2017-2018学年湖南省长郡中学高二下学期期末考试数学（文）试题-解析版

2017-2018学年湖南省长郡中学高二下学期期末考试数学（文）试题-解析版

绝密★启用前 湖南省长郡中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学（文）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．设集合，，则集合为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：化简集合，再由交集的定义，即可得到所求集合.‎ 详解：集合，，‎ 所以，故选B.‎ 点睛：本题主要考查了集合的交集的运算，其中正确求解集合的解答的关键，着重考查了推理与运算能力.‎ ‎2．若复数是纯虚数，则实数等于（ ）‎ A. 2 B. -2 C. -1 D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：复数的分母实数化，利用复数是纯虚数，求出a的值即可．‎ 详解：因为 ，是纯虚数，‎ 所以a=2．‎ 故选：A．‎ 点睛：本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.‎ ‎3．下列函数中，与函数的单调性和奇偶性一致的函数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】函数即是奇函数也是上的增函数，对照各选项： 为非奇非偶函数，排除 ；为奇函数，但不是上的增函数，排除 ；为奇函数，但不是上的增函数，排除 ；为奇函数，且是上的增函数，故选D.‎ ‎4．已知：命题：若函数是偶函数，则；命题：，关于的方程有解.在①；②；③；④中真命题的是（ ）‎ A. ②③ B. ②④ C. ③④ D. ①④‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：先分析命题p，q的真假，再根据复合命题的真值判断方法即可求解．‎ 详解：若函数f（x）=x2+|x﹣a|为偶函数，则（﹣x）2+|﹣x﹣a|=x2+|x﹣a|，即有|x+a|=|x﹣a|，易得a=0，故命题p为真；‎ 当m＞0时，方程的判别式△=4﹣4m不恒大于等于零，‎ 当m＞1时，△＜0，此时方程无实根，故命题q为假，‎ 即p真q假，‎ 故命题p∨q为真，p∧q为假，（￢p）∧q为假，（￢p）∨（￢q）为真．‎ 综上可得真确命题为①④．‎ 故选：D．‎ 点睛：本题考查复合命题的真假的判断．解题关键真确判断命题p，q的真假，再根据复合命题真值的判断方法求解．属于基础题．（1）由简单命题和逻辑连接词构成的复合命题的真假可以用真值表来判断，反之根据复合命题的真假也可以判断简单命题的真假．假若p且q真，则p 真，q也真；若p或q真，则p，q至少有一个真；若p且q假，则p，q至少有一个假．（2）可把“p或q”为真命题转化为并集的运算；把“p且q”为真命题转化为交集的运算．‎ ‎5．若，，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：用已知函数值的角表示要求的角，再由两角和差公式得到结果.‎ 详解：= ‎ 因为， ,,故 ‎ 代入得到结果为：.‎ 故答案为：A.‎ 点睛：这个题目考查了三角函数中给值求值的问题，用到两角和差公式，由已知角表示要求的角，注意在已知正弦求余弦或者已知余弦求正弦时，注意缩小角的范围.‎ ‎6．已知数列是等差数列，满足，下列结论中错误的是（ ）‎ A. B. 最小 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题设可得，即，所以答案D正确；由等差数列的性质可得，则，所以答案A正确；又，故答案C正确。所以答案B是错误的，应选答案B。‎ ‎7．如图，为测得河对岸塔的高，先在河岸上选一点，使在塔底的正东方向上，测得点的仰角为60°，再由点沿北偏东15°方向走到位置，测得，则塔的高是（单位：）（ ）‎ A. B. C. D. 10‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：设塔高为x米，根据题意可知在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x，从而有BC=，在△BCD中，CD=10，∠BCD=105°，∠BDC=45°，∠CBD=30°‎ ‎，由正弦定理可求 BC，从而可求x即塔高．