山东省淄博市桓台县桓台第一中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题

山东省淄博市桓台县桓台第一中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题

数学期中考试试卷 一、选择题 ‎1．设集合，，则（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎2．如果集合满足，则这样的集合的个数为（ ）．‎ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ‎3．命题“，且”的否定形式是（ ）．‎ A．，或 B．，或 C．，或 D．，且 ‎4．在下列命题中，正确命题的个数是（ ）．‎ ‎①两个复数不能比较大小；‎ ‎②复数对应的点在第四象限；‎ ‎③若是纯虚数，则实数；‎ ‎④若，则．‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎5．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，则在刮风天里，下雨的概率为（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎6．为了规定工时定额，需要确定加工某种零件所需的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据：，，，，，由最小二乘法求得回归直线方程为．若已知，则（ ）．‎ A．75 B． C．375 D．442‎ ‎7．某校开设类选修课3门，类选择课5门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（ ）．‎ A．30种 B．35种 C．45种 D．48种 ‎8．设随机变量等可能取值1，2，3，…，，如果，那么（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎9．（多选）对任意实数，，，给出下列命题：‎ ‎①“”是“”的充要条件；‎ ‎②“是无理数”是“是无理数”的充要条件；‎ ‎③“”是“”的必要条件；‎ ‎④“”是“”的充分条件．其中真命题是（ ）．‎ A．① B．② C．③ D．④‎ ‎10．（多选）现行普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题，学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图．根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是正确的（ ）．‎ ‎ ‎ A．样本中的女生数量少于男生数量 B．样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量 C．样本中的女生偏爱文科 D．样本中的男生偏爱理科 ‎11．（多选）二项式的展开式中，系数最大的项为（ ）．‎ A．第五项 B．第六项 C．第七项 D．第八项 ‎12．（多选）已知，函数在上是单调增函数，则的可能取值是（ ）．‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 二、填空题 ‎13．若复数满足，其中为虚数单位，则______．‎ ‎14．展开式的的系数是______．‎ ‎15．已知的分布列 ‎0‎ ‎1‎ 且，，则______．‎ ‎16．定义在上的函数满足，，则不等式的解集 为______．‎ 三、解答题 ‎17．改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月，两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中，两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用和仅使用的学生的支付金额分布情况如下：‎ ‎ 支付金额 支付方式 不大于2000元 大于2000元 仅使用 ‎27人 ‎3人 仅使用 ‎24人 ‎1人 ‎（1）估计该校学生中上个月，两种支付方式都使用的人数；‎ ‎（2）从样本仅使用的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；‎ ‎（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．‎ ‎18．一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片．‎ ‎（1）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；‎ ‎（2）表示所取3张卡片上的数字的中位数，求的分布列与数学期望．‎ ‎（注：若三个数，，满足，则称为这三个数的中位数）‎ ‎19．某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）．‎ ‎（1）应收集多少位女生样本数据？‎ ‎（‎ ‎2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：，，，，，．估计该校学生每周平均体育运动时间超过6个小时的概率．‎ ‎（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时．请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有95％的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．