y0， ∵，∴，即． 所以动点的轨迹方程为​. ‎ ‎【解析】本题考查轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系的应用，是基本知识的考查． （Ⅰ）求出圆心与半径，利用直线的斜率是否存在，结合过点P（2，1）且与圆C相切的关系判断求解切线的方程； （Ⅱ）设出Q的坐标，通过，列出方程即可求动点Q的轨迹方程． 20.【答案】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意∴b=1，∴所求椭圆方程为． （Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）． （1）当AB⊥x轴时，． （2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m． 由已知，得． 把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+‎3m2‎-3=0， ∴，． ∴|AB|2=（1+k2）（x2-x1）2 = = = = =． 当且仅当，即时等号成立．当k=0时，， 综上所述|AB|max=2．∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值． ‎ ‎【解析】（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意求出a，b的值，从而得到所求椭圆的方程． （Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）当AB⊥x轴时，．（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m． 由已知，得．把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+‎3m2‎-3=0，然后由根与系数的关系进行求解． 本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用，认真审题，仔细解答． 21.【答案】（1）解：设l斜率为K，则l：y-3=k（x-4）得A（4-，0），B（0，3-4k）（k＜0）． ， 由，故∴Smin=24，l：3x+4y-24=0． （Ⅱ）△OAB面积S最小时，A（8，0），B（0，6），|AB|=10，直角△OAB内切圆半径，圆心为Q（2，2）， 内切圆方程为（x-2）2+（y-2）2=4‎ ‎． 设P（x，y），则x2+y2-4x-4y+4=0，其中0≤x≤4． U=|PO|2+|PA|2+|PB|2=x2+y2+（x-8）2+y2+x2+（y-6）2=3x2+3y2-16x-12y+100=88-4x（0≤x≤4）， 当x=0时，Umax=88，当x=4时，Umin=72 ∴U的范围是[72，88]． ‎ ‎【解析】（Ⅰ）设出斜率，求出AB坐标，推出△OAB（O为坐标原点）的面积S最小值，即可取得最小值时直线l的方程． （Ⅱ）求出△OAB的面积S取得最小值时△OAB的内切圆上的动点，表示u=|PO|2+|PA|2+|PB|2的表达式，求解最值即可得到取值范围． 本题考查直线与圆的方程的综合应用，位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力． 22.【答案】解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，A（x1，y1），B（x2，y2） 由题意得经过变换则有当时，， 再根据 得到a2=4b2，又因为椭圆过得到a=2，b=1， 所以椭圆的方程为：． （Ⅱ）由题意可得椭圆右顶点A2（2，0）， （1）当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为x=x0， 此时要使以A，B两点为直径的圆过椭圆的右顶点， 则，解得或x0=2（舍）， 此时直线l为． （2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+b，则有4+x1x2-2（x1+x2）+y1y2=0， 化简得① 联立直线和椭圆方程得（4k2+1）x2+8kbx+4b2-4=0，△=1+4k2-b2＞0， ② 把②代入①得 即4k2b2-4k2+4b‎2-4-8‎k2b2+16kb=-（4k2b2+16k2+b2+4）， 12k2+16kb+5b2=0，得k=-或此时直线l过或（2，0）（舍） 综上所述直线l过定点． ‎ ‎【解析】（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，A（x1，y1），B（x2，y2）利用平方差法求出a，b关系，利用椭圆经过的点，即可求出a，b，得到椭圆方程． （Ⅱ）由题意可得椭圆右顶点A2（2，0），，通过（1）当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为x=x0，求出直线l的方程．（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+b，推出①，联立直线和椭圆方程利用韦达定理的经过代入①求解即可． 本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，直线系方程的应用，考查分析问题解决问题的能力；分类讨论思想的应用． ‎