宁夏石嘴山市第三中学2020届高三高考第五次模拟考试数学（文）试题 Word版含解析

宁夏石嘴山市第三中学2020届高三高考第五次模拟考试数学（文）试题 Word版含解析

石嘴山三中2020届第五次模拟考试 ‎（文科）数学试卷 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.‎ ‎2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.‎ ‎3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效.‎ ‎4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.‎ ‎5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.已知集合，，则集合中元素个数为（ ）‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得集合，结合集合的交集的概念及运算，求得，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，集合，‎ 又由，所以，‎ 所以集合中元素的个数为4个.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了集合的交集的概念及运算，其中解答中正确求解集合，结合集合的交集的概念及运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.‎ - 23 -‎ ‎2.若复数为纯虚数，则（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意首先求得实数a的值，然后求解即可．‎ ‎【详解】由复数的运算法则有：‎ ‎,‎ 复数为纯虚数，则，‎ 即.‎ 本题选择A选项.‎ ‎【点睛】复数中，求解参数(或范围)，在数量关系上表现为约束参数的方程(或不等式).由于复数无大小之分，所以问题中的参数必为实数，因此，确定参数范围的基本思想是复数问题实数化.‎ ‎3.已知向量，，若，则实数 ( )‎ A. -1 B. 1 C. 2 D. -2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量坐标的线性运算得到，再根据向量垂直的坐标表示，得到关于的方程，解出的值，得到答案.‎ ‎【详解】因为向量，‎ 所以，‎ 因为，‎ - 23 -‎ 所以 所以 解得.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查向量线性运算的坐标表示，根据向量垂直关系求参数的值，属于简单题.‎ ‎4.网络是一种先进的高频传输技术，我国的技术发展迅速，已位居世界前列.华为公司2019年8月初推出了一款手机，现调查得到该款手机上市时间和市场占有率（单位：%）的几组相关对应数据.如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月……，5代表2019年12月，根据数据得出关于的线性回归方程为.若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款手机市场占有率能超过0.5%（精确到月）（ ）‎ A. 2020年6月 B. 2020年7月 C. 2020年8月 D. 2020年9月 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图形，计算出，然后解不等式即可.‎ ‎【详解】解：，‎ 点在直线上 ‎，‎ - 23 -‎ 令 因为横轴1代表2019年8月，所以横轴13代表2020年8月，‎ 故选：C ‎【点睛】考查如何确定线性回归直线中的系数以及线性回归方程的实际应用，基础题.‎ ‎5.若双曲线的离心率为3，则其渐近线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由离心率求得即得渐近线方程．‎ ‎【详解】由题意，∴，，，‎ ‎∴渐近线方程为．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查求渐近线方程，求渐近线方程实质就是求，只要知的一个齐次式即可求解．本题中离心率正好是，由此易得．‎ ‎6.已知等比数列的各项都为正数，且，，成等差数列，则的值是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ - 23 -‎ ‎【分析】‎ 设等比数列的公比为，且，由题意和等差中项的性质列出方程，由等比数列的通项公式化简后求出，由等比数列的通项公式化简所求的式子，化简后即可求值．‎ ‎【详解】设等比数列的公比为，且，‎ ‎，，成等差数列，‎ ‎，则，‎ 化简得，解得，‎ 则，‎ ‎，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式，以及等差中项的性质的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．‎ ‎7.已知曲线的一条对称轴方程为，曲线向左平移个单位长度，得到曲线的一个对称中心的坐标为，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在对称轴处取得最值有，结合，可得，易得曲线的解析式为，结合其对称中心为可得 - 23 -‎ 即可得到的最小值.‎ ‎【详解】∵直线是曲线的一条对称轴.‎ ‎，又.‎ ‎.‎ ‎∴平移后曲线为.‎ 曲线的一个对称中心为.‎ ‎.‎ ‎，注意到 故的最小值为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查余弦型函数性质的应用，涉及到函数的平移、函数的对称性，考查学生数形结合、数学运算的能力，是一道中档题.‎ ‎8.函数在区间上的大致图像为（ ）‎ A. B. ‎ - 23 -‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据奇偶性排除A，D，根据，函数值的正负可选出选项.‎ ‎【详解】由题可得是偶函数，排除A,D两个选项，‎ 当时，，，‎ 当时，，，‎ 所以当时，仅有一个零点.‎ 故选：C ‎【点睛】此题考查函数的奇偶性和零点问题，解题时要善于观察出函数的一个零点，再分别讨论，函数值的正负便可得出选项.