新课标版高考数学复习题库考点21 直线与圆

新课标版高考数学复习题库考点21 直线与圆

‎ ‎ 考点21 直线与圆 ‎ ‎1.（2010·安徽高考文科·Ｔ4）过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（ ）‎ ‎（A）x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 （D）x+2y-1=0‎ ‎【命题立意】本题主要考查直线平行问题.‎ ‎【思路点拨】可设所求直线方程为，代入点（1，0）得值，进而得直线方程.‎ ‎【规范解答】选A，设直线方程为，又经过，故，所求方程为.‎ ‎2.(2010·广东高考文科·Ｔ6）若圆心在x轴上、半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x+2y=0相切，则圆O的方程是（ ）‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎【命题立意】本题考察直线与圆的位置关系.‎ ‎【思路点拨】由切线的性质：圆心到切线的距离等于半径求解.‎ ‎【规范解答】选.设圆心为，则，解得，‎ 所以所求圆的方程为：，故选.‎ ‎3.（2010 ·海南宁夏高考·理科T15）过点A(4,1)的圆C与直线相切于点B(2,1)．‎ 则圆C的方程为 .‎ ‎【命题立意】本题主要考察了圆的相关知识，如何灵活转化题目中的条件求解圆的方程是解决问题的关键.‎ ‎【思路点拨】由题意得出圆心既在线段AB的中垂线上，又在过点B(2,1)且与直线垂直的直线上，进而可求出圆心和半径,从而得解.‎ ‎【规范解答】由题意知，圆心既在过点B(2,1)且与直线垂直的直线上，又在线段AB的中垂线上.可求出过点B(2,1)且与直线垂直的直线为，AB的中垂线为，联立 半径，所以，圆的方程为.‎ ‎【答案】‎ ‎4.（2010·广东高考理科·Ｔ１2）已知圆心在x轴上，半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆O的方程是 ‎ ‎【命题立意】本题考察直线与圆的位置关系.‎ ‎【思路点拨】由切线的性质：圆心到切线的距离等于半径求解.‎ ‎【规范解答】设圆心坐标为，则，解得，又圆心位于轴左侧，所以.故圆O的方程为.‎ ‎【答案】‎ ‎5.（2010·天津高考文科·Ｔ１4）已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切.则圆C的方程为 ‎ ‎【命题立意】考查点到直线的距离、圆的标准方程、直线与圆的位置关系.‎ ‎【思路点拨】圆心到与圆的切线的距离即为圆的半径.‎ ‎【规范解答】由题意可得圆心的坐标为（-1,0），圆心到直线x+y+3=0的距离即为圆的半径，故 ‎，所以圆的方程为.‎ ‎【答案】‎ ‎6.（2010·江苏高考·Ｔ9）在平面直角坐标系xOy中，已知圆上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是___________‎ ‎【命题立意】本题考查直线与圆的位置关系.‎ ‎【思路点拨】由题意分析，可把问题转化为坐标原点到直线12x-5y+c=0的距离小于1，从而求出c的取值范围.‎ ‎【规范解答】如图，圆的半径为2，‎ 圆上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,‎ 问题转化为坐标原点（0，0）到直线12x-5y+c=0的 距离小于1.‎ ‎【答案】‎ ‎7.（2010·山东高考理科·Ｔ16）已知圆C过点（1,0），且圆心在x轴的正半轴上，直线：被圆C所截得的弦长为，则过圆心且与直线垂直的直线的方程为 ．‎ ‎ 【命题立意】本题考查了直线的方程、点到直线的距离、直线与圆的关系，考查了考生的分析问题解决问题的能力、推理论证能力和运算求解能力.