‎ 附：．‎ ‎20．设函数．‎ ‎（1）若在处取得极值，确定的值，并求此时曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）若在上为减函数，求的取值范围．‎ ‎21．为了解某市高三学生身高情况，对全市高三学生进行了测量，经分析，全市高三学生身高（单位：）服从正态分布，已知，．‎ ‎（1）现从该市高三学生中随机抽取一名学生，求该学生身高在区间的概率；‎ ‎（2）现从该市高三学生中随机抽取三名学生，记抽到的三名学生身高在区间的人数为，求随机变量的分布列和均值．‎ ‎22．已知函数，．‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）当时，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ 参考答案 ‎1．C ‎2．B ‎3．A ‎4．B ‎5．D ‎【解析】“下雨”， “刮风”，“刮风又下雨”，‎ 所以．‎ ‎6．D ‎【解析】因为，回归直线方程为，‎ 所以，则．‎ ‎7．C ‎ ‎8．A ‎ ‎9．BC ‎【解析】①由“”可得，但当时，不能得到，故“”是“”的充分不必要条件，故①错误；‎ ‎②因为5是有理数，所以当是无理数时， 必为无理数，反之也成立，故②正确；‎ ‎③当时，不能推出；当时，有成立，故“”是“”的必要不充分条件，故③正确．‎ ‎④取，，此时，故④错误；‎ ‎10．BD ‎【解析】由图1知，样本中的女生数量多于男生数量，由图2知，样本中的男生、女生均偏爱理科；由图2知，样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量．‎ ‎11．BC ‎12．ABC ‎【解析】由题意得，‎ 因为函数在上是单调增函数，‎ 所以在上，恒成立，‎ 即在上恒成立，所以．‎ 第二部分 ‎13．‎ ‎【解析】设（，是实数），则，‎ 因为，所以，‎ 所以，，解得，，则．‎ ‎14．61‎ ‎【解析】展开式的的系数：‎ 二项式由通项．‎ 当提供项时，则，此时系数为．‎ 当提供常数项时，则，此时系数为．‎ 合并可得：展开式的的系数为．‎ ‎15．4‎ ‎16．‎ ‎【解析】由，‎ 设，则．‎ 故函数在上单调递增，‎ 又，故的解集为，‎ 即的解集为．‎ 第三部分 ‎17．（1）由题知，样本中仅使用的学生有人，仅使用的学生有人，‎ ‎，两种支付方式都不使用的学生有5人．‎ 故样本中，两种支付方式都使用的学生有人．‎ 估计该校学生中上个月，两种支付方式都使用的人数为．‎ ‎（2）记事件为“从样本仅使用的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于2000元”，‎ 则．‎ ‎（3）记事件为“从样本仅使用的学生中随机抽查1人，该学生本月的支付金额大于2000元”．‎ 假设样本仅使用的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，‎ 则由（Ⅱ）知．‎ 答案示例1：可以认为有变化．理由如下：‎ 比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为本月支付金额大于2000元的人数发生了变化．所以可以认为有变化．‎ 答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下：‎ 事件是随机事件，比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的．‎ 所以无法确定有没有变化．‎ ‎18．（1）由古典概型中的概率计算公式知所求概率为．‎ ‎（2）的所有可能值为1，2，3，且 ‎，‎ ‎，‎ ‎， ‎ 故的分布列为 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 从而 ‎19．（1）．所以，应该收集90位女生的样本数据．‎ ‎（2） 由频率分布直方图得 所以该校学生每周平均体育运动时间超过6小时的概率的估计值为．‎ ‎（3） 每周平均运动时间与性别列联表如下：‎ 男生超过4小时 运动不超过4小时 合计 男生 ‎165‎ ‎45‎ ‎210‎ 女生 ‎60‎ ‎30‎ ‎90‎ 合计 ‎225‎ ‎75‎ ‎300‎ ‎，‎ 所以，有95％的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．‎ ‎20．（1）对求导得．‎ 因为在处取得极值，所以，即．‎ 经检验，当时，为的极值．‎ 当时，，．‎ 故，，‎ 从而在点处的切线方程为，化简得．‎ ‎（2）由（1）知，令．‎ 因为函数在上单调递减，所以，‎ 即，故．‎ 令，则，所以，‎ 函数在上单调递减，所以．‎ 故的取值范围为．‎ ‎21．（1）由全市高三学生身高服从，，‎ 得．‎ 因为，‎ 所以．‎ 故从该市高三学生中随机抽取一名学生，该学生身高在区间的概率为．‎ ‎（2） 因为 ‎，‎ 服从二项分布，‎ 所以，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 所以．‎ ‎22．（1），‎ ‎．‎ 当时，，在上是单调增函数；‎ 当时，．‎ 当时，；当时，，‎ 所以在上单调递增，在上单调递减．‎ 综上，当时，在上是单调增函数；‎ 当时，在上单调递增，在上单调递减．‎ ‎（2）由（Ⅰ）可得，当时，．‎ 由不等式恒成立，得恒成立，‎ 即在时恒成立．‎ 令，，则．‎ 当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减．‎ 所以的最大值为．得，所以实数的取值范围是．‎