2017-2018学年河南省周口市高二下学期期末考试数学(理)试题-解析版

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2017-2018学年河南省周口市高二下学期期末考试数学(理)试题-解析版

绝密★启用前 河南省周口市2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)试题 注意事项:‎ ‎1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷(选择题)‎ 请点击修改第I卷的文字说明 评卷人 得分 一、单选题 ‎1.已知,,复数,则( )‎ A. B. 1 C. 0 D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析:先将等式右边化简,然后根据复数相等的条件即可.‎ 详解:‎ 故选B.‎ 点睛:考查复数的除法运算和复数相等的条件,属于基础题.‎ ‎2.设随机变量服从正态分布,若,则( )‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析:根据正态分布图像可知,故它们中点即为对称轴.‎ 详解:由题可得:,故对称轴为 故选B.‎ 点睛:考查正态分布的基本量和图像性质,属于基础题.‎ ‎3.宋代理学家程颐认为:“格犹穷也,物犹理也,犹曰穷其理而已也。”就是说,格就是深刻探究,穷尽,物就是万物的本原,关于“格物致和”的做法,就是“今日格一件,明日又格一件,积习既多,然后脱然自有贯通处。”上述推理用的是( )‎ A. 类比推理 B. 演绎推理 C. 归纳推理 D. 以上都不对 ‎【答案】C ‎【解析】今天研究一件,明天又研究一件,将事物的规律一个一个找出来,归纳推理出“贯通处”.故为归纳推理.‎ ‎4.已知,都是实数,那么“”是“”的( )‎ A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】分析:根据充分必要条件进行前后推导即可得出结论.‎ 详解:由可得a>b,但a,b的具体值不知道,当a=1,b=-2时成立,但无法得到故充分性不成立,再由,例如a=-2,b=-1,但得不到,故必要性也不成立,所以综合得:既不充分也不必要 故选D.‎ 点睛:考查指数函数的单调性和逻辑关系的推导,属于基础题.‎ ‎5.( )‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析:根据题意,由于x’=1,(sinx)’=cos,故可知,故选B.‎ 考点:定积分的几何意义的运用 点评:解决的关键是理解被积函数的原函数,然后借助于函数值的改变量得到结论,属于基础题。‎ ‎6.将甲,乙等5位同学分别保送到北京大学,清华大学,浙江大学等三所大学就读,则每所大学至少保送一人的不同保送的方法数为( )‎ A. 150种 B. 180种 C. 240种 D. 540种 ‎【答案】A ‎【解析】先将个人分成三组, 或,分组方法有中,再将三组全排列有种,故总的方法数有种.选A.‎ ‎7.下列说法正确的个数有( )‎ ‎①用刻画回归效果,当越大时,模型的拟合效果越差;反之,则越好;‎ ‎②命题“,”的否定是“,”;‎ ‎③若回归直线的斜率估计值是,样本点的中心为,则回归直线方程是;‎ ‎④综合法证明数学问题是“由因索果”,分析法证明数学问题是“执果索因”。‎ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ‎【答案】C ‎【解析】分析:结合相关系数的性质,命题的否定的定义,回归方程的性质,推理证明即可分析结论.‎ 详解:①为相关系数,相关系数的结论是:越大表明模拟效果越好,反之越差,故①错误;②命题“,”的否定是“,”;正确;‎ ‎③若回归直线的斜率估计值是,样本点的中心为,则回归直线方程是;‎ 根据回归方程必过样本中心点的结论可得③正确;④综合法证明数学问题是“由因索果”,分析法证明数学问题是“执果索因”。根据综合法和分析法定义可得④的描述正确;故正确的为:②③④‎ 故选C.‎ 点睛:考查命题真假的判断,对命题的逐一分析和对应的定义,性质的理解是解题关键,属于基础题.‎ ‎8.从标有1、2、3、4、5的五张卡中,依次抽出2张,则在第一次抽到奇数的情况下,第二次抽到偶数的概率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意,记“第一次抽到奇数”为事件A,记“第二次抽到偶数”为事件B,则,,所以.故选B.‎ ‎9.用数学归纳法证明 过程中,假设时,不等式成立,则需证当时,也成立,则( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 故选 ‎10.已知函数,是的导函数,则函数的一个单调递减区间是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】,‎ 令,得:,‎ ‎∴单调递减区间为 故选:A ‎11.