2017-2018学年湖北省沙市中学高二上学期第三次半月考试数学（理）试题

2017-2018学年湖北省沙市中学高二上学期第三次半月考试数学（理）试题

‎2017-2018学年湖北省沙市中学高二上学期第三次半月考试理数试卷 ‎ 考试时间：2017年10月19日 一、选择题（本题共12个小题,每题只有一个正确答案 ，每题5分，共60分。请把答案涂在答题卡上）‎ ‎1．点P（﹣1，2）到直线8x﹣6y+15=0的距离为（　　）‎ A．2 B． C．1 D．‎ ‎2．已知直线l1：x+2ay﹣1=0，与l2：（2a﹣1）x﹣ay﹣1=0平行，则a的值是（　　）‎ A．0或1 B．1或 C．0或 D．‎ ‎3．如图程序运行后,输出的值是（ ）‎ ‎ A．-4        B. 5 ‎ C. 9         D. 14‎ ‎4．在空间直角坐标系中，点A（1，－2,3）关于平面的对称点为 B，A关于轴的对称点为C,则B,C两点间的距离为（ ）‎ A. B.6 C.4 D.‎ ‎5．点是直线上的动点，与圆分别相切于两点，则四边形面积的最小值为 ‎ ‎ ‎6．利用如图算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆x2+y2=10内有( )个 A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎7．如图给出的是计算的 值的一个程序框图，其中判断框 内应填入的条件是（ ）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D．‎ ‎8．设变量x，y满足约束条件，则的取值范围是（　　）‎ A．[﹣5，] B．[﹣5，0）∪[，+∞） ‎ C．（﹣∞，﹣5]∪[，+∞） D．[﹣5，0）∪（0，]‎ ‎9．已知曲线﹣=1与直线y=2x+m有两个交点，则m的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞） B．（﹣4，4） ‎ C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） D．（﹣3，3）‎ ‎10．如果圆上总存在两个点到原点的距离为则实数a的取值范围是（ ）‎ A． B． C．[-1，1] D．‎ ‎11．设不等式组表示的平面区域为D.若圆C：(x＋1)2＋(y＋1)2＝r2(r>0)不经过区域D上的点，则r的取值范围是(　　)‎ A．[2，2] B．[2，3] ‎ C．[3，2] D．(0，2)∪(2，＋∞)‎ ‎12．设点是函数图象上的任意一点，点，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ 试卷Ⅱ（共 90 分）‎ 二、填空题（本题共4个小题,每题5分，共计20分.请把答案写在答题纸上）‎ ‎13.经过点A(－5,2)且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程是________．‎ ‎14.已知是直线上一动点，是圆 的两条切线，切点分别为．若四边形的最小面积为2，则= ．‎ ‎15．已知满足条件()，若目标函数的最大值为，则的值为 . ‎ ‎16．在平面直角坐标系中，定义为两点,之间的“折线距离”. 若点，为坐标原点,则= ;‎ ‎ 与直线上一点的“折线距离”的最小值是____；‎ ‎ ‎ 三、解答题（本题共6个小题 共计70分。请把解答过程写在答题纸上）‎ ‎17．（本题满分10分）（本小题满分12分）求半径为，圆心在直线：上，且被直线 x y A l O ‎：所截弦的长为的圆的方程. ‎ ‎18题图 ‎18、（本小题12分）如图，在平面直角坐标系中，点，‎ 直线,设圆的半径为，圆心在上.‎ ‎（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；‎ ‎（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.‎ ‎19．（本题满分12分）19．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．