2021版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形4-5函数y=Asinωx+φ的图象及三角函数模型的简单应用练习苏教版

2021版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形4-5函数y=Asinωx+φ的图象及三角函数模型的简单应用练习苏教版

‎4.5 函数y=Asin（ωx+φ）的图象及三角函数模型的简单应用 考点一　函数y=Asin(ωx+φ)的图象及图象变换 ‎ ‎1.若函数f (x)=cos,为了得到函数g(x)=sin 2x的图象,则只需将f(x)的图象 (　　)‎ A.向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度 ‎2.若将函数y=2cos x(sin x+cos x)-1的图象向左平移φ个单位,得到的函数是偶函数,则φ的最小正值是 (　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎3.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0),若f(x)的图象向左平移个单位所得的图象与f(x)的图象向右平移个单位所得的图象重合,则ω的最小值为________. ‎ ‎4.已知函数f(x)=4cos x·sin +a的最大值为2. ‎ ‎(1)求a的值及f(x)的最小正周期.‎ ‎(2)画出f(x)在[0,π]上的图象.‎ - 16 -‎ ‎【解析】1.选A.f (x)=cos=sin=sin=‎ sin 2,为了得到g(x)=sin 2x的图象,则只需将f(x)的图象向右平移个单位长度即可.‎ ‎2.选A.化简函数:y=2cos x(sin x+cos x)-1=2sin xcos x+2cos2 x-1‎ ‎=sin 2x+cos 2x= sin,‎ 向左平移φ个单位可得y= sin,‎ 因为y= sin是偶函数,‎ 所以2φ+=+kπ,k∈Z,φ=+,k∈Z,‎ 由k=0可得φ的最小正值是.‎ ‎3.函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0),把f(x)的图象向左平移个单位所得的图象为y=sin - 16 -‎ ‎=sin,把f(x)的图象向右平移个单位所得的图象为y=sin ‎=sin,‎ 根据题意可得y=sin和y=sin的图象重合,故+φ=2kπ-+φ,k∈Z,求得ω=4k,k∈Z,故ω的最小值为4.‎ 答案:4‎ ‎4.(1)f(x)=4cos xsin+a ‎=4cos x·+a ‎=sin 2x+2cos 2x+a ‎=sin 2x+cos 2x+1+a=2sin+1+a的最大值为2,‎ 所以a=-1,最小正周期T==π.‎ ‎(2)由(1)知f(x)=2sin,列表:‎ - 16 -‎ x ‎0‎ π ‎2x+‎ π ‎2π f(x)=2sin ‎1‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎-2‎ ‎0‎ ‎1‎ 画图如图所示:‎ ‎1.由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象有两条途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”. ‎ ‎2.y=Asin(ωx+φ)的图象可用“五点法”作简图得到,可通过变量代换z=ωx+φ计算五点坐标.‎ ‎【秒杀绝招】　‎ 排除法解T1,变形f(x)=sin,观察发现ω=2,所以不能平移,排除B,D;代入A,C检验,可知选A.‎ T4,可用伸缩法画f(x)的图象.‎ 考点二　由图象求解析式 ‎ ‎【典例】1.函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,已知A,B,则f(x)图象的对称中心为 (　　)‎ - 16 -‎ A.(k∈Z)　　　 B.(k∈Z)‎ C.(k∈Z)　 D.(k∈Z)‎ ‎2.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为______.  ‎ ‎【解题导思】‎ 序号 联想解题 ‎1‎ 看到A,B两点的横坐标,想到了求周期,从而求ω.由A,B两点的位置想到了特殊点,从而求φ.‎ ‎2‎ 由图象的最高点及最低点,想到了求A以及周期,从而确定ω,由特殊点的坐标想到了求φ.‎ ‎【解析】1.选C.T=2=π=,所以ω=2,‎ 所以f(x)=sin (2x+φ).由五点作图法知A是第二个点,得2×+φ=+2kπ(k∈Z),‎ 所以φ=-+2kπ(k∈Z),又|φ|<,‎ - 16 -‎ 所以φ=-,f(x)=sin.‎ 由2x-=kπ(k∈Z),得x=+(k∈Z).‎ 所以f(x)图象的对称中心为(k∈Z).‎ ‎【一题多解】选C.由题图知,A,B中点为是一个对称中心,=-=,所以全部对称中心为(k∈Z),等价于(k∈Z).‎ ‎2.