‎ 详解：设塔高为x米，根据题意可知在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x，‎ 从而有BC=，AC=，‎ 在△BCD中，CD=10，∠BCD=60°+30°+15°=105°，∠BDC=45°，∠CBD=30°‎ 由正弦定理可得， ‎ 可得，BC=.‎ 则x=10；‎ 所以塔AB的高是10米；‎ 故选：B．‎ 点睛：本题主要考查了正弦定理在实际问题中的应用，解决本题的关键是要把实际问题转化为数学问题，即正确建立数学模型，结合已知把题目中的数据转化为三角形中的数据，进而选择合适的公式进行求解．‎ ‎8．函数的图象可能是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】函数的定义域为，可排除；‎ 又时，，‎ 即，故选.‎ 考点：函数的图象，函数的定义域，正弦函数、对数函数的性质.‎ ‎9．设数列是首项为1，公比为（）的等比数列，若是等差数列，则（ ）‎ A. 4026 B. 4028 C. 4030 D. 4032‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：运用等比数列的通项公式和等差数列的定义，求得q=1，进而得到所求和．‎ 详解：数列{an}是首项为1，公比为q（q≠﹣1）的等比数列，‎ 可得an=qn﹣1，‎ 由是等差数列，‎ 即 为常数，‎ 可得q=1，即an=1，=1，‎ 即有=2×2014=4028．‎ 故选：B．‎ 点睛：本题考查等比数列的通项公式，是基础的计算题，对于等比等差数列的 小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.‎ ‎10．将函数的图象向左平移个单位，再将所得函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，若函数在上单调递增，则的值不可能为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据三角函数的图象关系求出f（x）的解析式，结合三角函数的单调性进行求解判断即可．‎ 详解：将g（x）=sinx得图象横坐标缩短到原来的倍，得到y=sin2x，‎ 然后将函数图象向右平移φ个单位，得到f（x）=sin2（x﹣φ）=sin（2x﹣2φ），‎ ‎∵函数f（x）在（）上单调递增，‎ ‎∴2x﹣2φ∈（﹣2φ，π﹣2φ），‎ 则 ，得﹣kπ≤φ≤﹣kπ，‎ 当k=0时，≤φ≤，‎ 当k=﹣1时，≤φ≤，‎ 显然不可能取得，‎ 故选：C．‎ 点睛：本题主要考查三角函数的图象和性质，根据三角函数的关系求出函数的解析式，以及利用三角函数的单调性的性质是解决本题的关键．函数图像平移满足左加右减的原则，这一原则只针对x本身来说，需要将其系数提出来，再进行加减.‎ ‎11．已知函数，若函数在区间上有最值，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：f′（x）=aex﹣2x﹣（2a+1）=g（x），由函数f（x）在区间（0，ln2）上有最值⇔g（x）在区间（0，ln2）上存在零点．利用函数零点存在定理即可得出．‎ 详解：f′（x）=aex﹣2x﹣（2a+1）=g（x），‎ 由函数f（x）在区间（0，ln2）上有最值⇔g（x）在区间（0，ln2）上单调且存在零点．‎ ‎∴g（0）g（ln2）=（a﹣2a﹣1）（2a﹣2ln2﹣2a﹣1）＜0，‎ 可得a+1＜0，解得a＜﹣1．‎ 此时g′（x）=aex﹣2在区间（0，ln2）上单调递减．‎ ‎∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）．‎ 故选：A．‎ 点睛：本题考查函数的导数的应用，考查最值的求法，不等式的解法，考查转化思想以及计算能力．函数在一个区间上单调递增，则函数的导函数大于等于0恒成立，函数在一个区间上存在单调增区间，则函数的导函数在这个区间上大于0有解.‎ ‎12．如图，四边形是边长为2的菱形，，、分别为、的中点，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：运用向量的加减运算和数量积的定义以及性质，主要是向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值．‎ 详解：四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，‎ 可得 =2×2×cos60°=2，‎ 则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故选：D．