2018-2019学年辽宁省沈阳铁路实验中学高二10月月考文科数学试题 解析版

2018-2019学年辽宁省沈阳铁路实验中学高二10月月考文科数学试题 解析版

沈阳铁路实验中学2018-2019学年度上学期10月月考试题 高二数学（文科）‎ 时间：120分钟 分数：150分 ‎ 命题人： 王爽 审题人： 王爽 第Ⅰ卷(共60分)‎ 一、选择题 ‎1．数列an是等差数列，若a‎1‎‎+1‎，a‎3‎‎+3‎，a‎5‎‎+5‎构成公比为q的等比数列，则q=‎ (　　)‎ A． 1 B． 2 C． ‎1‎‎2‎ D． 3‎ ‎2．等差数列an的首项为‎1‎，公差不为‎0‎，若a‎2‎‎,a‎3‎,‎a‎6‎成等比数列，则an前‎6‎项的和为 （ ）‎ A． ‎-3‎ B． ‎3‎ C． ‎-24‎ D． ‎‎8‎ ‎3．已知数列an为等比数列，若a‎1‎a‎6‎‎=2‎，下列结论成立的是 （ ）‎ A． a‎2‎a‎4‎‎=‎‎4‎a‎3‎a‎5‎ B． a‎3‎‎+a‎4‎=2‎ C． a‎1‎a‎2‎a‎3‎‎=2‎‎2‎ D． ‎a‎2‎‎+a‎5‎≥2‎‎2‎ ‎4．已知数列‎{an}‎中，a‎1‎‎+a‎2‎+a‎3‎+⋅⋅⋅+an=‎2‎n-1(n∈N‎*‎)‎，则‎ a‎1‎‎2‎+a‎2‎‎2‎+a‎3‎‎2‎+⋅⋅⋅+‎an‎2‎等于（ ）‎ A． ‎1‎‎3‎‎(‎4‎n-1)‎ B． ‎1‎‎3‎‎(‎2‎n-1)‎ C． ‎4‎n‎-1‎ D． ‎‎(‎2‎n-1)‎‎2‎ ‎5．各项不为零的等差数列‎{an}‎中，‎2(a‎3‎+a‎11‎)=‎a‎7‎‎2‎，数列‎{bn}‎是等比数列，且b‎7‎‎=‎a‎7‎，则b‎6‎b‎8‎‎=‎ （ ）‎ A． 16 B． 8 C． 4 D． 2‎ ‎6．已知数列an是公比为q的等比数列，且a‎1‎，a‎3‎，a‎2‎成等差数列，则公比q的值为 （ ）‎ A． ‎-‎‎1‎‎2‎ B． ‎-2‎ C． ‎-1‎或‎1‎‎2‎ D． ‎1‎或‎-‎‎1‎‎2‎ ‎7．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30，该女子所需的天数至少为 （ ）‎ A． 10 B． 9 C． 8 D． 7‎ ‎8．已知数列‎{an}‎是各项均为正数的等比数列，数列‎{bn}‎是等差数列，且a‎5‎‎=‎b‎6‎，则 （ ）‎ A． a‎3‎‎+a‎7‎≤b‎4‎+‎b‎8‎ B． ‎a‎3‎‎+a‎7‎≥b‎4‎+‎b‎8‎ C． a‎3‎‎+a‎7‎≠b‎4‎+‎b‎8‎ D． ‎a‎3‎‎+a‎7‎=b‎4‎+‎b‎8‎ ‎9．设等差数列‎{an}‎的前n项和为Sn，且满足S‎2018‎‎<0,S‎2019‎>0‎，若对任意正整数n，都有Sn‎>‎Sk，则k的值为 （ ）‎ A． 1008 B． 1009 C． 2018 D． 2019‎ ‎10．数列{an}的通项公式an＝ncosnπ‎2‎，其前n项和为Sn，则S2 012等于 (　　)‎ A． 1 006 B． 2 012 C． 503 D． 0‎ ‎11．已知等差数列的前项和为，且， ，则数列的前100项和为 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎12．在ΔABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若ΔABC的面积为S，且a=1‎，‎4S=b‎2‎+c‎2‎-1‎，则ΔABC外接圆的面积为 （ ）‎ A． ‎4π B． ‎2π C． π D． ‎π‎2‎ 二、填空题 ‎13．