‎ ‎（1）求证：平面AEC⊥平面PDB；‎ ‎（2）当PD=AB，且E为PB的中点时，‎ 求AE与平面PDB所成的角的大小．‎ ‎20．（本题满分12分）已知A，B分别是直线y＝x和y＝－x上的两个动点，线段AB的长为2 D是AB的中点．‎ ‎（1）求动点D的轨迹C的方程；‎ ‎（2）若过点(1,0)的直线l与曲线C交于不同两点P、Q，当|PQ|＝3时，求直线l的方程。‎ ‎21．已知圆C经过点A（﹣2，0），B（0，2），且圆心C在直线y=x上，又直线l：y=kx+1与圆C相交于P、Q两点．‎ ‎（1）求圆C的方程；‎ ‎（2）若•=﹣2，求实数k的值；‎ ‎（3）过点（0，4）作动直线m交圆C于E，F两点．试问：在以EF为直径的所有圆中，是否存在这样的圆P，使得圆P经过点M（2，0）？若存在，求出圆P的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎22．（本题满分12分）在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆的方程为：‎ ‎，以为圆心的圆的方程为：． ‎ ‎（1）若过点的直线沿轴向左平移3个单位，沿轴向下平移4个单位后，回到原来的位置，求直线被圆截得的弦长；‎ ‎（2）圆是以1为半径，圆心在圆：上移动的动圆 ，若圆上任意一点分 别作圆的两条切线，切点为，求的取值范围 ；‎ 参考答案 BCABC BACAA DC 二、填空题 ‎13.2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0. 14. 【答案】2‎ ‎15. 16. ; ，‎ 三、解答题 ‎17.【答案】圆的方程为：和.‎ ‎【解析】‎ ‎∴∴∴∴或者……………… 3分 ‎∴所求圆C的切线方程为：或者即或者 ‎……………… 4分 ‎（2）解：∵圆的圆心在在直线上，所以，设圆心C为（a,2a-4）‎ 则圆的方程为：……………… 6分 又∵∴设M为（x,y）则整理得：设为圆D………9分 ‎∴点M应该既在圆C上又在圆D上 即圆C和圆D有交点 ‎∴……………… 11分 解得，的取值范围为：……………… 12分 ‎19. ‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，‎ ‎∵PD⊥底面ABCD，‎ ‎∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，‎ ‎∴平面AEC⊥平面PDB．‎ ‎（Ⅱ）解：设AC∩BD=O，连接OE，‎ 由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，‎ ‎∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，‎ ‎∴O，E分别为DB、PB的中点，‎ ‎∴OE∥PD，，‎ 又∵PD⊥底面ABCD，‎ ‎∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，‎ 在Rt△AOE中，，‎ ‎∴∠AEO=45°，即AE与平面PDB所成的角的大小为45°．‎ 解:　(1)设D(x，y)，A(a，a)，B(b，－b),‎ ‎∵ D是AB的中点， ∴x＝，y＝，∵ |AB|＝2，∴(a－b)2＋(a＋b)2＝12，‎ ‎∴(2y)2＋(2x)2＝12，∴点D的轨迹C的方程为x2＋y2＝3. ………………………6分 ‎(2) 当直线l与x轴垂直时，P(1，)，Q(1，－)，此时|PQ|＝2，不符合题意 …7分 当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，由于|PQ|＝3，所以圆心C到直线l的距离为，由＝，解得k＝.故直线l的方程为y＝(x－1).‎ ‎20. 