‎ ‎ ‎ 点睛：本题考查向量的加减运算和向量数量积的定义以及性质，考查运算能力，属于中档题．解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底.‎ ‎13．已知函数（），的部分图象如图所示，且，则（ ）‎ A. 6 B. 4 C. -4 D. -6‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=5sin（2ωx﹣φ）﹣1，其中sinφ=，cosφ=，由函数图象可求周期T，由f（x0）=4，利用正弦函数的对称性可求sin[2ω（x0+1）﹣φ）=﹣1，利用正弦函数的周期性进而可求f（x0+1）的值．‎ 详解：∵f（x）=6sinωxcosωx﹣8cos2ωx+3‎ ‎=3sin2ωx﹣4cos2ωx﹣1‎ ‎=5sin（2ωx﹣φ）﹣1，其中sinφ=，cosφ=，‎ ‎∴设函数f（x）的最小正周期为T，则T=（θ+）﹣θ=，可得：T=2，‎ ‎∵f（x0）=4，可得：sin（2ωx0﹣φ）=1，即f（x）关于x=x0对称，而x=x0+1与x=x0的距离为半个周期，‎ ‎∴sin[2ω（x0+1）﹣φ）=﹣1，‎ ‎∴f（x0+1）=5sin[2ω（x0+1）﹣φ]﹣1=5×（﹣1）﹣1=﹣6．‎ 故选：D．‎ 点睛：本题主要考查了三角函数的图象和性质，考查了数形结合思想的灵活应用，属于中档题．已知函数的图象求解析式 ‎(1) .‎ ‎(2)由函数的周期求 ‎(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求 ‎14．已知为数列的前项和，，，若关于正整数的不等式的解集中的整数解有两个，则正实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：由2Sn=（n+1）an，n≥2时，2Sn﹣1=nan﹣1，则2an=2（Sn﹣Sn﹣1），整理得： ，则，可得：an=n．不等式an2﹣tan≤2t2，化为：（n﹣2t）（n+t）≤0，t＞0，0＜n≤2t，关于正整数n的不等式an2﹣tan≤2t2的解集中的整数解有两个，即可得出正实数t的取值范围．‎ 详解：∵a1=1，2Sn=（n+1）an，‎ ‎∴n≥2时，2Sn﹣1=nan﹣1，‎ ‎∴2an=2（Sn﹣Sn﹣1）=（n+1）an﹣nan﹣1，整理得：，‎ ‎∴‎ ‎∴an=n．‎ 不等式an2﹣tan≤2t2，化为：（n﹣2t）（n+t）≤0，t＞0，‎ ‎∴0＜n≤2t，‎ 关于正整数n的不等式an2﹣tan≤2t2的解集中的整数解有两个，‎ 可知n=1，2．‎ ‎∴1≤t＜，‎ 故答案为：A.‎ 点睛：本题考查数列的递推关系、不等式的性质的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．对于等比等差数列的 小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.‎ ‎15．已知函数，若方程有五个不同的根，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：求出f（﹣x）的解析式，根据x的范围不同得出两个不同的方程，由两个方程的关系得出f（﹣x）=f（x）在（0，+∞）上有两解，根据函数图象和导数的几何意义得出a的范围．‎ 详解：∵f（x）=，∴f（﹣x）=．‎ 显然x=0是方程f（﹣x）=f（x）的一个根，‎ 当x＞0时，ex=﹣ax，①‎ 当x＜0时，e﹣x=ax，②‎ 显然，若x0为方程①的解，则﹣x0为方程②的解，‎ 即方程①，②含有相同个数的解，‎ ‎∵方程f（﹣x）=f（x）有五个不同的根，‎ ‎∴方程①在（0，+∞）上有两解，‎ 做出y=ex（x＞0）和y=﹣ax（x＞0）的函数图象，如图所示：‎ ‎ ‎ 设y=kx与y=ex相切，切点为（x0，y0），‎ 则，解得x0=1，k=e．‎ ‎∵y=ex与y=﹣ax在（0，+∞）上有两个交点，‎ ‎∴﹣a＞e，即a＜﹣e．‎ 故选： C．‎ 点睛：函数的零点或方程的根的问题，一般以含参数的三次式、分式、以e为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，一般有下列两种考查形式：‎ ‎(1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题；‎ ‎(2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取值范围问题．‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎16．__________．‎ ‎【答案】. ‎ ‎【解析】分析：先切化弦，再由两角公式化一，最终得到结果.‎ 详解： ‎ 故答案为：.‎ 点睛：本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式、二倍角的正弦公式的应用，属于基础题．一般，，这三者我们成为三姐妹，结合，可以知一求三.‎ ‎17．若复数（，）满足，则的值为__________．‎ ‎【答案】-5.‎ ‎【解析】分析：利用复数的运算法则、复数相等即可得出．‎ 详解：由（1+z）i=3﹣i，可得：（1+z）i•（﹣i）=（3﹣i）•（﹣i），化为：1+z=﹣1﹣3i，可得z=﹣2﹣3i．‎ ‎∴x=﹣2，y=﹣3．‎ ‎∴x+y=﹣5．‎ 故答案为：-5.‎ 点睛：本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎18．设是定义在上的周期为3的函数，当时，则__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】分析：由f（x）是定义在R上的周期为3的函数，得f（）=f（﹣），再由分段函数的性质能求出结果．‎ 详解：∵f（x）是定义在R上的周期为3的函数，‎ 当x∈[﹣2，1）时，‎ ‎∴f（）=f（﹣）=4×（﹣）2﹣2=，‎ ‎∴f（f（））=f（）=，‎ 故答案为：.‎ 点睛：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要注意函数的周期性和分段函数的性质的合理运用．‎ ‎19．下列命题中：‎ ‎（1）（）是的充分不必要条件；‎ ‎（2）函数的最小正周期是；‎ ‎（3）中，若，则为钝角三角形；‎ ‎（4）若，则函数的图象的一条对称轴方程为；‎ 其中是真命题的为（填命题序号）__________．‎ ‎【答案】（1）（3）（4）.‎ ‎【解析】分析：根据函数y=Asin（ω x +φ ）的图像和性质，以及对称轴和中心的求法得到选项.‎ 详解：（1）（），是的充分不必要条件，因为等价于，故选项正确；（2）函数的最小正周期是 ‎，故选项不正确；（3）中，若，化简为,则为钝角三角形，正确；（4），则函数=,将代入满足等式，故正确.‎ 故答案为：（1）（3）（4）.‎ 点睛：本题主要考查正弦函数的对称性，考查了函数y=Asin（ω x +φ ）的图像和性质，在研究函数的单调性和最值时，一般采用的是整体思想，将ω x +φ看做一个整体，地位等同于sinx中的x。‎ ‎20．若、是函数（，）的两个不同的零点，且、、-2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于__________．‎ ‎【答案】9.‎ ‎【解析】试题分析：因为，所以等比数列只能是（或），故有，即，又，因此不能是等差数列的中间项，不妨设等差数列是，则，由，且，解得，所以，．‎ 考点：韦达定理，等差数列与等比数列的性质．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎21．已知点和向量 ‎（1）若向量与向量同向，且，求点的坐标；‎ ‎（2）若向量与向量的夹角是钝角，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】分析：（1）根据题意，设B（x，y），易得向量的坐标，分析可得3（x﹣1）=2（y+2）且（x﹣1）2+（y+2）2=52，解可得x、y的值，验证向量与向量 是否同向，即可得答案；（2）根据题意，由向量数量积的计算公式可得=﹣6+3k＜0且2k+9≠0，解可得k的取值范围，即可得答案．‎ 详解：‎ ‎（1）设，则，‎ 若向量与向量同向，则有，‎ 若向量，则，‎ 解可得，或，‎ 当时，，与向量反向，不合题意，舍去；‎ 当时，，与向量同向，‎ 则的坐标为；‎ ‎（2）若向量与向量的夹角是钝角，‎ 则有且，‎ 解可得且，‎ 故的取值范围是.‎ 点睛：本题考查向量数量积的计算，关键是掌握向量数量积的坐标计算公式．平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.‎ ‎22．在等比数列中，，且是与的等差中项.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足（），求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1).