等差数列‎{an}‎满足a‎1‎‎=1,a‎3‎‎2‎=a‎2‎a‎5‎-3‎，则an‎=‎_______‎ ‎14．已知两个等差数列‎{an},{bn}‎的前n项之和为An‎,‎Bn，且AnBn‎=‎‎5n+12‎‎2n+3‎，则a‎5‎b‎5‎‎+a‎7‎b‎12‎=‎_______.‎ ‎15．若， 满足， ，则的前2018项和为__________．‎ ‎16．△ABC的内角A ，  B ，  C的对边分别为a ，  b ，  c，已知bsinC+csinB=4asinBsinC，b‎2‎‎+c‎2‎-a‎2‎=8‎，则△ABC的面积为________．‎ ‎ 第Ⅱ卷(共90分)‎ 三、解答题 ‎17．已知数列an的各项均为正数，且an‎2‎‎-2nan-(2n+1)=0,n∈‎N‎*‎.‎ ‎（1）求数列an的通项公式；‎ ‎（2）若bn‎=‎2‎n⋅‎an，求数列bn的前n项和Tn.‎ ‎18．已知数列an满足a‎1‎‎=‎1‎‎2‎,an+1‎=‎an‎2an+1‎.‎ ‎（1）证明数列‎1‎an是等差数列，并求an的通项公式；‎ ‎（2）若数列bn满足bn‎=‎‎1‎‎2‎n‎·‎an，求数列bn的前n项和Sn.‎ ‎19．设数列满足.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎20．在△ABC中，a=7，b=8，cosB= –‎1‎‎7‎．‎ ‎（Ⅰ）求∠A；‎ ‎（Ⅱ）求AC边上的高．‎ ‎21．已知Sn为数列‎{an}‎的前n项和，且a‎1‎‎<2‎，an‎>0‎，‎6Sn=an‎2‎+3an+2‎，n∈N*‎．‎ ‎(1)‎求数列‎{an}‎的通项公式；‎ ‎(2)‎若对‎∀n∈N*‎，bn‎=(-1‎‎)‎nan‎2‎，求数列‎{bn}‎的前2n项的和T‎2n．‎ ‎22．已知等差数列an的公差d≠0‎，其前n项和为Sn，若a‎2‎‎+a‎8‎=22‎，且a‎4‎‎,a‎7‎,‎a‎12‎成等比数列．‎ ‎（1）求数列an的通项公式；‎ ‎（2）若Tn‎=‎1‎S‎1‎+‎1‎S‎2‎+⋯+‎‎1‎Sn，证明：‎Tn‎<‎‎3‎‎4‎ ‎1．A ‎【解析】分析：利用等差数列的通项公式和等比数例的定义进行求解。‎ 详解：由题可知‎（a‎1‎+2d+3）‎‎2‎‎=(a‎1‎+1)(a‎1‎+4d+5)‎ 解得d=-1，‎ ‎∴q=a‎1‎‎+3‎a‎1‎‎+1‎=a‎1‎‎-2+3‎a‎1‎‎+1‎=1‎ 故答案为A.‎ 点睛：本题主要考查等差数列的通项公式和等比数列的定义，属于基础题。‎ ‎2．C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列的通项公式、等比数列的性质列出方程，求出公差，由此求出an的前6项的和.‎ ‎【详解】‎ 因为等差数列an的首项为1，公差不为0，且a‎2‎‎,a‎3‎,‎a‎6‎构成等比数列，‎ 所以a‎3‎‎2‎‎=a‎2‎⋅‎a‎6‎，所以‎(a‎1‎+2d)‎‎2‎‎=(a‎1‎+d)(a‎1‎+5d)‎，且a‎1‎‎=1,d≠0‎，‎ 解得d=-2‎，‎ 所以an的前6项的和S‎6‎‎=6a‎1‎+‎6×5‎‎2‎×d=6×1+‎6×5‎‎2‎×(-2)=-24‎，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等差数列的前n项和公式的应用，属于基础题，解题是要认真审题，主要等差数列、等比数列的性质的合理运用，着重考查了推理与计算能力.