已知,是双曲线的上、下两个焦点,的直线与双曲线的上下两支分别交于点,,若为等边三角形,则双曲线的渐近线方程为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据双曲线的定义,可得 是等边三角形,即 ∴ 即 即又 0° 即 ‎ 解得 ‎ 由此可得双曲线的渐近线方程为.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查双曲线的定义和简单几何性质等知识,根据条件求出a,b的关系是解决本题的关键.‎ ‎12.已知函数,函数有四个不同的零点,从小到大依次为,,,,则的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析:通过f(x)的单调性,画出f(x)的图象和直线y=a,考虑四个交点的情况,得到x1=-2-x2,-1<x2≤0,x3x4=4,再由二次函数的单调性,可得所求范围.‎ 详解:当x>0时,f(x)=,‎ 可得f(x)在x>2递增,在0<x<2处递减, 由f(x)=e (x+1)2,x≤0, x<-1时,f(x)递减;-1<x<0时,f(x)递增, 可得x=-1处取得极小值1, 作出f(x)的图象,以及直线y=a, 可得e (x1+1)2=e (x2+1)2=,‎ 即有x1+1+x2+1=0,可得x1=-2-x2,-1<x2≤0,‎ 可得x3x4=4, x1x2+x3x4=4-2x2-x22=-(x2+1)2+5,在-1<x2≤0递减, 可得所求范围为[4,5).‎ 故选B.‎ 点睛:本题考查函数方程的转化思想,以及数形结合思想方法,考查二次函数的最值求法,化简整理的运算能力,属于中档题.‎ 第II卷(非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13.函数在处的切线方程是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数,求导得: ,当时, ,即在处的切线斜率为2.‎ 又时, ,所以切线为: ,整理得: .‎ 故答案为: .‎ 点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一,用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率,其求法为:设是曲线上的一点,则以的切点的切线方程为: .若曲线在点的切线平行于轴(即导数不存在)时,由切线定义知,切线方程为.‎ ‎14.若 ,则的值为__________.‎ ‎【答案】84.‎ ‎【解析】分析:根据原式右边的展开情况可将原式左边写成:然后根据二项式定理展开求(x-1)3的系数即可.‎ 详解:由题可得: ,‎ 故根据二项式定理可知:‎ 故答案为84.‎ 点睛:本题考查二项式定理的运用,注意运用变形和展开式的通项公式,考查方程思想和运算能力,属于基础题.‎ ‎15.已知,满足约束条件,则目标函数的最小值为__________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎,作出约束条件表示的可行域,如图,平移直线,由图可知直线经过点时,取得最小值,且,,故答案为.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值,属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”:(1)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线);(2)找到目标函数对应的最优解对应点(在可行域内平移变形后的目标函数,最先通过或最后通过的顶点就是最优解);(3)将最优解坐标代入目标函数求出最值.‎ ‎16.已知为抛物线的焦点,为其标准线与轴的交点,过的直线交抛物线于,两点,为线段的中点,且,则__________.‎ ‎【答案】8.‎ ‎【解析】分析:求得抛物线的焦点和准线方程,可得E的坐标,设过F的直线为y=k(x-1),代入抛物线方程y2=4x,运用韦达定理和中点坐标公式,可得M的坐标,运用两点的距离公式可得k,再由抛物线的焦点弦公式,计算可得所求值.‎ 详解:F(1,0)为抛物线C:y2=4x的焦点, E(-1,0)为其准线与x轴的交点, 设过F的直线为y=k(x-1), 代入抛物线方程y2=4x,可得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则中点 解得k2=1,则x1+x2=6,由抛物线的定义可得|AB|=x1+x2+2=8,故答案为8.‎ 点睛:本题考查抛物线的定义、方程和性质,考查联立直线方程和抛物线的方程,运用韦达定理和中点坐标公式,考查运算能力,属于中档题.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17.