‎ ‎ 【规范解答】由题意，设所求的直线方程为，设圆心坐标为，则由题意知：，解得或-1，又因为圆心在x轴的正半轴上，所以，故圆心坐标为（3，0），因为圆心（3，0）在所求的直线上，所以有，即，故所求的直线方程为.‎ ‎【答案】‎ ‎【方法技巧】（1）研究直线与圆的位置关系，尽可能简化运算，要联系圆的几何特性.如“垂直于弦的直径必平分弦”，“圆的切线垂直于过切点的半径”，“两圆相交时连心线必垂直平分其公共弦”等.在解题时应注意灵活运用.‎ ‎（2）直线与圆相交是解析几何中一类重要问题，解题时注意运用“设而不求”的技巧. ‎ ‎8.（2010·山东高考文科·Ｔ１6）已知圆C过点（1,0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l：被该圆所截得的弦长为，则圆C的标准方程为 . ‎ ‎【命题立意】本题考查了点到直线的距离、直线与圆的关系，圆的标准方程等知识，考查了考生的分析问题解决问题的能力、推理论证能力和运算求解能力.‎ ‎【思路点拨】根据弦长及圆心在x轴的正半轴上求出圆心坐标，再求出圆的半径即可得解.‎ ‎【规范解答】设圆心坐标为，圆的半径为，则由题意知：，解得 或-1，又因为圆心在x轴的正半轴上，所以，故圆心坐标为（3，0），故所求圆的方程为.‎ ‎【答案】‎ ‎【方法技巧】（1）研究直线与圆的位置关系，尽可能简化运算，要联系圆的几何特性.如“垂直于弦的直径必平分弦”，“圆的切线垂直于过切点的半径”，“两圆相交时连心线必垂直平分其公共弦”等.在解题时应注意灵活运用.‎ ‎（2）直线与圆相交是解析几何中一类重要问题，解题时注意运用“设而不求”的技巧.‎ ‎9.（2010·湖南高考文科·Ｔ14）若不同两点P,Q的坐标分别为（a，b），（3-b，3-a），则线段PQ的垂直平分线l的斜率为 ,圆（x-2）2+（y-3）2=1关于直线对称的圆的方程为 .‎ ‎【思路点拨】第一问直接利用“如果两直线的斜率存在，那么相互垂直的充要条件是斜率之积等于‎-1”‎；第二问把圆的对称转化为圆心关于直线的对称.‎ ‎【规范解答】设PQ的垂直平分线的斜率为k，则k·=-1，∴k=-1，而且PQ的中点坐标是( ,)，∴l的方程为：y-=-1·(x- )，∴y=-x+3,而圆心(2,3)关于直线y=-x+3对称的点坐标为(0,1)，∴所求圆的方程为：x2+(y-1)2=1.‎ ‎【答案】-1 x2+(y-1)2=1‎ ‎【方法技巧】一个图形关于一条直线的对称图形的方程的求法，如果对称轴的斜率为±1，常常把横坐标代入得到纵坐标，把纵坐标代入得到横坐标，如(a,b)关于y=x+c的对称点是(b-c,a+c).‎ ‎10.（2010·北京高考理科·Ｔ１9）在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.‎ ‎(1)求动点P的轨迹方程.‎ ‎(2)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.‎ ‎【命题立意】本题考查了动点轨迹的求法，第（2）问是探究性问题，考查了考生综合运用知识解决问题的能力，考查了数学中的转化与化归思想.‎ ‎【思路点拨】（1）设出点P的坐标，利用AP与BP的斜率之积为，可得到点P的轨迹方程.（2）方法一：设出，把和的面积表示出来，整理求解；方法二：把△PAB与△PMN的面积相等转化为，进而转化为.‎ ‎【规范解答】（1）因为点B与点A关于原点对称，所以点的坐标为.‎ 设点的坐标为，‎ 由题意得，‎ 化简得 .‎ 故动点的轨迹方程为.‎ ‎（2）方法一：设点的坐标为，点，得坐标分别为,.‎ 则直线的方程为，直线的方程为，‎ 令得，，‎ 于是的面积为 ‎，‎ 又直线的方程为，，‎ 点到直线的距离，‎ 于是的面积为 ‎，‎ 当时，有，‎ 又，‎ 所以=，解得.‎ 因为，所以，‎ 故存在点使得与的面积相等，此时点的坐标为 方法二：若存在点使得与的面积相等，设点的坐标为 则，‎ 因为,‎ 所以，‎ 所以，‎ 即 ，解得，‎ 因为，所以， ‎ ‎ 故存在点使得△与△的面积相等，此时点的坐标为.‎