‎ ‎3．A ‎【解析】分析:根据等比数列的通项性质即可得出结论.‎ 详解：因为a‎1‎a‎6‎‎=a‎2‎a‎5‎=a‎3‎a‎4‎=2‎，故a‎2‎a‎4‎‎=‎‎4‎a‎3‎a‎5‎，故选A.‎ 点睛：考查等比数列的通项性质，属于基础题.‎ ‎4．A ‎【解析】分析：a‎1‎‎+a‎2‎+a‎3‎+⋅⋅⋅+an=‎2‎n-1(n∈N‎*‎)‎，故an‎=‎‎2‎n-1‎，令bn‎=an‎2‎=‎‎4‎n-1‎，再由等比数列求和公式求解a‎1‎‎2‎‎+a‎2‎‎2‎+a‎3‎‎2‎+⋅⋅⋅+‎an‎2‎ 详解：设Sn‎=a‎1‎+a‎2‎+a‎3‎+⋅⋅⋅+an=‎2‎n-1(n∈N‎*‎)‎，由an‎=‎S‎1‎‎，n=1‎Sn‎-Sn-1‎，n≥2‎，解得an‎=‎‎2‎n-1‎，，令bn‎=an‎2‎=‎‎4‎n-1‎故a‎1‎‎2‎‎+a‎2‎‎2‎+a‎3‎‎2‎+⋅⋅⋅+an‎2‎=‎1‎‎3‎(‎4‎n-1)‎。故选A 点睛：an‎=‎S‎1‎‎，n=1‎Sn‎-Sn-1‎，n≥2‎，一定要注意，当n=1‎时要验证是否满足数列。‎ 等比数列的平方还是等比数列，公比为原数列的平方。‎ ‎5．A ‎【解析】分析：‎2a‎3‎‎+‎a‎11‎=a‎7‎‎2‎⇒4a‎7‎=‎a‎7‎‎2‎所以a‎7‎‎=4=‎b‎7‎，利用等比中项求解 详解：在等差数列‎{an}‎中，‎2(a‎3‎+a‎11‎)=‎a‎7‎‎2‎，由等差中项‎2a‎3‎‎+‎a‎11‎=a‎7‎‎2‎⇒4a‎7‎=‎a‎7‎‎2‎所以a‎7‎‎=4=‎b‎7‎，由等比中项b‎6‎b‎8‎‎=b‎7‎‎2‎=16‎.故选A 点睛：等差数列的性质：若m+n=p+q，则am‎+an=ap+‎aq。等比数列的性质：若m+n=p+q，则aman‎=‎apaq。‎ ‎6．D ‎【解析】分析：a1，a3，a2成等差数列得2a3=a1+a2，利用数列的通项公式展开即可得到公比q的方程，易求 详解：由题意2a3=a1+a2，∴2a1q2=a1q+a1，∴2q2=q+1，∴q=1或q=‎-‎‎1‎‎2‎.‎ 故选：D.‎ 点睛：本题考查等差等比数列的综合，利用等差数列的性质建立方程求q是解题的关键，对于等比数列的通项公式也要熟练．‎ ‎7．C ‎【解析】分析：由等比数列的前n项和公式求出女子每天分别织布‎5‎‎31‎尺，由此利用等比数列前n项和公式能求出要使织布的总尺数不少于30尺，该女子所需的天数至少为多少天．‎ 详解：设该女第一天织布x尺，则x(1-‎2‎‎5‎)‎‎1-2‎‎=5‎，解得x=‎‎5‎‎31‎，‎ 所以前n织布的尺数为‎5‎‎31‎‎(‎2‎n-1)‎，‎ 由‎5‎‎31‎‎(‎2‎n-1)≥30‎，得‎2‎n‎≥187‎，解得n的最小值为‎8‎．‎ 点睛：本题主要考查了等比数列在生茶生活中的实际应用，试题比较基础属于基础题，解题时要认真审题，熟记等比数列的通项公式和前n项和公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．‎ ‎8．B ‎【解析】分析：先根据等比数列、等差数列的通项公式表示出a‎5‎、b‎6‎，然后表示出a‎3‎‎+‎a‎7‎和b‎4‎‎+‎b‎8‎，然后二者作差比较即可．