2019-2020学年广东省广州市荔湾区高二上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年广东省广州市荔湾区高二上学期期末数学试题（解析版）

‎2019-2020学年广东省广州市荔湾区高二上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．设集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】解一元二次不等式求得集合，解一元一次不等式求得集合，由此求得两个集合的交集.‎ ‎【详解】‎ 由解得，有解得，所以.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本小题主要考查集合交集，考查一元二次不等式、一元一次不等式的解法，属于基础题.‎ ‎2．已知向量，，且，则（ ）‎ A．10 B．10 C．4 D．4‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据两个向量平行的条件列方程，解方程求得的值.‎ ‎【详解】‎ 由于，所以，解得.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本小题主要考查空间向量共线的坐标表示，属于基础题.‎ ‎3．双曲线的焦距为（ ）‎ A．10 B． C．2 D．5‎ ‎【答案】A ‎【解析】由方程，，则，即，则焦距为.‎ ‎4．设命题：，都有，则为（ ）‎ A．，使 B．，都有 C．，使 D．，都有 ‎【答案】C ‎【解析】根据全称命题的否定是特称命题的知识选出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 原命题是全称命题，其否定为特称命题，注意到要否定结论，故A选项错误，C选项正确.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本小题主要考查全称命题与特称命题，考查全称命题的否定，属于基础题.‎ ‎5．若为实数，则下列命题正确的是（ ）‎ A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 ‎【答案】B ‎【解析】利用不等式的性质对选项逐一分析，由此确定正确选项.‎ ‎【详解】‎ 对于A选项，当时，不符合，故A选项错误.‎ 对于B选项，由于，所以，所以，所以B选项正确.‎ 对于C选项，如，但是，所以C选项错误.‎ 对于D选项，由于的正负不确定，所以无法由，得出，故D选项错误.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本小题主要考查不等式的性质，属于基础题.‎ ‎6．已知为平面的一个法向量，为一条直线，则“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】将“”与“”相互推导，根据能否推导的情况判断充分、必要条件.‎ ‎【详解】‎ 当“”时，由于可能在平面内，所以无法推出“”.‎ 当“”时，“”.‎ 综上所述，“”是“”的必要不充分条件.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查线面平行和法向量，属于基础题.‎ ‎7．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】建立空间直角坐标系，利用向量法计算出异面直线与所成角的余弦值.‎ ‎【详解】‎ 以为原点建立空间直角坐标系，如图所示，依题意，所以，设异面直线与所成角为，则.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本小题主要考查异面直线所成角的余弦值的计算，属于基础题.‎ ‎8．已知各项均为正数的数列为等比数列，是它的前项和，若，且与的等差中项为5，则（ ）‎ A．29 B．31 C．33 D．35‎ ‎【答案】B ‎【解析】将已知条件转化为的形式，解方程求得，根据等差中项列方程，由此解得.进而求得的值.‎ ‎【详解】‎ 由，得，所以，即，‎ 所以,（舍去）．依题意得，即，所以．‎ 所以．‎ 故选:B．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算，考查等差中项的性质，考查等比数列前项和，属于基础题.‎ ‎9．命题“若是等比数列，则（且）的逆命题、否命题与逆否命题中，假命题的个数为（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【答案】A ‎【解析】先判断原命题为真命题，由此得出逆否命题是真命题；判断出原命题的逆命题为真命题，由此判断原命题的否命题也是真命题，由此确定假命题的个数.‎ ‎【详解】‎ 若是等比数列，则是与的等比中项，所以原命题是真命题，‎ 从而，逆否命题是真命题；‎ 反之，若，则当时，，‎ 所以是等比数列，所以逆命题是真命题，从而，否命题是真命题．‎ 故选:A．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查四种命题及其相互关系，考查等比数列的性质，属于基础题.‎ ‎10．双曲线的右焦点为，点在的一条渐近线上，为坐标原点，若,则的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先求得双曲线的渐近线方程，由此求得对应的倾斜角，解直角三角形求得三角形的边长，由此求得以的面积.‎ ‎【详解】‎ 双曲线的渐近线方程为，无妨设，‎ 因为，，所以得,，‎ 所以的面积为．‎ 故选:D．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查双曲线的渐近线方程，考查双曲线的几何性质，考查双曲线中的三角形的面积计算，属于基础题.‎ ‎11．为不断满足人民日益增长的美好生活需要，实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造.改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体，该项目由长方形核心喷泉区（阴影部分）和四周绿化带组成.规划核心喷泉区的面积为，绿化带的宽分别为和（如图所示）.当整个项目占地面积最小时，则核心喷泉区的长度为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设，得到的值，进而求得矩形面积的表达式，利用基本不等式求得面积的最小值，，而根据基本不等式等号成立的条件求得此时的长.