‎ ‎9.2019年11月26日，联合国教科文组织宣布3月14日为“国际数学日”（昵称：day），2020年3月14日是第一个“国际数学日”，圆周率是圆的周长与直径的比值，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数.有许多奇妙性质，如莱布尼兹恒等式，即为正整数平方的倒数相加等.小红设计了如图所示的程序框图，要求输出的值与非常近似，则①、②中分别填入的可以是（ ）‎ - 23 -‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据程序框图表示的算法判断得到答案.‎ ‎【详解】依题意中输出的，对比选项B满足.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的理解能力和应用能力.‎ ‎10.定义在上的函数在上单调递减，且是偶函数，则使成立的的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据是偶函数，结合函数图像平移变换可知关于对称，再由函数 - 23 -‎ 在上单调递减可画出函数图像示意图，进而解不等式即可得解.‎ ‎【详解】定义在上的函数在上单调递减，且是偶函数，‎ 所以的图像关于对称，示意图如下图所示：‎ 而，且在单调递增，‎ 所以若，需满足或，‎ 解得或，‎ 所以使成立的的取值范围为，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了函数单调性与对称性的综合应用，由单调性解不等式，正确画出函数图像示意图是解决此类问题常用方法，属于中档题.‎ ‎11.已知椭圆的左、右焦点分别为，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 求出圆心与半径，利用圆心到直线的距离等于半径，可得，结合 - 23 -‎ 以及离心率的定义，即可得结果.‎ ‎【详解】由题知圆心坐标为，半径为，‎ 又圆与直线相切，‎ 得，得，‎ 又，‎ 联立可得，‎ 故离心率为.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查椭圆的离心率的求解.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出；②构造的齐次式，求出；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．‎ ‎12.如图，在边长为4的正三角形中，为边的中点，过作于．把沿翻折至的位置，连结．翻折过程中，有下列三个结论：‎ ‎①；‎ ‎②存在某个位置，使；‎ ‎③若，则的长是定值．‎ 其中所有正确结论的编号是（ ）‎ A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ - 23 -‎ ‎【分析】‎ 根据翻折前后垂直的不变量，及排除法和反证法，即可得答案；‎ ‎【详解】对①，于，，平面，‎ ‎，故①正确；‎ 对②，假设存在某个位置，使，，，‎ 平面，，又由①知，平面，‎ ‎，，这显然是不可能的，故假设错误，故②错误；‎ 利用排除法，可得B正确；‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查立体几何中图形的翻折问题、线面、面面的垂直关系问题，考查空间想象能力，求解时注意翻折前后的不变量.‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20分）‎ ‎13.设数列满足，，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知得是等比数列，求出其通项公式后再计算前项的积．‎ ‎【详解】∵，，∴是等比数列，公比为，∴，‎ ‎∴．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查等差数列的前项和公式，掌握等比数列的定义与通项公式是解题关键．‎ ‎14.已知函数，则________．‎ - 23 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分段函数，和，利用 转化为求解.‎ ‎【详解】因为，，‎ 所以，‎ 又，所以．‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查分段函数的求值，还考查了转化问题求解的能力，属于基础题.‎ ‎15.某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过几何体的三视图可知该几何体是一个半圆柱挖去一个小半圆柱，再根据三视图中的数据，分别求出两个半圆柱侧面积，上下底面面积，两个长方形面积，再相加即可得答案；‎ - 23 -‎ ‎【详解】三视图可知该几何体是一个半圆柱挖去一个小半圆柱，‎ ‎ ‎ 两个半圆柱侧面积：，‎ 上下底面面积：，‎ 两个长方形面积：，‎ 该几何体的表面积为，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查根据三视图求几何体的表面积，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意运算的准确性.‎ ‎16.已知直线与圆相交于两点（为圆心），且为等腰直角三角形，则实数的值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角形为等腰直角三角形可知圆心到直线的距离等于半径的，由此列方程，解方程求得 的值.‎ ‎【详解】由于三角形为等腰直角三角形，所以圆心到直线的距离等于半径的.‎ - 23 -‎ 直线的一般方程为，圆的方程为，圆心为，半径为.故，解得.‎ ‎【点睛】本小题主要考查直线和圆位置关系，考查点到直线的距离公式，属于中档题.‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.在中，，‎ 求的值；‎ 若，求的面积．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，根据正弦定理可得，从而可求出答案；根据同角的三角函数的关系求出，再根据诱导公式以及两角和正弦公式求出，利用三角形面积公式计算即可．‎ ‎【详解】（1），，‎ 由正弦定理可得.‎ ‎（2）若，则，‎ ‎，‎ ‎，又由可得，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理、两角和的正弦公式以及三角形的面积公式，属于基础题. ‎ - 23 -‎ 正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.