由题图知A=,=-=,‎ 所以T=π,ω=2,所以f(x)=sin(2x+φ),‎ 又对应五点法作图中的第三个点,‎ 所以2×+φ=π+2kπ(k∈Z),φ=+2kπ(k∈Z),‎ 又|φ|<π,所以φ=,所以f(x)=sin.‎ 答案:f(x)=sin - 16 -‎ ‎【一题多解】由题图知A=,=-=,以为第二个零点,为最小值点,列方程组解得 所以f(x)=sin.‎ 答案:f(x)=sin ‎　‎ 确定y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的解析式的步骤 ‎(1)求A,B,确定函数的最大值M和最小值m,则A=,B=.‎ ‎(2)求ω,确定函数的周期T,则ω=.‎ ‎(3)求φ,常用方法有:‎ ‎①代入法:把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.‎ ‎②五点法:确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.具体如下:“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx+φ=0;“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx+φ=;“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx+φ=π;“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx+φ=;“第五点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx+φ=2π.‎ - 16 -‎ ‎1.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式是 (　　)‎ A.f(x)=sin B.f(x)=sin C.f(x)=sin D.f(x)=sin ‎【解析】选D.由图象可知=-=,所以T=π,所以ω==2,所以排除A、C;把x=代入检验知,选项D符合题意.‎ ‎2.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象的一部分如图所示,则f(x)图象的对称轴方程是________. ‎ ‎【解析】由图象知A=2,又1=2sin(ω×0+φ),即sin φ=,又|φ|<,所以φ=.又×ω+=2π,所以ω=2,所以f(x)=2sin,‎ - 16 -‎ 令2x+=+kπ(k∈Z),得x=+(k∈Z).‎ 所以f(x)=2sin的对称轴方程为x=+(k∈Z).‎ 答案:x=+(k∈Z)‎ 考点三　函数y=Asin(ωx+φ)图象与性质的综合应用 ‎ 命 题 精 解 读 考什么:(1)三角函数模型的应用,方程根(函数零点)问题,图象与性质的综合应用等;(2)考查直观想象、数学运算等核心素养,以及数形结合的思想.‎ 怎么考:与三角函数图象与性质,方程根,零点问题,实际问题结合考查求解析式,性质,参数等.‎ 新趋势:以考查三角函数模型的应用为主.‎ 学 霸 好 方 法 三角函数模型的应用策略 ‎(1)三角函数模型的应用体现在两方面:一是已知函数模型求解数学问题;二是把实际问题抽象转化成数学问题,建立数学模型再利用三角函数的有关知识解决问题.‎ ‎(2)研究y=Asin(ωx+φ)的性质时可将ωx+φ视为一个整体,利用换元法和数形结合思想进行解题.‎ 三角函数模型的应用 ‎【典例】如图,某大风车的半径为‎2米,每12秒旋转一周,它的最低点O离地面‎1米,点O在地面上的射影为A.风车圆周上一点M从最低点O开始,逆时针方向旋转40秒后到达P点,则点P到地面的距离是________米.  ‎ ‎【解析】以圆心O1为原点,以水平方向为x轴方向,以竖直方向为y轴方向建立平面直角坐标系,‎ - 16 -‎ 因为大风车的半径为‎2米,圆上最低点O离地面‎1米,12秒旋转一周,设∠OO1P=θ,运动t秒后与地面的距离为f(t),又周期T=12,所以θ=·2π=t,‎ f(t)=3+2sin=3-2cost(t≥0),‎ 当t=40时,f(t)=3-2cos=4(米).‎ 答案:4‎ 方程根(函数零点)问题 ‎【典例】已知函数f(x)=2sin ωxcos ωx+2sin2ωx-(ω>0)的最小正周期为π. ‎ ‎(1)求函数f(x)的单调递增区间.‎ ‎(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数y=g(x)的图象,若y=g(x)在[0,b](b>0)上至少含有10个零点,求b的最小值.‎ ‎【解析】(1)f(x)=2sin ωxcos ωx+(2sin2ωx-1)‎ ‎=sin 2ωx-cos 2ωx=2sin.‎ 由最小正周期为π,得ω=1,所以f(x)=2sin,由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),‎ 整理得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),‎ - 16 -‎ 所以函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z).