在锐角中,内角,,的对边分别为,,,且.‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ) 若,的面积为,求的值.‎ ‎【答案】(1).‎ ‎(2).‎ ‎【解析】试题分析:(1)由题意化简得,由锐角三角形,得,,所以;(2)由,得,所以,由余弦定理解得。‎ 试题解析:‎ ‎(Ⅰ),‎ ‎,‎ 又为锐角三角形, ,, ‎ ‎ . ‎ ‎(Ⅱ)由,得, ‎ ‎,, ‎ ‎,‎ 即.‎ 点睛:本题考查解三角形的应用。解三角形在高考中属于基本题型,学生必须掌握其基本解法。本题中涉及到三角形的转化,二倍角公式的应用,以及面积公式、余弦定理的应用。学生需充分掌握三角函数化简及解三角形的公式,才能把握解题。‎ ‎18.已知数列的前项和为,且满足,.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)令,记数列的前项和为,证明:.‎ ‎【答案】(1).‎ ‎(2)证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析:(I)当时, ,整理得,当n=1时,有.数列是以为公比,以为首项的等比数列.即可求数列的通项公式. ‎ ‎(II)由(I)有,则 ,用裂项相消法可求其前n项和.‎ 试题解析:(I)当时,有,解得.‎ 当时,有,则 ‎ ‎ 整理得: ‎ ‎ 数列是以为公比,以为首项的等比数列.‎ ‎ ‎ 即数列的通项公式为:. ‎ ‎(II)由(I)有,则 ‎ ‎ ‎ 故得证.‎ ‎19.如图,在四面体中,,.‎ ‎(Ⅰ)证明:;‎ ‎(Ⅱ)若,,四面体的体积为2,求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】(1)证明见解析.‎ ‎(2).‎ ‎【解析】分析:(1)作Rt△斜边上的高,连结,易证平面,从而得证;‎ ‎(2)由四面体的体积为2,,得,所以平面,以,,为,,轴建立空间直角坐标系,利用面的法向量求解二面角的余弦值即可.‎ 详解:解法一:(1)如图,作Rt△斜边上的高,连结.‎ 因为,,所以Rt△≌Rt△.可得.所以平面,于是. ‎ ‎(2)在Rt△中,因为,,所以,, ,△的面积.因为平面,四面体的体积,所以,,,所以平面.‎ 以,,为,,轴建立空间直角坐标系.则, ,,,,,.‎ 设是平面的法向量,则,即,可取.‎ 设是平面的法向量,则,即,可取.‎ 因为,二面角的平面角为钝角,所以二面角的余弦值为 解法二:(1)因为,,所以Rt△≌Rt△.可得.‎ 设中点为,连结,,则,,所以平面,,于是. ‎ ‎(2)在Rt△中,因为,,所以△面积为.设到平面距离为,因为四面体的体积,所以.‎ 在平面内过作,垂足为,因为,,所以.由点到平面距离定义知平面.‎ 因为,所以.因为,,所以,,所以,即二面角的余弦值为.‎ 点睛:本题主要考查空间位置关系的证明和空间角的计算,意在考查学生立体几何和空间向量的基础知识的掌握能力和基本的运算能力.证明位置关系和求空间的角都有两种方法,一是几何的方法,一是向量的方法,各有特色,要根据具体情况灵活选择,提高解析效率.‎ ‎20.由中央电视台综合频道()和唯众传媒联合制作的《开讲啦》是中国首档青春电视公开课。每期节目由一位知名人士讲述自己的故事,分享他们对于生活和生命的感悟,给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养,讨论青年们的人生问题,同时也在讨论青春中国的社会问题,受到青年观众的喜爱,为了了解观众对节目的喜爱程度,电视台随机调查了、两个地区的100名观众,得到如下的列联表:‎ 非常满意 满意 合计 ‎30‎ 合计 已知在被调查的100名观众中随机抽取1名,该观众是地区当中“非常满意”的观众的概率为,且.‎ ‎(Ⅰ)现从100名观众中用分层抽样的方法抽取20名进行问卷调查,则应抽取“满意”的、地区的人数各是多少;‎ ‎(Ⅱ)完成上述表格,并根据表格判断是否有的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系;‎ ‎(Ⅲ)若以抽样调查的频率为概率,从地区随机抽取3人,设抽到的观众“非常满意”的人数为,求的分布列和期望.‎ 附:参考公式:‎ ‎【答案】(1)3;4.‎ ‎(2)列联表见解析;没有的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系.‎ ‎(3)分布列见解析;.‎ ‎【解析】分析:(1)先根据概率计算x的值,得出y+z=35,再计算y与z的值,根据比例得出应抽取“满意”的A、B地区的人数; (2)根据独立性检验公式计算观测值k2,从而得出结论; (3)根据二项分布的概率公式计算分布列和数学期望.‎ 详解:‎ ‎(Ⅰ)由题意,得,所以,所以,‎ 因为,所以,,地抽取,地抽取.