‎ ‎18.已知正三棱柱中，，是的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连结，设，再连接，可证∥，即可证明；‎ ‎（2）根据等体积法可转化为，即可求其体积.‎ ‎【详解】证明：（1）连结，设，再连接,如图，‎ - 23 -‎ 则是的中点，是的中位线，‎ 所以∥，‎ 又因为平面，‎ 平面，‎ 所以∥平面 ‎（2）过点作，垂足为，如图，‎ 在正三棱柱中，平面，‎ ‎∴，‎ 又∵，‎ ‎∴平面，，‎ - 23 -‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题主要考查了线面平行的判定，等体积法，三棱锥的体积，属于中档题.‎ ‎19.为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效地改良玉米品种，为农民提供技术支援，现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得茎叶图如图（单位：厘米），设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米．‎ ‎（1）求出易倒伏玉米茎高中位数；‎ ‎（2）根据茎叶图的数据，完成下面的列联表：‎ 抗倒伏 易倒伏 矮茎 高茎 ‎（3）根据（2）中的列联表，是否可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关？‎ 附：，‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ - 23 -‎ ‎【答案】（1）190（2）见解析 （3）可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）排序后第10和第11两个数的平均数为中位数；‎ ‎（2）由茎叶图可得列联表；‎ ‎（3）由列联表计算可得结论．‎ ‎【详解】解：（1）．‎ ‎（2）‎ 抗倒伏 易倒伏 矮茎 ‎15‎ ‎4‎ 高茎 ‎10‎ ‎16‎ ‎（3）由于，因此可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关．‎ ‎【点睛】本题考查茎叶图，考查独立性检验，正确认识茎叶图是解题关键．‎ ‎20.已知是抛物线：的焦点，点在抛物线上，且.‎ ‎（1）求抛物线的标准方程；‎ ‎（2）若、是抛物线上的两个动点，且，为坐标原点，求证：直线过定点.‎ ‎【答案】（1）;（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由,并将点代入抛物线方程中,联立可求出,即可;‎ - 23 -‎ ‎（2）设,,由,可得,结合两点都在抛物线上,可求得的值.设直线的方程为,与抛物线方程联立,可得到,从而可求出参数的值,代入直线的方程可知直线恒过定点.‎ ‎【详解】（1）由题意得,,解得,‎ 因为点在抛物线上,则,解得,‎ 又,所以,即拋物线的标准方程为.‎ ‎（2）设,,‎ 因为,所以,即得,‎ 因为点、在抛物线上,所以,,‎ 代入得,因为,则,‎ 设直线的方程为,联立,得,‎ 则,所以,‎ 所以直线的方程为，过定点.‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线的方程,考查了抛物线的焦半径的应用,考查了韦达定理的应用,考查直线恒过定点问题,考查了学生的推理能力与计算求解能力,属于中档题.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若函数图像过点，求证：.‎ ‎【答案】(1) 当时，在上单调递增，当时，在单调递增，在上单调递减；(2)见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 23 -‎ ‎（1）函数的定义域为 ，.按或分类讨论即可；‎ ‎（2）由已知得，要证，即证，令，求导判断单调性和最小值即可得出.‎ ‎【详解】（1）函数的定义域为 ，.‎ 当时， ，在上单调递增； ‎ 当时，由，得 .‎ 若 ，，单调递增；‎ 若 ，，单调递减 综合上述： 当时，在上单调递增；‎ 当时，在单调递增，在上单调递减. ‎ ‎（2）函数图象过点，可得，此时 要证，即证. ‎ 令， ，‎ 又令，，‎ 当时，，在上单调递增.‎ 由， 即，‎ 故存在 使得，此时，故 ‎ 当时，；当时，.‎ 所以在上递减，在上递增，‎ - 23 -‎ 当时，有最小值 ‎ 故成立 ‎【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，构造函数判断单调性并求出最小值，也考查了分类讨论思想，属于中档题.‎ 请考生在22，23，题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎22.在直角坐标系中，以原点为极点，以轴的正半轴为极轴，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）过点作倾斜角为的直线与圆交于，两点，试求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）求出直线的参数方程，代入圆的方程可得：，利用根与系数的关系可得结果.‎ ‎【详解】（1）将曲线的极坐标方程，化为直角坐标方程为 ‎；‎ ‎（2）直线的参数方程为：（为参数），‎ 将其带入上述方程中得：，‎ - 23 -‎ 则，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程及其应用、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ 选修4—5：不等式选讲 ‎23. 选修4—5：不等式选讲 设函数 ‎（1）若a=1，解不等式；‎ ‎（2）若函数有最小值，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）绝对值不等式，根据绝对值的定义分类讨论去绝对值符号；（2）函数是分段函数，它要存在最小值，则两部分应满足左边是减函数，右边是增函数．‎ 试题解析：（Ⅰ）时，．‎ 当时，可化为，解之得；‎ 当时，可化为，解之得．‎ 综上可得，原不等式的解集为5分 ‎（Ⅱ）‎ - 23 -‎ 函数有最小值的充要条件为即10分 考点：解绝对值不等式，分段函数的单调性与最值．‎ ‎ ‎ - 23 -‎