‎ ‎【详解】‎ 设，则，所以 ‎，‎ 当且仅当，即时，取“”号，‎ 所以当时，最小．‎ 故选:B．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查矩形面积的最小值的计算，考查利用基本不等式求最值，属于基础题.‎ ‎12．在三棱锥中，，，平面平面，点在棱上，且与平面所成角的正弦值为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】建立空间直角坐标系，设出点坐标，利用与平面所成角的正弦值为列方程，解方程求得点的坐标，进而求得的长.‎ ‎【详解】‎ 取中点，易证：,,.‎ 如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系.‎ 由已知得,,,,‎ ‎,,.‎ 设，‎ 则.‎ 设平面的法向量.‎ 由,得，‎ 可取，‎ 所以，‎ 解得（舍去），，‎ 所以．‎ 故选:A．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查根据线面角的正弦值求线段的长度，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13．已知实数满足约束条件，则的最大值为__________．‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】画出可行域，平移基准直线到可行域边界位置，由此求得目标函数的最大值.‎ ‎【详解】‎ 画出可行域如下图所示，由图可知，平移基准直线到可行域边界点的位置，此时取得最大值为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查线性规划求目标函数的最大值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎14．某学校启动建设一个全新的信息化“未来报告厅”，该报告厅的座位按如下规则排列：从第二排起，每一排都比前一排多出相同的座位数，且规划第7排有20个座位，则该报告厅前13排的座位总数是__________．‎ ‎【答案】260‎ ‎【解析】将问题转化为等差数列来解决，根据已知条件以及等差数列前项和公式，求得所求的坐标总数.‎ ‎【详解】‎ 因为从第二排起每一排都比前一排多出相同的座位数，‎ 所以座位数构成等差数列.‎ 因为，所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用等差数列解决实际生活中的问题，属于基础题.‎ ‎15．已知、是椭圆的左，右焦点，点为上一点，为坐标原点，为正三角形，则的离心率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】结合等边三角形的性质和椭圆的定义列方程，化简后求得椭圆的离心率.‎ ‎【详解】‎ 如图,因为为正三角形，所以，‎ 所以是直角三角形.‎ 因为，，所以,.‎ 因为，所以 即，所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查椭圆的定义，属于基础题.‎ ‎16．如图，平行六面体中，,,则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】用基底表示出，然后利用向量数量积的运算，求得.‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 所以 ‎，‎ 所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查空间向量法计算线段的长，属于基础题.‎ 三、解答题 ‎17．记为公差不为零的等差数列的前项和，已知，.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求的最大值及对应的大小.‎ ‎【答案】（1）（2）当或时,有最大值为20．‎ ‎【解析】（1）将已知条件转化为的形式列方程，由此解得，进而求得的通项公式.‎ ‎（2）根据等差数列前项和公式求得，利用配方法，结合二次函数的性质求得的最大值及对应的大小.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设的公差为，且．‎ 由，得，‎ 由，得，‎ 于是,．‎ 所以的通项公式为．‎ ‎（2）由（1）得 因为，‎ 所以当或时,‎ 有最大值为20．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查等差数列通项公式和前项和公式基本量的计算，考查等差数列前项和的最值的求法，属于基础题.‎ ‎18．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是轴，并且经过点，抛物线的焦点为，准线为.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）过且斜率为的直线与抛物线相交于两点、，过、分别作准线的垂线，垂足分别为、，求四边形的面积.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）根据抛物线上点的坐标，求得抛物线的方程.‎ ‎（2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，解出交点的坐标，结合抛物线的定义和梯形面积公式，求得四边形的面积.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）根据题意，设抛物线为，‎ 因为点在抛物线上，所以，即．‎ 所以抛物线的方程为．‎ ‎（2）由（1）可得焦点，准线为．‎ 不妨设，‎ 过且斜率为的直线的方程为．‎ 由 得，‎ 所以，．代入，得，．‎ 所以，．‎ 所以，‎ ‎，‎ ‎．‎ 因为四边形是直角梯形，所以四边形的面积为 ‎．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查抛物线方程的求法，考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的交点坐标，考查梯形面积的计算，属于中档题.‎ ‎19．如图，四棱锥中，底面是菱形，.