‎ 详解：∵an=a1qn﹣1，bn=b1+（n﹣1）d，‎ ‎∵a‎5‎‎=‎b‎6‎，∴a1q4=b1+5d，‎ a‎3‎‎+‎a‎7‎‎=a1q2+a1q6‎ b‎4‎‎+‎b‎8‎‎=2（b1+5d）=2b6=2a5‎ a‎3‎‎+‎a‎7‎‎﹣2a5= a1q2+a1q6﹣2a1q4 =a1q2（q2﹣1）2≥0‎ 所以a‎3‎‎+‎a‎7‎≥‎b‎4‎‎+‎b‎8‎ 故选：B．‎ 点睛：本题主要考查了等比数列的性质．比较两数大小一般采取做差的方法．属于基础题．‎ ‎9．B ‎【解析】由题意，知将问题转化为求Sn的最小值时n的值，‎ 根据等差数列的前n项和公式Sn‎=na‎1‎+nn-1‎‎2‎d=d‎2‎n‎2‎+a‎1‎‎-dn，由二次函数知识，当n=-a‎1‎‎-d‎2⋅‎d‎2‎=-a‎1‎d+1‎n∈‎N‎*‎时，Sn有最小值，由S‎2018‎‎<0‎，得a‎1‎d‎<-1008.5‎，同理由S‎2019‎‎>0‎，得a‎1‎d‎>-1009‎，则‎1008.5<-a‎1‎d<1009‎，即‎1009.5‎Sk，所以k=1009‎，故正确答案为B.‎ 点睛：此题主要考等差数列前n项和公式、单调性在解含参数的不等式求参数值的应用，以及二次函数最值的应用等有关方面知识与技能，属于中高档题型，也是常考考点.‎ 本题解答中，主要体现为用数列知识化简，用不等式知识求得最后结果，从中也体现了转化思想、方程思想及估算思想的应用.‎ ‎10．A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算出a1＋a2＋a3＋a4＝2，a5＋a6＋a7＋a8＝2，…，a4k＋1＋a4k＋2＋a4k＋3＋a4k＋4＝2，再利用数列和的周期性求S2 012.‎ ‎【详解】‎ 由题意知，a1＋a2＋a3＋a4＝2，a5＋a6＋a7＋a8＝2，…，a4k＋1＋a4k＋2＋a4k＋3＋a4k＋4＝2，k∈N，故S2 012＝503×2＝1006.‎ 故答案为：A ‎【点睛】‎ ‎（1）本题主要考查数列的求和，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.（2）本题发现归纳出数列和的周期性是解题的关键.‎ ‎11．D ‎【解析】,,所以数列的前100项和为.‎ 故选D.‎ ‎12．D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由余弦定理与面积公式结合条件可得∠A的值，然后利用正弦定理可得ΔABC 外接圆的直径，进而得到外接圆的面积.‎ ‎【详解】‎ 在ΔABC中，由余弦定理，得a‎2‎‎=b‎2‎+c‎2‎-2bccosA，既有‎2bccosA=b‎2‎+‎c‎2‎ ‎-a‎2‎=b‎2‎+c‎2‎-1‎，又由面积公式，得S=‎1‎‎2‎bcsinA，即有‎4S=2bcsinA，又‎4S=b‎2‎+c‎2‎-1‎，所以‎2bccosA=2bcsinA，所以tanA=1‎.因为‎00‎，可得an‎-an-1‎=3‎，n=1‎时，‎6a‎1‎=a‎1‎‎2‎+3a‎1‎+2‎，且a‎1‎‎<2‎，解得a‎1‎‎=1‎，利用等差数列的通项公式可得an ‎2‎‎)bn=(-1‎)‎nan‎2‎=(-1‎)‎n(3n-2‎‎)‎‎2‎ b‎2n-1‎‎+b‎2n=-(6n-5‎)‎‎2‎+(6n-2‎)‎‎2‎=3(12n-7)=36n-21‎‎，利用分组求和即可得出 ‎【详解】‎ ‎(1)6Sn=an‎2‎+3an+2‎‎，n∈N*‎．