‎ ‎(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到y=2sin 2x+1的图象，‎ 所以g(x)=2sin 2x+1.‎ 令g(x)=0,得x=kπ+或x=kπ+(k∈Z),‎ 所以在[0,π]上恰好有两个零点,若y=g(x)在[0,b]上有10个零点,则b不小于第10个零点的横坐标即可.所以b的最小值为4π+=.‎ 方程的根与函数图象的交点有何关系?‎ 提示:方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.‎ 综合应用问题 ‎【典例】(2019·全国卷Ⅲ)设函数f(x)=sin(ω>0),已知f(x)在[0,‎ ‎2π]上有且仅有5个零点,下述四个结论: ‎ ‎①f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点 ‎②f(x)在(0,2π)有且仅有2个极小值点 ‎③f(x)在上单调递增 ‎④ω的取值范围是.‎ 其中所有正确结论的编号是 (　　)‎ A.①④　　 B.②③　　 C.①②③　 　D.①③④‎ ‎【解析】选D.‎ ‎①若f(x)在[0,2π]上有5个零点,可画出大致图象,‎ - 16 -‎ 由图1可知,f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点,所以①正确.‎ ‎②由图1、图2可知,f(x)在(0,2π)有且仅有2个或3个极小值点,故②错误.‎ ‎③函数f(x)=sin的增区间为-+2kπ<ωx+<+2kπ(k∈Z),‎ ‎2π,解得≤ω<,故④正确.所以结论正确的编号有①③④.‎ 本题考查哪些知识?‎ 提示:三角函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质,制图用图能力,数形结合思想,数学运算的核心素养.‎ ‎1.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y=a+‎ Acos(x=1,2,3,…,12)来表示,已知6月份的月平均气温最高为 ‎28℃,12月份的月平均气温最低为‎18℃‎,则10月份的平均气温为________℃. ‎ ‎【解析】因为当x=6时,y=a+A=28;‎ 当x=12时,y=a-A=18,所以a=23,A=5,‎ 所以y=f(x)=23+5cos,‎ 所以当x=10时,f(10)=23+5cos ‎=23-5×=20.5.‎ 答案:20.5‎ ‎2.(2020·临沂模拟)函数f(x)=sin的图象上相邻的两个最高点之间的距离为________. ‎ - 16 -‎ ‎【解析】由题意知,函数f(x)的图象上相邻的两个最高点之间的距离为函数f(x)的一个最小正周期,函数f(x)的最小正周期为=π.‎ 答案:π ‎3.已知关于x的方程2sin 2x-sin 2x+m-1=0在上有两个不同的实数根,则m的取值范围是________. ‎ ‎【解析】方程2sin2x-sin 2x+m-1=0可转化为m=1-2sin2x+sin 2x=‎ cos 2x+sin 2x=2sin,x∈.设2x+=t,则t∈,所以题目条件可转化为=sin t,t∈有两个不同的实数根.所以y1=和y2=sin t,t∈的图象有两个不同交点,如图:‎ 由图象知,的取值范围是,所以m的取值范围是(-2,-1).‎ 答案:(-2,-1)‎ ‎1.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象如图所示,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 022)的值等于(　　)‎ - 16 -‎ A. B.2+2‎ C.+2　 D.-2‎ ‎【解析】选A.由图象知A=2,φ=0,T=8,‎ 所以=8,即ω=,所以f(x)=2sinx.‎ 因为周期为8,且f(1)+f(2)+…+f(8)=0,‎ 所以f(1)+f(2)+…+f(2 022)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=2sin+‎ ‎2sin+2sin +2sin π+2sin+2sin=.‎ ‎2.(2019·全国卷Ⅰ)关于函数f(x)=sin|x|+|sin x|有下述四个结论:‎ ‎①f(x)是偶函数 ‎②f(x)在区间单调递增 ‎③f(x)在[-π,π]有4个零点 ‎④f(x)的最大值为2‎ 其中所有正确结论的编号是 (　　)‎ A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③‎ ‎【解析】选C.因为f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sin x|=f(x),所以f(x)为偶函数,故①正确.当

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