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若，，，求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】（1）通过菱形的性质证得，通过等腰三角形的性质证得，由此证得平面，从而证得平面平面.‎ ‎（2）方法一通过几何法作出二面角的平面角，解三角形求得二面角的余弦值.方法而通过建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：记，连接．‎ 因为底面是菱形，‎ 所以，是的中点．‎ 因为，所以．‎ 因为，‎ 所以平面．‎ 因为平面，所以平面平面．‎ ‎（2）因为底面是菱形，，，‎ 所以是等边三角形，即．‎ 因为，所以．‎ 又，，所以，‎ 即．‎ 方法一：因为是的中点，所以，‎ 因为，所以，‎ 所以和都是等腰三角形．‎ 取中点，连接，则，且，‎ 所以是二面角的平面角．‎ 因为，且，‎ 所以．‎ 因为，‎ ‎，‎ 所以．‎ 所以二面角的余弦值为．‎ 方法二：如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，‎ 所以，，．‎ 设平面的法向量为 由，得，‎ 令，得.‎ 同理，可求平面的法向量．‎ 所以 ‎．‎ 所以，二面角的余弦值为．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.‎ ‎20．数列的前项和为，且，数列满足，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求证：数列是等比数列；‎ ‎（3）设数列满足，其前项和为，证明：.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析（3）见解析 ‎【解析】（1）利用求得数列的通项公式.‎ ‎（2）通过证明，证得数列是等比数列，并求得首项和公比.‎ ‎（3）由（2）求得的通项公式，由此求得的表达式，利用错位相减求和法求得，进而证得.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，．‎ 当时，．‎ 检验，当时符合．‎ 所以．‎ ‎（2）当时，，‎ 而，所以数列是等比数列，且首项为3，公比为3．‎ ‎（3）由（2）得 ，‎ ‎，‎ 所以 ‎ ①‎ ‎ ②‎ 由①②得 ‎，‎ ‎，‎ 所以．‎ 因为，所以．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查已知求，考查等比数列的证明，考查错位相减求和法，考查运算求解能力，属于中档题.‎ ‎21．如图，已知圆：，点是圆内一个定点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点.当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线.‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）设过点的直线与曲线相交于两点（点在两点之间）.是否存在直线使得？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）存在，或．‎ ‎【解析】（1）结合垂直平分线的性质和椭圆的定义，求出椭圆的方程.‎ ‎（2）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，写出韦达定理，利用，结合向量相等的坐标表示，求得直线的斜率，进而求得直线的方程.方法一和方法二的主要曲边是直线的方程的设法的不同.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为圆的方程为，‎ 所以，半径．‎ 因为是线段的垂直平分线，所以．‎ 所以．‎ 因为，‎ 所以点的轨迹是以，为焦点，长轴长的椭圆．‎ 因为，，，‎ 所以曲线的方程为．‎ ‎（2）存在直线使得．‎ 方法一：因为点在曲线外，直线与曲线相交，‎ 所以直线的斜率存在，设直线的方程为．‎ 设，‎ 由 得．‎ 则， ①‎ ‎， ②‎ 由题意知，解得．‎ 因为，‎ 所以，即． ③‎ 把③代入①得， ④‎ 把④代入②得，得，满足．‎ 所以直线的方程为：或．‎ 方法二：因为当直线的斜率为0时，，，，‎ 此时．‎ 因此设直线的方程为：．‎ 设，‎ 由 得．‎ 由题意知，解得或，‎ 则， ① ‎ ‎， ②‎ 因为，所以． ③‎ 把③代入①得， ④‎ 把④代入②得，，满足或．‎ 所以直线的方程为或．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查椭圆的定义和标准方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（1）若关于的不等式的解集为，求实数的值；‎ ‎（2）设，若不等式对都成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若且时，求函数的零点.‎ ‎【答案】（1），．（2）（3）见解析 ‎【解析】（1）根据根与系数关系列方程组，解方程组求得的值.‎ ‎（2）将不等式转化为，求得左边函数的最小值，由此解一元二次不等式求得的取值范围.‎ ‎（3）利用判别式进行分类讨论，结合函数的定义域，求得函数的零点.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为不等式的解集为，所以-3,1为方程的两个根，‎ 由根与系数的关系得 ‎，即，．‎ ‎（2）当时，，‎ 因为不等式对都成立，‎ 所以不等式对任意实数都成立．‎ 令，‎ 所以．‎ 当时，，‎ 所以，即，得或，‎ 所以实数的取值范围为．‎ ‎（3）当时，，‎ 函数的图像是开口向上且对称轴为的抛物线，‎ ‎．‎ ‎①当，即时，恒成立，函数无零点．‎ ‎②当，即或时，‎ ‎（ⅰ）当时，，此时函数无零点．‎ ‎（ⅱ）当时，，此时函数有零点3．‎ ‎③当，即或时，令，得 ‎，‎ ‎．‎ ‎（ⅰ）当时，得，此时，‎ 所以当时，函数无零点．‎ ‎（ⅱ）当时，得，此时，所以当时，函数有两个零点：，．‎ 综上所述：当，时，函数无零点；‎ 当，时，函数有一个零点为3；‎ 当，时，函数有两个零点：，．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查一元二次不等式解集，考查根与系数关系，考查不等式恒成立问题的求解，考查函数零点问题的研究，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