‎ ‎(2).‎ ‎【解析】试题分析：（1）设等比数列的公比为，运用等差数列的性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比，即可得到所求通项公式；‎ ‎（2）化简，运用分组求和和裂项相消求和，化简即可得到所求和．‎ 试题解析：（1）设等比数列的公比为，‎ 是与的等差中项，即有，‎ 即为，解得，‎ 即有；‎ ‎（2）），‎ 数列的前项和 ‎.‎ 考点：（1）数列的求和；（2）等比数列的通项公式.‎ ‎【方法点晴】本题考查等差数列和等比数列的通项和求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和和裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题.由等差中项的意义可得可求出公比，可求出数列通项公式；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消发类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.‎ ‎23．在中，角，，所对的边分别为，，，且.‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若，的面积为，为的中点，求的长.‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ ‎【解析】分析：（1）由三角函数的恒等变换和正弦定理，得，再由余弦定理，得 ‎，即可求解的值；‎ ‎（2）由，得，所以，在由余弦定理，即可求解的长.‎ 详解：（1）由，‎ 得.‎ 由正弦定理，得，‎ 即.‎ 又由余弦定理，得.‎ 因为，所以.‎ ‎（2）因为，‎ 所以为等腰三角形，且顶角.‎ 故，所以.‎ 在中，由余弦定理，得 ‎ .‎ 解得.‎ 点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.‎ ‎24．已知函数，.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）证明：若，则对任意，，，有.‎ ‎【答案】(1)见解析.‎ ‎(2)证明明见解析.‎ ‎【解析】分析：（1）根据对数函数定义可知定义域为大于0的数，求出f′（x）讨论当a-1=1时导函数大于0，函数单调递增；当a-1＞1时讨论函数的增减性；（2）构造函数g（x）=f（x）+x，求出导函数，根据a的取值范围得到导函数一定大于0，则g（x）为单调递增函数，则利用当x1＞x2＞0时有g（x1）-g（x2）＞0即可得证．‎ 详解：‎ ‎（1）的定义域为.‎ ‎.‎ ‎（i）若即，则，故在上单调递增.‎ ‎（ii）若，而，故，则当时，；‎ 当及时，，‎ 故在单调递减，在，单调递增.‎ ‎（iii）若即，同理可得在单调递减，在，单调递增.‎ ‎（2）考虑函数，‎ 则 由于，故，即在单调增加，从而当时有，即，故，‎ 当时，有.‎ 点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.‎ ‎25．已知函数（，）.‎ ‎（1）如果曲线在点处的切线方程为，求、的值；‎ ‎（2）若，，关于的不等式的整数解有且只有一个，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】分析：（1）由曲线在处的切线方程为，得，求出的值即可；‎ ‎（2）构造函数，通过对构造函数求导，并分类讨论，即可求得的取值范围．‎ 详解：（1）函数的定义域为，‎ ‎.‎ 因为曲线在点处的切线方程为，‎ 所以得，解得.‎ ‎（2）当时，，‎ 关于的不等式的整数解有且只有一个.‎ 等价于关于的不等式的整数解有且只要一个，构造函数 ‎，所以.‎ ‎①当时，因为，所以，又，所以，所以在内单调递增.‎ 因为，所以在上存在唯一的整数使得，即.‎ ‎②当时，为满足题意，函数在内不存在整数使，即在上不存在整数使.‎ 因为，所以.‎ 当时，函数，所以在内为单调递减函数，所以，即；‎ 当时，，不符合题意.‎ 综上所述，的取值范围为.‎ 点睛：本题考查了导数几何意义，以及导数在函数中的综合应用，其中利用导数研究不等式恒成立或解不等式问题，通常首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，着重考查了转化和化归思想，以及数形结合思想的应用．‎