解：　(1)设D(x，y)，A(a，a)，B(b，－b), ∵ D是AB的中点， ∴x＝，y＝， ∵ |AB|＝2，∴(a－b)2＋(a＋b)2＝12， ∴(2y)2＋(2x)2＝12，∴点D的轨迹C的方程为x2＋y2＝3. (2) ①当直线l与x轴垂直时，P(1，)，Q(1，－)， 此时|PQ|＝2，不符合题意； 当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x－1)， 由于|PQ|＝3，所以圆心C到直线l的距离为， 由＝，解得k＝.故直线l的方程为y＝(x－1). ②当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为y＝k(x－1)， 由消去y得(k2＋1)x2－2k2x＋k2－3＝0，  设P(x1，y1)，Q(x2，y2)则由韦达定理得x1＋x2＝，x1x2＝， 则＝(m－x1，－y1)，＝(m－x2，－y2)， ∴·＝(m－x1)(m－x2)＋y1y2＝m2－m(x1＋x2)＋x1x2＋y1y2 ＝m2－m(x1＋x2)＋x1x2＋k2(x1－1)(x2－1) ＝m2－＋＋k2 (－＋1)＝ 要使上式为定值须＝1，解得m＝1， ∴·为定值－2， 当直线l的斜率不存在时P(1，)，Q(1，－)， 由E(1，0)可得＝(0，－)，＝(0，)， ‎ ‎∴·＝－2，            综上所述当E(1，0)时，·为定值－2.‎ ‎21．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】（1）设圆心C（a，a），半径为r．|AC|=|BC|=r，由此能求出圆C的方程．‎ ‎（2）由•=2×2×cos＜，＞=﹣2，得∠POQ=120°，圆心C到直线l：kx﹣y+1=0的距离d=1，由此能求出k=0．‎ ‎（3）当直线m的斜率不存在时，圆C也是满足题意的圆；当直线m的斜率存在时，设直线m：y=kx+4，由，得（1+k2）x2+8kx+12=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出在以EF为直径的所有圆中，存在圆P：5x2+5y2﹣16x﹣8y+12=0或x2+y2=4，使得圆P经过点M（2，0）．‎ ‎【解答】解：（1）设圆心C（a，a），半径为r．‎ 因为圆C经过点A（﹣2，0），B（0，2），‎ 所以|AC|=|BC|=r，‎ 即，‎ 解得a=0，r=2，‎ 所以圆C的方程是x2+y2=4．…‎ ‎（2）因为•=2×2×cos＜，＞=﹣2，‎ 且与的夹角为∠POQ，‎ 所以cos∠POQ=﹣，∠POQ=120°，‎ 所以圆心C到直线l：kx﹣y+1=0的距离d=1，‎ 又d=，所以k=0．…‎ ‎（3）（ⅰ）当直线m的斜率不存在时，‎ 直线m经过圆C的圆心C，‎ 此时直线m与圆C的交点为E（0，2），F（0，﹣2），‎ EF即为圆C的直径，而点M（2，0）在圆C上，‎ 即圆C也是满足题意的圆．…‎ ‎（ⅱ）当直线m的斜率存在时，设直线m：y=kx+4，‎ 由，消去y整理，得（1+k2）x2+8kx+12=0，‎ 由△=64k2﹣48（1+k2）＞0，得或．‎ 设E（x1，y1），F（x2，y2），‎ 则有①…‎ 由①得，②，③‎ 若存在以EF为直径的圆P经过点M（2，0），则ME⊥MF，‎ 所以，‎ 因此（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2=0，‎ 即x1x2﹣2（x1+x2）+4+y1y2=0，…‎ 则，‎ 所以16k+32=0，k=﹣2，满足题意．…‎ 此时以EF为直径的圆的方程为x2+y2﹣（x1+x2）x﹣（y1+y2）y+x1x2+y1y2=0，‎ 即，‎ 亦即5x2+5y2﹣16x﹣8y+12=0．…‎ 综上，在以EF为直径的所有圆中，‎ 存在圆P：5x2+5y2﹣16x﹣8y+12=0或x2+y2=4，使得圆P经过点M（2，0）． …‎ ‎22．（14分）解：（Ⅰ）设直线的方程为，‎ 向左平移3个单位，向下平移4个单位后得：‎ 依题意得即；所以 所以圆心到的距离为．‎ 所以被截得弦长为 …………………. 6分 D ‎ P ‎ P ‎ F ‎ C1 ‎ E ‎ O ‎ x ‎ y ‎ ‎（Ⅱ）动圆D是圆心在定圆上移动，半径为1的圆 设，则在中，，‎ 有,则 ‎ 由圆的几何性质得，，即，‎ ‎ 则的最大值为，最小值为. 故. ……..12分 ‎