‎ ‎(Ⅱ)‎ 非常满意 满意 合计 ‎30‎ ‎15‎ ‎45‎ ‎35‎ ‎20‎ ‎55‎ 合计 ‎65‎ ‎35‎ ‎100‎ 的观察值 ‎ ‎ 所以没有的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系.‎ ‎(Ⅲ)从地区随机抽取1人,抽到的观众“非常满意”的概率为 随机抽取3人,的可能取值为0,1,2,3‎ ‎,‎ ‎,‎ 的分布列 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 的数学期望:‎ 点睛:本题考查了抽样调查,独立性检验,二项分布,题目比较长做题时要有耐心审题,认真分析条件,细心求解,属于中档题.‎ ‎21.已知过点的椭圆的左右焦点分别为、,为椭圆上的任意一点,且,,成等差数列.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的标准方程;‎ ‎(Ⅱ)直线交椭圆于,两点,若点始终在以为直径的圆外,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1).‎ ‎(2)或.‎ ‎【解析】试题分析:(1)由题意,利用等差数列和椭圆的定义求出a、c的关系,再根据椭圆C过点A,求出a、b的值,即可写出椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),根据题意知x1=﹣2,y1=0;联立方程消去y,由方程的根与系数关系求得x2、y2,由点A在以PQ为直径的圆外,得∠PAQ为锐角,•>0;由此列不等式求出k的取值范围.‎ 试题解析:‎ ‎(1)∵,,成等差数列,‎ ‎∴,‎ 由椭圆定义得,∴;‎ 又椭圆:()过点,‎ ‎∴;∴,解得,;‎ ‎∴椭圆的标准方程为;‎ ‎(2)设,,联立方程,消去得:‎ ‎;‎ 依题意:恒过点,此点为椭圆的左顶点,∴,,①‎ 由方程的根与系数关系可得,;②‎ 可得;③‎ 由①②③,解得,;‎ 由点在以为直径的圆外,得为锐角,即;‎ 由,,‎ ‎∴;即,‎ 整理得,,解得:或.‎ ‎∴实数的取值范围是或.‎ 点睛:在圆锥曲线中研究范围,若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可首先建立目标函数,再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时,常从以下方面考虑:①利用判别式来构造不等关系,从而确定参数的取值范围;②利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的关键是两个参数之间建立等量关系;③利用隐含或已知的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围;④利用基本不等式求出参数的取值范围;⑤利用函数的值域的求法,确定参数的取值范围.‎ ‎22.已知函数.‎ ‎(Ⅰ)当时,若函数恰有一个零点,求实数的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)当,时,对任意,,有成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)或.‎ ‎(2).‎ ‎【解析】分析:(1)当b=2时,f(x)=alnx+x2(a≠0). f′(x)=+2x=,‎ 分①当a>0时,②当a<0时,讨论即可.‎ ‎(2)原问题等价于f(x)max-f(x)min,)≤e-2成立,可得f(x)min=f(1)=1,可得f(x)max=f(e)=−b+eb,即eb-b-e+1≤0,设φ(b)=eb-b-e+1,(b>0),可得φ(b)在(0,+∞)单调递增,且φ(1)=0,即可得不等式eb-b-e+1≤0的解集即可.‎ 详解:‎ ‎(Ⅰ)函数的定义域为.‎ 当时,,所以,‎ 当时,,所以在上单调递增,‎ 取,则,‎ ‎(或:因为且时,所以 ,)‎ 因为,所以,此时函数有一个零点.‎ 当时,令,解得.‎ 当时,,所以在()上单调递减;‎ 当时,,所以在上单调递增.‎ 要使函数有一个零点,则即.‎ 综上所述,若函数恰有一个零点,则或.‎ ‎(Ⅱ)因为对任意,,有成立,‎ 因为,‎ 所以.‎ 因为,则.‎ 所以,所以.‎ 当时,,当时,,‎ 所以函数在上单调递减,在上单调递增,,‎ 因为与,所以.‎ 设 则,‎ 所以在上单调递增,故,所以,‎ 从而.‎ 所以即.‎ 设,则.‎ 当时,,所以在上单调递增.‎ 又,所以,即,解得.‎ 因为,所以的取值范围为.‎ 点睛:本题考查了导数的应用,考查了转化思想、运算能力,对导数研究函数问题,通常单调性的研究是必须的,对涉及有参数的影响时,要注意对参数的完整讨论不可遗漏情况,对于不等式的任意或存在问题都是转化为相应的最值问题求解,难度会比较高,注意有条理的分析即可尽可能去得分,属于压轴题.‎
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