‎ n≥2‎时，‎6an=6Sn-6Sn-1‎=an‎2‎+3an+2-(an-1‎‎2‎+3an-1‎+2)‎，化为：‎(an+an-1‎)(an-an-1‎-3)=0‎，‎ ‎∵an>0‎‎，‎∴an-an-1‎=3‎，‎ n=1‎时，‎6a‎1‎=a‎1‎‎2‎+3a‎1‎+2‎，且a‎1‎‎<2‎，解得a‎1‎‎=1‎．‎ ‎∴‎数列‎{an}‎是等差数列，首项为1，公差为3．‎ ‎∴an=1+3(n-1)=3n-2‎‎．‎ ‎(2)bn=(-1‎)‎nan‎2‎=(-1‎)‎n(3n-2‎‎)‎‎2‎‎．‎ ‎∴b‎2n-1‎+b‎2n=-(6n-5‎)‎‎2‎+(6n-2‎)‎‎2‎=3(12n-7)=36n-21‎‎．‎ ‎∴‎数列‎{bn}‎的前2n项的和T‎2n‎=36(1+2+……+n)-21n=36×n(n+1)‎‎2‎-21n=18n‎2‎-3n．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了数列递推关系、等差数列的定义通项公式与求和公式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 ‎22．（1）an‎=2n+1‎；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）由题意可求得等差数列an的公差d=2，a‎1‎=3‎，从而可得an‎=2n+1‎．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得‎1‎Sn‎=‎1‎nn+2‎=‎‎1‎‎2‎‎1‎n‎-‎‎1‎n+2‎，然后根据裂项相消法得到Tn‎=‎3‎‎4‎-‎‎1‎‎2‎‎1‎n+1‎‎+‎‎1‎n+2‎，由此可得结论成立．‎ 详解：（Ⅰ）∵数列an为等差数列，且a‎2‎‎+a‎8‎=22‎，‎ ‎∴a‎5‎=‎1‎‎2‎a‎2‎‎+‎a‎8‎=11‎‎．‎ ‎∵a‎4‎‎,a‎7‎,‎a‎12‎成等比数列，‎ ‎∴a‎7‎‎2‎‎=a‎4‎⋅‎a‎12‎，‎ 即‎11+2d‎2‎‎=‎11-d⋅‎‎11+7d，‎ 又d≠0,‎ ‎∴d=2‎，‎ ‎∴a‎1‎‎=11-4×2=3‎，‎ ‎∴an‎=3+2n-1‎=2n+1‎n∈N*‎.‎ ‎（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得Sn‎=na‎1‎‎+‎an‎2‎=nn+2‎，‎ ‎∴‎1‎Sn‎=‎1‎nn+2‎=‎‎1‎‎2‎‎1‎n‎-‎‎1‎n+2‎．‎ ‎∴‎Tn‎=‎1‎S‎1‎+‎1‎S‎2‎+⋯+‎‎1‎Sn ‎=‎‎1‎‎2‎‎1-‎‎1‎‎3‎‎+‎1‎‎2‎‎-‎‎1‎‎4‎+‎1‎‎3‎‎-‎‎1‎‎5‎+⋯+(‎1‎n-1‎-‎1‎n+1‎)+(‎1‎n-‎1‎n+2‎)‎ ‎=‎1‎‎2‎(1+‎1‎‎2‎-‎1‎n+1‎-‎1‎n+2‎)‎ ‎=‎3‎‎4‎-‎1‎‎2‎‎1‎n+1‎‎+‎‎1‎n+2‎<‎‎3‎‎4‎‎．‎ ‎∴Tn‎<‎‎3‎‎4‎．‎ 点睛：对于通项公式是分式型的数列求和时一般用裂项法，解题时注意以下两点：‎ ‎（1）列项时，一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止；（2）消项的规律为：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项，即剩余的项具有对称性．‎